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初三数学上册第二章模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．一元二次方程的根是（ ）
A． B．， C． D．，
2．已知一元二次方程的两个根分别是菱形的一对角线长和边长，则该菱形的周长为（ ）
A． B．或 C． D．
3．已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B．0 C．10 D．14
4．已知方程有两个相等实根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．2
5．已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a的个数是（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
6．设是方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．（新情境试题·生活应用型）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800
C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800
8．（新情境试题·生活应用型）某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知m， n是方程： 的两个根．则 ．
10．已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为 ．
11．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ．
12．关于x的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若n是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
13．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根．
若a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值．
已知关于x的一元二次方程：．若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根．
17．按要求解方程：
(1)直接开平方法：
(2)配方法：
解方程：．
（新情境试题·社会热点型）交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．
20．（新情境试题·生活应用型）如图，在一块长，宽的矩形绿地内，建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽，求花圃四周绿地的宽度．
21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
22．（新情境试题·生活应用型）某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？
23．（新情境试题·生活应用型）小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
(2)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
24．如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
(1)几秒后，的面积等于？
(2)的面积能否等于？说明理由．
25．（新情境试题·新定义问题）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”．
(1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号）
①；②；③；
(2)若关于的一元二次方程方程，
①证明：此方程一定是“美好方程”；
②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
26．（新情境试题·材料阅读理解型）阅读以下材料，并解决相应的问题．
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下：
将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，
∵x表示边长，
∴，即．
注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！
(1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，
第一步：将原方程变为，即x（__________________）；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（请在画图区画出示意图，标明各边长）；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______________；解得原方程的一个根为______________
(2)反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是_________（从“①分类讨论，②数形结合，③演绎”三个选项中选择最恰当的一项的序号填空）．
答案解析部分
1．B
【分析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
所以，．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先解一元二次方程可得两根，再分成当对角线为，菱形边长为时，和对角线为，菱形边长为时两种情况考虑，可得菱形的边长为，进而可求解．
【详解】解：解一元二次方程，
可得：，，
∵方程两个根分别是菱形的一对角线长和边长，
∴当对角线为，菱形边长为时，，符合要求，
当对角线为，菱形边长为时，，不符合要求，
∴根据三角形三边关系，可得菱形的边长为，
∴菱形的周长为：．
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解使方程成立的未知数的值是解题的关键．
由一元二次方程的解、根与系数的关系可得，，即，再对代数式变形后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题关键是一元二次方程的根的判别式并能熟练运用．
先根据一元二次方程有两个相等的实根，计算判别式，求得，代入化简即可．
【详解】解：∵方程有两个相等实根，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了方程整数解的求法，解题的关键是理解题意，分类讨论，正确计算．根据题意分类讨论：当时，原方程为，解得，；②当时，原方程可整理为：，则和的解是方程的根，即是方程的整数根，且x是整数，则或，进行计算即可得．
【详解】解：∵的根都是整数，
∴①当时，原方程为，
解得，；
②当时，原方程可整理为：，
则或，
即是方程的整数根，且x是整数，
则或，
解得，，，，，
综上，满足条件的整数的值为1，0，2，，3，共5个；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.根据方程的解的定义可得：，整理可得：，，整体代入代数式计算即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
可得：，，
．
故选：A．
7．C
【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植面积，然后根据已知条件，列出方程即可求解，图见详解
【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植面积，
由题干可知，大的矩形长为50米，宽为30米，小路宽为 米，所以种植区域的长为（ ）米，宽为（ ）米，
根据矩形面积公式可得，（50﹣2x）（30﹣x）＝800．
故选C．
【点睛】本题考查列方程，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程．
8．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可．
【详解】解：设售价为x元，根据题意列方程得．
故答案为：B
9．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根定义和根与系数关系，解题的关键是把要求的式子进行正确的变形；先根据根的定义把m代入方程，再根据根与系数的关系得到m和n的关系，把要求的式子进行变形即可得到答案；
【详解】解：由题意可得：，
∴
∴．
故答案为：．
10．2或10
【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元二次方程的整数解及参数分离法求整数参数，解题的关键是分“”和“”讨论，对一元二次方程通过正确整理方程分离参数，将表示为关于整数解的代数式，再根据为整数的条件，确定的可能值，进而求出．
分和：时方程为一元一次方程，求解判断是否为整数解；时，将一元二次方程整理为（关键是正确移项整理），分离参数得；根据一元二次方程根的判别式得出解得，因为整数，得出，，即可求出的整数解，列举的整数解代入计算，并验证方程是否有整数解即可得答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
1. 当时，方程化为，
即，解得，不是整数，舍去；
2.当时，方程为一元二次方程，移项整理：，
