资源简介

第五章《一元一次方程》提升卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．有下列各式：①m=1；②x+3x=4；③6x-7＞0；④2x+y；⑤+2=5；⑥x3y+2x=6其中是方程的有（　　）
A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥
2．（2020七上·三台期中）下列方程的解是 的有（　　）
①②③④
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
3．（2024七上·凤泉期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
4．（2025七上·新昌期末）a，b，c三种物体质量关系如图所示，若在天平一边放物体a，另一边放物体c，并使天平保持平衡，则摆放物体数量最少的方案是（　　）
A．一边放4个a，另一边放9个c B．一边放6个a，另一边放9个c
C．一边放6个a，另一边放4个c D．一边放8个a，另一边放18个c
5．（2024七上·桂林期中）下列各式的变形中，属于移项的是（　　）
A．由变形为
B．由变形为
C．由变形为
D．由变形为
6．下列解方程的过程中，正确的是(　　)
A．由 得3x=2(x-1)-6 B．由3x=2(x-1)-6，得
C．由3x=2x-2-6，得 D．由5x=-8，得
7．（2025七上·新昌期末）把方程的分母化为整数，结果应为（　　）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何 ”大意是几个人一起去购买某物品，若每人出8钱，则多了3 钱；若每人出7钱，则少了4 钱.问有多少人 物品的价格是多少 其答案为(　　)
A．6人、52钱 B．5人、37钱 C．8人、60钱 D．7人、53钱
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023七上·保康期末）若是关于的一元一次方程，则的值为　 　．
10．（2024七上·百色期末）对于有理数a，b，规定一种新运算，，如，则方程的解为　 　.
11．小磊在解方程 时，墨水把其中一个数字染成了“”，他翻阅了答案，知道这个方程的解为 于是他推算出“”处的数字是　 　.
12．（2021七上·定远期末）一件羽绒服原价是元，后由于迎新年促销打折售价是元，这件羽绒服打了　 　折．
13．小明家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码的数字和等于它的最后两位数，则小明家的电话号码是　 　.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14． 解下列方程：
（1）x+3x=-16；
（2）16y-2.5y-7.5y=5；
（3） 3x+5=4x+1
（4）9-3y=5y+5.
15．（2024七上·岳麓期末）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”．
（1）下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；
①（　　） ②（　　） ③（　　）
（2）若关于的方程是“幸福方程”，求的值；
（3）若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解．
16．（2024七上·从江月考）阅读理解．
在学习绝对值后，可以理解为有理数5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．因为有理数5和2在数轴上对应的两点之间距离为3，所以．数7和之间的距离可以表示为，表示数到的距离．
（1）在数轴上，点A，B分别表示数a，b，A，B之间的距离= ；
（2）在数轴上，点M为，点N到点M的距离为5，求点N表示的数，请运用以上知识解答；
（3）根据阅读理解，最小值是．
17．（2024七上·洪山期末）阅读材料：
把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是
解决问题：
（1）请把无限循环小数化为分数；
（2）我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______．
18．（2025七上·海曙期末）列方程解应用题：根据图中情景，解下列问题
“元旦”大酬宾： 跳绳每根 25 元； 购买超过 10 根，全部跳绳享受八折优惠。 她付的钱怎么比我还少
（1）填表：
购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b>10）
付款数（元） ▲ ▲ ▲ ▲
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少付了5元，你认为这种情况有可能吗 请利用方程知识说明理由.
19．（2025七上·鄞州期末）为实现节能减排， 同时考虑惠民利民， 某地实施阶梯电价． 电价分为夏季和非夏季标准， 每年的月执行夏季标准， 其余月份执行非夏季标准． 具体执行标准如下表：
阶梯电价 夏季标准 非夏季标准
第一档用电量 千·瓦时 千瓦时
第一档电价 元/千瓦时
第二档用电量 千瓦时 千瓦时
第二档电价 元/千瓦时
第三档用电量 千瓦时及以上 千瓦时及以上
第三档电价 元/千瓦时
（1）某用户 9 月份用电量为 千瓦时，需支付电费是__________．某用户 12 月份用电量为千瓦时，需支付电费是__________．
（2）某用户 11 月份支付电费元，求该用户的用电量．
（3）小宁和小波有两个关于电费的判断，请你选择其中的一个说法作出判断并说明理由：
小宁： “两个月用电量相同， 电费却相差元．”
小波： “月用电量在某个范围时， 夏季标准和非夏季标准的电费金额始终相差元．
20．（2025七上·龙岗期末）如图所示，，把一块含角三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重合，OE平分平分．（本题中的角均大于且小于的角）
（1）如图（a）所示，当OB，OC重合，且三角板的另一边OD在的外部时，求的度数；
（2）如图（b）所示，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究：
①探究的大小是否改变，若有改变，请直接用含的式子表示；若没有改变，请直接写出定值． ▲ ；
②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解： ①m=1是方程；②x+3x=4是方程；③6x-7＞0不是方程；④2x+y不是方程；⑤+2=5是方程；⑥x3y+2x=6是方程.其中 ①②⑤⑥ 是方程.
故答案为： D .
【分析】方程是指含有未知数的等式，根据方程的概念对6个式子逐一识别，判断是否是方程.
2．【答案】A
【知识点】估计方程的解
【解析】【解答】①
解得x=-3，不合题意；②
x+2=±5，
解得x=3或x=-7，不合题意；③
x-3=0，x-1=0，
解得：x=3或x=1，不合题意；④
解得：x=3，符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据方程解的定义，将x=3分别代入四个方程中进行检验即可.
3．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A．，，不符合题意，选项错误；
B．，得：，符合题意，选项正确；
C．当时，由不能推出，不符合题意，选项错误；
D．当时，由不能推出，不符合题意，选项错误，
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质（ 等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立 ）逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：依题意，得出，，
则，
∴，
即，
∵在天平一边放物体a，另一边放物体c，并使天平保持平衡，
则摆放物体数量最少的方案是一边放4个a，另一边放9个c，
故答案为：A．
【分析】根据图示得到，，即可得到，然后解答即可．
5．【答案】D
【知识点】移项的概念及应用
【解析】【解答】解：A、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意；
B、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意；
C、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意；
D、由变形为，属于移项，故选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据移项的定义和法则“从等式的一边移到另一边是移项，移项要变号”解答即可．
6．【答案】B
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：A、方程两边同时乘以6，约去分母得 3x=2(x-1)-36，故此选项错误，不符合题意；
B、由 3x=2(x-1)-6去括号，得 3x=2x-2-6，故此选项正确，符合题意；
C、 由3x=2x-2-6移项，得 由3x-2x=-2-6，故此选项错误，不符合题意；
D、在5x=-8的两边同时除以5将未知数项的系数化为1，得，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C .
【分析】去分母（两边同时乘以6，右边的-6也要乘以6，不能漏乘），据此可判断A选项；去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），据此可判断B选项；将方程中一边的项改变符号后移到方程的另一边就叫做移项，据此可判断C选项；方程两边同时除以未知数项的系数，将未知数项的系数化为1，据此可判断D选项.
7．【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用分数的性质将的分子和分母都乘以10，然后再约分解题．
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人.由题意，得8x-3=7x+4，解得x=7，所以7×8-3=53(钱).
故答案为：D.
【分析】设有x人.根据“ 每人出8钱，则多了3 钱；若每人出7钱，则少了4 钱 ”列方程解答即可.
9．【答案】-4
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵(4-m)xlm|-3-16=0是关于x的一元一次方程，
∴|m|-3=1且m-4≠0，
解得m=-4.
故答案为：-4.
【分析】依据一元一次方程的定义可知|m|-3=1且m-4≠0，从而可求得m的值.
10．【答案】x=3
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴得，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】根据新定义运算即可得到，进而解一元一次方程即可求解。
11．【答案】3
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：设“”为a，将代入方程 ，得
解之，得 a=3
即”处的数字是3。
故答案为：3.
【分析】 设“”为a，将代入方程 可得方程 ，解之可得a=3，即”处的数字是3。
12．【答案】八
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设这件羽绒服打折，根据题意可得，
，
解得：，
故答案为：八 ．
【分析】根据 一件羽绒服原价是元，后由于迎新年促销打折售价是元， 列方程求解即可。
13．【答案】88887654
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：由题可得，设第一位数字为a，则此电话号码应该有两种情况(如下表)：
(1) a a a a a+1 a+2 a+3 a+4
(2) a a a a a-1 a-2 a-3 a-4
在情况(1)，得到8a+1+2+3+4=10(a+3)+(a+4)，解得a=-8(舍去，数字非负 ).