即，因式分解得，
∵时，左边，右边，故，
∴，
∵方程至少有一个整数解，
∴，
解得，
∵为整数，，
∴，
∴，，
解得，
∴整数可以为、、、、、，
当时，（整数，有效）；
当时，（整数，有效）；
当时，（与时重复）；
经检验，当取其它整数时，的值均不为整数，故舍去，
验证：时，方程，解为或（均为整数）；
时，方程，解为或（为整数）．
综上，整数的值为2或10．
故答案为：2 或10．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质等知识点，掌握这些是解题的关键．
令，根据题意列不等式组，解不等式组即可．
【详解】令，因为方程的两根都大于，
所以由题意可得，
解得：，
解得：，
解得：或，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
12．①②④
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，完全平方公式，提公因式，证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或，即可判断③；由题意可得，即可判断④．
【详解】解：①对于方程，
，
若，则，
则，
即，
∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确；
②由①可知，，
若，则，即，则，
∴，
∴方程没有实数根；故②正确；
③若n是方程的一个根，则，即，
则或，即或，故③错误；
④若是方程的一个根，
则，
∵，
∴两边同除以得，
，
即，
∴是方程的一个根．
故④正确；
综上可知，①②④正确，
故答案为：①②④．
13．或
【分析】本题考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．本题应分三种情况进行讨论，①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间求出；
②若，在中，由，，将数据代入，可将时间求出；
③若，则，可将时间求出．
【详解】解：过点作于，则四边形为矩形．
由图可知，，，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若，在中，，由得，解得；
②若，在中，，由得，即，
此时，，
所以此方程无解，．
③若，则，，
综上所述，当或时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．
故答案为：或．
14．见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的与判别式的关系，理解一元二次方程的判别式与根的关系是解答关键．
先求出一元二次方程的判别式，再来判断根的情况．
【详解】证明：，，，
，
该方程一定有两个实数根．
15．16
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再得出，代入即可得出答案．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
16．，方程的另一个根为3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记是解题的关键．
设方程的两根为，则代入就可求解．
【详解】设方程即的两根为，则，
又方程的一个根是1，
所以，解得，
则，解得，
经检验时，方程的两根为或符合题意，
所以，方程的另一个根为3．
17．(1)或
(2)或
【分析】本题考查了用直接开平方法与配方法解一元二次方程，注意解题方法与结果的符号．
（1）题目要求用直接开平方法解方程，方程得左边需化为未知数平方的形式，右边化为非负数的形式，再进行开方即可．
（2）题目要求用配方法解方程，方程左边需转化为完全平方的形式，先把移动到方程的右边，再进行配方，整理后开方即可．
【详解】（1）解：移项得：，
两边同时除以25，得：，
直接开平方得：或
（2）解：移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
或
18．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．方程两边同时乘去分母化为一元二次方程再求解，最后检验即可得出结果．
【详解】解：
去分母得：
去括号，移项得：
∴
∴或，
∴，；
检验：当时，；
当时，，
∴分式方程的解为．
19．该品牌头盔销售量的月增长率为
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，根据一元二次方程与增长率的计算方法列式求解即可．
【详解】解：九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同，
∴设该品牌头盔销售量的月增长率为，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为．
20．花圃四周绿地的宽度为．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出题目中的等量关系式是解此题的关键．
设花圃四周绿地的宽度为，根据矩形花圃的面积矩形绿地面积的一半列方程求解即可．
【详解】解：设花圃四周绿地的宽度为，
由题意得，，
解得，，（舍），
答：花圃四周绿地的宽度为．
21．(1)且；
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，，
再根据已知条件得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，且
∴且；
（2）由题意得，，，
∵，
∴，即，
整理得：，
解得：或（舍），
∴．
22．(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为
(2)这种玩具应降价2元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答．
（2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个
∴每降价1元，其销售量增加12个
设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：这种玩具应降价2元．
23．(1)1152元
(2)不能；理由见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决问题是解题的关键．
（1）根据题意，可表示出降价后的售价和每天的销售量，继而求得每天的利润；
（2）根据题意，可设出降低的价格，根据等量关系“利润销售价每天的销量”列出方程，继而利用利润率对求得的解进行检验，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，若降价8元，每天能多售出（件），
所以此时的销售价为元，销售量为（件），
所以每天销售T恤衫的利润为（元）．
即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．
（2）解：设每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润．
由题意可得，
去括号整理得，
因式分解得，
所以，
当时，每件利润为元，
利润率，不符合题意，
当时，每件利润为元，
利润率，不符合题意，
综上所述，为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．
24．(1)1秒后，的面积等于
(2)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是理解题意，列出方程．
（1）根据题意，求出时间的取值范围，列出一元二次方程进行求解即可；
（2）列出一元二次方程判断根的情况即可得出结论．
【详解】（1）解：．
当运动时间为（）时，．
（1）依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：1秒后，的面积等于；
（2）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
25．(1)①③
(2)①证明见解析；②存在，的值为
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案；
（2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值．
【详解】（1）解：①，，故符合题意；
②，，故不符合题意；
③，，故符合题意；
故选：①③；
（2）解：①证明：，
，
此方程一定是“美好方程”．
②存在，理由如下：
，
，，
始终在函数的图象上，
，
，
∴
则
即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1．
26．(1)；；
(2)②
【分析】本题主要考查了根据阅读材料给出解决某一问题的特殊方法，解题的关键是理解新方法的本质，明确新方法的具体操作步骤，同时要借助数形结合思想，找到解决的问题与示例之间的关联．
（1）根据赵爽的解法解方程的一般步骤即可求解．
（2）在整个解决问题的过程中，体现了“数”与“形”的结合，进而可得出答案．
【详解】（1）解：第一步：将原方程变为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，如图所示：
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为；
故答案为：，，；
（2）解：反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是数形结合，
故答案为：②．

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