在情况(2)，得到8a-1-2-3-4=10(a-3)+(a-4)，解得a=8.
则八位数为88887654 ，验证：数字和：8×4 + 7 + 6 + 5 + 4 = 32 + 22 = 54
最后两位：54，相等，符合条件 .
故答案为：88887654.
【分析】设前四位数字为x，分后五位 “递增”“递减” 两种连续自然数情况，分别表示出电话号码、数字和、最后两位数，列方程求解，舍去不合理（数字为负 ）的解.
14．【答案】解：(1)合并同类项得：4x=-16，系数化为1得：． (2)合并同类项得：6y=5，系数化为1得： ． (3)移项得：3x-4x=1-5合并同类项得：-x=-4，系数化为1得： ． (4) 移项得：-3y-5y=5-9，合并同类项得：-8y=-4，系数化为1得：．
（1）解：合并同类项得：4x=-16，
系数化为1得：．
（2）解：合并同类项得：6y=5，
系数化为1得： ．
（3）解：移项得：3x-4x=1-5
合并同类项得：-x=-4，
系数化为1得： ．
（4）解：移项得：-3y-5y=5-9，
合并同类项得：-8y=-4，
系数化为1得：．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】根据一元一次方程的解题步骤“移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解.
15．【答案】（1）；；
（2）解：，
解得：，
根据方程是“幸福方程”，
可得：或，
解得：或；
答：的值 为或-4.
（3）解：，
解得：，
方程是“幸福方程”，
或，
①当时，
可化简为，
解得：；
②当，
可化简变形为，
解得：，
因此，当时，该方程无解；
当时，；
综上所述，当时，；
当时，①时，无解；②时，．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，
解得：，
∵，
∴方程是“幸福方程”；
②，
解得：，
∵，，，，
∴方程不是“幸福方程”；
③，
变形可得：，
解得：，
∵，
∴方程是“幸福方程”；
故答案为：；；；
【分析】（1）根据题目中“幸福方程”的概念，逐个进行判断即可；
（2）根据题目中“幸福方程”的概念，即可得出或，对方程进行求解即可；
（3）根据题目中“幸福方程”的概念，列出方程求解，并进行分类讨论即可．
（1）解：①解，可得，，故方程是“幸福方程”；
②解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”；
③解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”，
故答案为：；；；
（2）解：解，可得，
关于的方程是“幸福方程”，
或，
解得或；
（3）解：解，可得，
关于的方程是“幸福方程”，
或，
①当时，
可化简为，
则，
②当，
可化简为，
变形可得，
当时，等式左边等于0，等式右边等于5，故该方程无解；
当时，；
综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，．
16．【答案】（1）解：由题意可得：
，
（2）解：设点表示，则
，
或，
点表示的数为3或．
（3）解：如图：
表示到的距离与到的距离之和，
则由数轴可得，当在和之间时，有最小值，
最小值为：；
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式即可求出答案.
（2）利用数轴上两点之间的距离公式即可求出答案.
（3）表示到的距离与到的距离之和，则由数轴可得，当在和之间时，有最小值，利用两点间的距离公式即可求解．
（1）解：，
（2）解：设点表示，则
，
或，
点表示的数为3或．
（3）解：如图：
表示到的距离与到的距离之和，
则由数轴可得，当在和之间时，有最小值，
最小值为：；
17．【答案】（1）解：设，则，∴，
∴，
解得，
∴；
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）设，得到，据此列出方程，求得方程的解，即可得到答案；
（2）根据循环位数是几位则乘以几个10得到一个数，再用这个数减去原循环小数后等于循环节组成的数，据此列出方程，即可得到答案．
18．【答案】（1）解：
购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b>10）
付款数（元） 125 260 25a 20b
（2）解：设小明买了x根，则小红买了(x+2)根
由题意x≤10，x+2>10.
因此 20(x+2)+5=25x，
解得x=9.
答：小明买了9根，则小红买了11根。
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数乘法的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：(1) 购买跳绳数5根， 则付款数为5×25 =125元，因为13>10，
所以购买跳绳数13根，则付款数为
13×25×0.8=260元，
购买跳绳数a(a≤10)根，则付款数为25a元，
购买跳绳数b(b> 10)根， 则付款数为25b×0.8 =20b元，
故可填表如下，
购买跳绳数 (根) 5 13 a(a≤10) b(b>10)
付款数 (元) 125 260 25a 20b
故答案为： 125； 260； 25a； 20b；
【分析】(1)根据“跳绳每根25元；购买超过10根，全部跳绳享受八折优惠”，分别求解即可；
(2)设小明买了x根，则小红买了(x+2)根，由题意易知x≤10， x+2>10， 然后列出关于x的方程并求解，即可获得答案.
19．【答案】（1）元，元；
（2）解：∵，
月用电量在千瓦时及以上．
设用电量为千瓦时，
解得 ．
月该用户的用电量为千瓦时；
（3）选小宁：设用电量为 千瓦时，
① 当 时，
解得 ，不合题意，舍去，
②当时，
解得 ．
综上所述， 当用电量为千瓦时， 电费可能相差38 元．
选小波： 设月用电量为千瓦时，
① 当 时，夏季：； 非夏季：，不合题意；
②当 时，夏季：；非夏季：，不合题意；
③当时，夏季： ；
非夏季：；费用相差6元，不合题意；
④当 时，夏季： ；
非夏季： ，
解得；
⑤当时，夏季： ；
非夏季： ，费用相差元，符合题意．
综上所述，当用电量时，电费金额之差固定不变．，始终相差元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：9 月份用电量千瓦时， 需支付电费元，
12 月份用电量千瓦时， 需支付电费元．
故答案为：元，元
【分析】（1）根据执行标准列式解题；
（2）先根据执行标准得到月用电量在千瓦时及以上，设用电量为千瓦时，利用支付电费元，列方程解题即可；
（3）设用电量为千瓦时，然后根据用电量的取值范围分别列方程解题即可．
（1）解：9 月份用电量千瓦时， 需支付电费元，
12 月份用电量千瓦时， 需支付电费元．
故答案为：元，元
（2）∵，
月用电量在千瓦时及以上．
设用电量为千瓦时，
解得 ．
月该用户的用电量为千瓦时；
（3）选小宁：设用电量为 千瓦时，
① 当 时，
解得 ，不合题意，舍去，
②当时，
解得 ．
综上所述， 当用电量为千瓦时， 电费可能相差38 元．
选小波： 设月用电量为千瓦时，
① 当 时，夏季：； 非夏季：，不合题意；
②当 时，夏季：；非夏季：，不合题意；
③当时，夏季： ；
非夏季：；费用相差6元，不合题意；
④当 时，夏季： ；
非夏季： ，
解得；
⑤当时，夏季： ；
非夏季： ，费用相差元，符合题意．
综上所述，当用电量时，电费金额之差固定不变．，始终相差元．
20．【答案】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∠AOB＝110°，∠BOD＝30°，
∴∠COE＝∠AOB＝55°，∠BOF＝∠BOD＝15°．
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝70°．
（2）解：①70°
理由如下：
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
②存在α使得∠BOE＝5∠DOF．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠EOC＝n，∠DOF＝∠BOF＝m．
第一种情况：如图所示．
∵∠BOE＝5∠DOF，∴n+30°+m+m＝5m．
∴3m﹣n＝30°．
∵∠AOB＝110°，∴n+n+30°+m+m＝110°．
∴n+m＝40°．
∴3m﹣n+n+m=4m＝70°即m＝17.5°．
∴α＝∠BOC＝30°+m+m＝65°．
第二种情况：如图所示．
∵∠BOE＝5m，∴∠EOD﹣∠BOD＝5m．∴n+30°﹣2m＝5m．
∴7m﹣n＝30°．
∵∠AOB＝110°，∴∠AOD﹣∠BOD＝110°．∴2n+30°﹣2m＝110°．
∴n﹣m＝40°．
∴7m﹣n+n﹣m=6m＝70°即m＝°．
∴α＝∠BOC＝30°﹣2m＝°．
综上所述，α＝65°或°．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平分条件，分别计算∠COE与∠BOF的度数，然后求和即可；
（2）由角平分线得2∠COE=∠AOC，2∠DOF=∠BOD，由∠AOC+∠COD+∠BOD=110°得∠COE+∠DOF=40°，再计算即可；
（3）设∠AOE=∠EOC=m，∠DOF=∠BOF=n，画出两种不同的图形，再计算即可.
1 / 1第五章《一元一次方程》提升卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．有下列各式：①m=1；②x+3x=4；③6x-7＞0；④2x+y；⑤+2=5；⑥x3y+2x=6其中是方程的有（　　）
A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥
【答案】D
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解： ①m=1是方程；②x+3x=4是方程；③6x-7＞0不是方程；④2x+y不是方程；⑤+2=5是方程；⑥x3y+2x=6是方程.其中 ①②⑤⑥ 是方程.
故答案为： D .
【分析】方程是指含有未知数的等式，根据方程的概念对6个式子逐一识别，判断是否是方程.
2．（2020七上·三台期中）下列方程的解是 的有（　　）
①②③④
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
【答案】A
【知识点】估计方程的解
【解析】【解答】①
解得x=-3，不合题意；②
x+2=±5，
解得x=3或x=-7，不合题意；③
x-3=0，x-1=0，
解得：x=3或x=1，不合题意；④
解得：x=3，符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据方程解的定义，将x=3分别代入四个方程中进行检验即可.
3．（2024七上·凤泉期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A．，，不符合题意，选项错误；
B．，得：，符合题意，选项正确；
C．当时，由不能推出，不符合题意，选项错误；
D．当时，由不能推出，不符合题意，选项错误，
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质（ 等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立 ）逐项分析判断即可.
4．（2025七上·新昌期末）a，b，c三种物体质量关系如图所示，若在天平一边放物体a，另一边放物体c，并使天平保持平衡，则摆放物体数量最少的方案是（　　）
A．一边放4个a，另一边放9个c B．一边放6个a，另一边放9个c
C．一边放6个a，另一边放4个c D．一边放8个a，另一边放18个c
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：依题意，得出，，
则，
∴，
即，
∵在天平一边放物体a，另一边放物体c，并使天平保持平衡，
则摆放物体数量最少的方案是一边放4个a，另一边放9个c，
故答案为：A．
【分析】根据图示得到，，即可得到，然后解答即可．
5．（2024七上·桂林期中）下列各式的变形中，属于移项的是（　　）
A．由变形为
B．由变形为
C．由变形为
D．由变形为
【答案】D
【知识点】移项的概念及应用
【解析】【解答】解：A、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意；
B、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意；
C、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意；
D、由变形为，属于移项，故选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据移项的定义和法则“从等式的一边移到另一边是移项，移项要变号”解答即可．
6．下列解方程的过程中，正确的是(　　)
A．由 得3x=2(x-1)-6 B．由3x=2(x-1)-6，得
C．由3x=2x-2-6，得 D．由5x=-8，得
【答案】B
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：A、方程两边同时乘以6，约去分母得 3x=2(x-1)-36，故此选项错误，不符合题意；
B、由 3x=2(x-1)-6去括号，得 3x=2x-2-6，故此选项正确，符合题意；
C、 由3x=2x-2-6移项，得 由3x-2x=-2-6，故此选项错误，不符合题意；
D、在5x=-8的两边同时除以5将未知数项的系数化为1，得，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C .
【分析】去分母（两边同时乘以6，右边的-6也要乘以6，不能漏乘），据此可判断A选项；去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），据此可判断B选项；将方程中一边的项改变符号后移到方程的另一边就叫做移项，据此可判断C选项；方程两边同时除以未知数项的系数，将未知数项的系数化为1，据此可判断D选项.
7．（2025七上·新昌期末）把方程的分母化为整数，结果应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用分数的性质将的分子和分母都乘以10，然后再约分解题．
8．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何 ”大意是几个人一起去购买某物品，若每人出8钱，则多了3 钱；若每人出7钱，则少了4 钱.问有多少人 物品的价格是多少 其答案为(　　)
A．6人、52钱 B．5人、37钱 C．8人、60钱 D．7人、53钱
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人.由题意，得8x-3=7x+4，解得x=7，所以7×8-3=53(钱).
故答案为：D.
【分析】设有x人.根据“ 每人出8钱，则多了3 钱；若每人出7钱，则少了4 钱 ”列方程解答即可.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023七上·保康期末）若是关于的一元一次方程，则的值为　 　．
【答案】-4
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵(4-m)xlm|-3-16=0是关于x的一元一次方程，
∴|m|-3=1且m-4≠0，
解得m=-4.
故答案为：-4.
【分析】依据一元一次方程的定义可知|m|-3=1且m-4≠0，从而可求得m的值.
10．（2024七上·百色期末）对于有理数a，b，规定一种新运算，，如，则方程的解为　 　.
【答案】x=3
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴得，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】根据新定义运算即可得到，进而解一元一次方程即可求解。
11．小磊在解方程 时，墨水把其中一个数字染成了“”，他翻阅了答案，知道这个方程的解为 于是他推算出“”处的数字是　 　.
【答案】3
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：设“”为a，将代入方程 ，得
解之，得 a=3
即”处的数字是3。
故答案为：3.
【分析】 设“”为a，将代入方程 可得方程 ，解之可得a=3，即”处的数字是3。
12．（2021七上·定远期末）一件羽绒服原价是元，后由于迎新年促销打折售价是元，这件羽绒服打了　 　折．
【答案】八
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设这件羽绒服打折，根据题意可得，
，
解得：，
故答案为：八 ．
【分析】根据 一件羽绒服原价是元，后由于迎新年促销打折售价是元， 列方程求解即可。
13．小明家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码的数字和等于它的最后两位数，则小明家的电话号码是　 　.
【答案】88887654
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：由题可得，设第一位数字为a，则此电话号码应该有两种情况(如下表)：
(1) a a a a a+1 a+2 a+3 a+4
(2) a a a a a-1 a-2 a-3 a-4
在情况(1)，得到8a+1+2+3+4=10(a+3)+(a+4)，解得a=-8(舍去，数字非负 ).
在情况(2)，得到8a-1-2-3-4=10(a-3)+(a-4)，解得a=8.
则八位数为88887654 ，验证：数字和：8×4 + 7 + 6 + 5 + 4 = 32 + 22 = 54
最后两位：54，相等，符合条件 .
故答案为：88887654.
【分析】设前四位数字为x，分后五位 “递增”“递减” 两种连续自然数情况，分别表示出电话号码、数字和、最后两位数，列方程求解，舍去不合理（数字为负 ）的解.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14． 解下列方程：
（1）x+3x=-16；
（2）16y-2.5y-7.5y=5；
（3） 3x+5=4x+1
（4）9-3y=5y+5.
【答案】解：(1)合并同类项得：4x=-16，系数化为1得：． (2)合并同类项得：6y=5，系数化为1得： ． (3)移项得：3x-4x=1-5合并同类项得：-x=-4，系数化为1得： ． (4) 移项得：-3y-5y=5-9，合并同类项得：-8y=-4，系数化为1得：．
（1）解：合并同类项得：4x=-16，
系数化为1得：．
（2）解：合并同类项得：6y=5，
系数化为1得： ．
（3）解：移项得：3x-4x=1-5
合并同类项得：-x=-4，
系数化为1得： ．
（4）解：移项得：-3y-5y=5-9，
合并同类项得：-8y=-4，
系数化为1得：．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】根据一元一次方程的解题步骤“移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解.
15．（2024七上·岳麓期末）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”．
（1）下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；
①（　　） ②（　　） ③（　　）
（2）若关于的方程是“幸福方程”，求的值；
（3）若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解．
【答案】（1）；；
（2）解：，
解得：，
根据方程是“幸福方程”，
可得：或，
解得：或；
答：的值 为或-4.
（3）解：，
解得：，
方程是“幸福方程”，
或，
①当时，
可化简为，
解得：；
②当，
可化简变形为，
解得：，
因此，当时，该方程无解；
当时，；
综上所述，当时，；
当时，①时，无解；②时，．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，
解得：，
∵，
∴方程是“幸福方程”；
②，
解得：，
∵，，，，
∴方程不是“幸福方程”；
③，
变形可得：，
解得：，
∵，
∴方程是“幸福方程”；
故答案为：；；；
【分析】（1）根据题目中“幸福方程”的概念，逐个进行判断即可；
（2）根据题目中“幸福方程”的概念，即可得出或，对方程进行求解即可；
（3）根据题目中“幸福方程”的概念，列出方程求解，并进行分类讨论即可．
（1）解：①解，可得，，故方程是“幸福方程”；
②解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”；
③解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”，
故答案为：；；；
（2）解：解，可得，
关于的方程是“幸福方程”，
或，
解得或；
（3）解：解，可得，
关于的方程是“幸福方程”，
或，
①当时，
可化简为，
则，
②当，
可化简为，
变形可得，
当时，等式左边等于0，等式右边等于5，故该方程无解；
当时，；
综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，．
16．（2024七上·从江月考）阅读理解．
在学习绝对值后，可以理解为有理数5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．因为有理数5和2在数轴上对应的两点之间距离为3，所以．数7和之间的距离可以表示为，表示数到的距离．
（1）在数轴上，点A，B分别表示数a，b，A，B之间的距离= ；
（2）在数轴上，点M为，点N到点M的距离为5，求点N表示的数，请运用以上知识解答；
（3）根据阅读理解，最小值是．
【答案】（1）解：由题意可得：
，
（2）解：设点表示，则
，
或，
点表示的数为3或．
（3）解：如图：
表示到的距离与到的距离之和，
则由数轴可得，当在和之间时，有最小值，
最小值为：；
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式即可求出答案.
（2）利用数轴上两点之间的距离公式即可求出答案.
（3）表示到的距离与到的距离之和，则由数轴可得，当在和之间时，有最小值，利用两点间的距离公式即可求解．
（1）解：，
（2）解：设点表示，则
，
或，
点表示的数为3或．
（3）解：如图：
表示到的距离与到的距离之和，
则由数轴可得，当在和之间时，有最小值，
最小值为：；
17．（2024七上·洪山期末）阅读材料：
把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是
解决问题：
（1）请把无限循环小数化为分数；
（2）我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______．
【答案】（1）解：设，则，∴，
∴，
解得，
∴；
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）设，得到，据此列出方程，求得方程的解，即可得到答案；
（2）根据循环位数是几位则乘以几个10得到一个数，再用这个数减去原循环小数后等于循环节组成的数，据此列出方程，即可得到答案．
18．（2025七上·海曙期末）列方程解应用题：根据图中情景，解下列问题
“元旦”大酬宾： 跳绳每根 25 元； 购买超过 10 根，全部跳绳享受八折优惠。 她付的钱怎么比我还少
（1）填表：
购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b>10）
付款数（元） ▲ ▲ ▲ ▲
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少付了5元，你认为这种情况有可能吗 请利用方程知识说明理由.
【答案】（1）解：
购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b>10）
付款数（元） 125 260 25a 20b
（2）解：设小明买了x根，则小红买了(x+2)根
由题意x≤10，x+2>10.
因此 20(x+2)+5=25x，
解得x=9.
答：小明买了9根，则小红买了11根。
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数乘法的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：(1) 购买跳绳数5根， 则付款数为5×25 =125元，因为13>10，
所以购买跳绳数13根，则付款数为
13×25×0.8=260元，
购买跳绳数a(a≤10)根，则付款数为25a元，
购买跳绳数b(b> 10)根， 则付款数为25b×0.8 =20b元，
故可填表如下，
购买跳绳数 (根) 5 13 a(a≤10) b(b>10)
付款数 (元) 125 260 25a 20b
故答案为： 125； 260； 25a； 20b；
【分析】(1)根据“跳绳每根25元；购买超过10根，全部跳绳享受八折优惠”，分别求解即可；
(2)设小明买了x根，则小红买了(x+2)根，由题意易知x≤10， x+2>10， 然后列出关于x的方程并求解，即可获得答案.
19．（2025七上·鄞州期末）为实现节能减排， 同时考虑惠民利民， 某地实施阶梯电价． 电价分为夏季和非夏季标准， 每年的月执行夏季标准， 其余月份执行非夏季标准． 具体执行标准如下表：
阶梯电价 夏季标准 非夏季标准
第一档用电量 千·瓦时 千瓦时
第一档电价 元/千瓦时
第二档用电量 千瓦时 千瓦时
第二档电价 元/千瓦时
第三档用电量 千瓦时及以上 千瓦时及以上
第三档电价 元/千瓦时
（1）某用户 9 月份用电量为 千瓦时，需支付电费是__________．某用户 12 月份用电量为千瓦时，需支付电费是__________．
（2）某用户 11 月份支付电费元，求该用户的用电量．
（3）小宁和小波有两个关于电费的判断，请你选择其中的一个说法作出判断并说明理由：
小宁： “两个月用电量相同， 电费却相差元．”
小波： “月用电量在某个范围时， 夏季标准和非夏季标准的电费金额始终相差元．
【答案】（1）元，元；
（2）解：∵，
月用电量在千瓦时及以上．
设用电量为千瓦时，
解得 ．
月该用户的用电量为千瓦时；
（3）选小宁：设用电量为 千瓦时，
① 当 时，
解得 ，不合题意，舍去，
②当时，
解得 ．
综上所述， 当用电量为千瓦时， 电费可能相差38 元．
选小波： 设月用电量为千瓦时，
① 当 时，夏季：； 非夏季：，不合题意；
②当 时，夏季：；非夏季：，不合题意；
③当时，夏季： ；
非夏季：；费用相差6元，不合题意；
④当 时，夏季： ；
非夏季： ，
解得；
⑤当时，夏季： ；
非夏季： ，费用相差元，符合题意．
综上所述，当用电量时，电费金额之差固定不变．，始终相差元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：9 月份用电量千瓦时， 需支付电费元，
12 月份用电量千瓦时， 需支付电费元．
故答案为：元，元
【分析】（1）根据执行标准列式解题；
（2）先根据执行标准得到月用电量在千瓦时及以上，设用电量为千瓦时，利用支付电费元，列方程解题即可；
（3）设用电量为千瓦时，然后根据用电量的取值范围分别列方程解题即可．
（1）解：9 月份用电量千瓦时， 需支付电费元，
12 月份用电量千瓦时， 需支付电费元．
故答案为：元，元
（2）∵，
月用电量在千瓦时及以上．
设用电量为千瓦时，
解得 ．
月该用户的用电量为千瓦时；
（3）选小宁：设用电量为 千瓦时，
① 当 时，
解得 ，不合题意，舍去，
②当时，
解得 ．
综上所述， 当用电量为千瓦时， 电费可能相差38 元．
选小波： 设月用电量为千瓦时，
① 当 时，夏季：； 非夏季：，不合题意；
②当 时，夏季：；非夏季：，不合题意；
③当时，夏季： ；
非夏季：；费用相差6元，不合题意；
④当 时，夏季： ；
非夏季： ，
解得；
⑤当时，夏季： ；
非夏季： ，费用相差元，符合题意．
综上所述，当用电量时，电费金额之差固定不变．，始终相差元．
20．（2025七上·龙岗期末）如图所示，，把一块含角三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重合，OE平分平分．（本题中的角均大于且小于的角）
（1）如图（a）所示，当OB，OC重合，且三角板的另一边OD在的外部时，求的度数；
（2）如图（b）所示，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究：
①探究的大小是否改变，若有改变，请直接用含的式子表示；若没有改变，请直接写出定值． ▲ ；
②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∠AOB＝110°，∠BOD＝30°，
∴∠COE＝∠AOB＝55°，∠BOF＝∠BOD＝15°．
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝70°．
（2）解：①70°
理由如下：
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
②存在α使得∠BOE＝5∠DOF．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠EOC＝n，∠DOF＝∠BOF＝m．
第一种情况：如图所示．
∵∠BOE＝5∠DOF，∴n+30°+m+m＝5m．
∴3m﹣n＝30°．
∵∠AOB＝110°，∴n+n+30°+m+m＝110°．
∴n+m＝40°．
∴3m﹣n+n+m=4m＝70°即m＝17.5°．
∴α＝∠BOC＝30°+m+m＝65°．
第二种情况：如图所示．
∵∠BOE＝5m，∴∠EOD﹣∠BOD＝5m．∴n+30°﹣2m＝5m．
∴7m﹣n＝30°．
∵∠AOB＝110°，∴∠AOD﹣∠BOD＝110°．∴2n+30°﹣2m＝110°．
∴n﹣m＝40°．
∴7m﹣n+n﹣m=6m＝70°即m＝°．
∴α＝∠BOC＝30°﹣2m＝°．
综上所述，α＝65°或°．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平分条件，分别计算∠COE与∠BOF的度数，然后求和即可；
（2）由角平分线得2∠COE=∠AOC，2∠DOF=∠BOD，由∠AOC+∠COD+∠BOD=110°得∠COE+∠DOF=40°，再计算即可；
（3）设∠AOE=∠EOC=m，∠DOF=∠BOF=n，画出两种不同的图形，再计算即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