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第五章《一元一次方程》培优卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2020七上·昆明期末）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．（2025七上·防城港期末）关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（　　）．
A． B． C． D．
3．（2025七上·江汉期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完，设共有x根竹竿，根据题意，列方程得（　　）
A． B． C． D．
4．下列方程的解法中，正确的个数是(　　)
①方程2x-1=x+1移项，得3x=0；
②方程2(x-1)-3(2-x)=5去括号，得2x-2-6+3x=5；
③方程 去分母，得4-x-2=2(x-1)；
④将方程 的分母化为整数，得
A．1 B．2 C．3 D．4
5．规定新运算“*”：对于任意实数a，b都有 例如： .若(1-2x)*3=15，则x的值为(　　)
A． B． C．-1 D．1
6．我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（　　）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
7．（2024七上·龙岗期末）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（　　）
A． B． C． D．
8．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是(　　).
A．5千克 B．6千克 C．7千克 D．8千克
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024七上·凉州期末）已知下列各式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
其中方程有　 　，一元一次方程有　 　
10．已知4m+2n-5=m+5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m　 　n(填“>”“<”或“=”)．
11．方程 的解是　 　.
12．（2024七上·丽水月考）按下面的程序计算：
如果输入的值是正整数，输出结果是，那么满足条件的的值可以是　 　 ．
13．（2024七上·深圳期末）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有位数字．它是由前位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”其中，校验码是用来校验商品条形码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即；
步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即；
步骤：计算与的和，即；
步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即；
步骤：计算与的差就是校验码，即．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是，则被污染的两个数字中右边的数字是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．解方程：
（1）
（2）
15．若abc=1，解方程：
16．（2024七上·邛崃期末） 【阅读】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项的未知数次数二次变为一次，再将其二次项的系数乘以2保留，将二次多项式的一次项去掉未知数只保留其系数，将二次多项式的常数项去掉．例如：二次多项式，二次多项式A经过处理器处理得到一次二项式．
【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器处理得到一次二项式B，根据以上方法，解决下列问题：
（1）若，则　 　；
（2）若，求关于y的方程的解；
（3）【延伸】
已知，A是关于y的二次多项式，若B是A经过处理器得到的关于y的一次二项式，求关于y的方程的解．
17．（2024七上·惠州期末）2023年12月28日晚，惠州一中南湖校区“悠悠南湖情，拳拳家国心”元旦文艺晚会在南湖畔上演．一中师生用歌声舞姿表达热爱寄托情怀，回首2023，逐梦2024．若1班和2班共有94名学生（其中1班人数多于2班人数，且1班人数不够90名），统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的服装价格表：
购买服装的套数 1套—46套 47套—90套 91套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两个班分别单独购买服装，一共应付5120元．
（1）若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？
（2）两个班各有多少名学生准备参加元旦演出？
（3）如果1班有10名学生被调去参加合唱团的节目，不能参加班级演出，请你为这两个班设计一种最省钱的购买服装的方案．
18．（2024七上·碧江期末）【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
【解决问题】
（1）一个角的平分线_______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）若，射线是的“巧分线”，则_______；
【拓展延伸】
（3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由．
19．（2024七上·三水期末）综合与实践
古琴在我国的历史非常悠久，不管是神话故事还是史书记载，古琴的出现时间是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵（zhǐ）、商、羽、角．其发声管的管长可以通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下：
假设基本音“宫”的发声管长是81，
“宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声管长是54；
“徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声管长是72；
“商”经“三分损一”得“羽”；
“羽”经“三分益一”得“角”．
（1）按照上面的假设，“羽”音的发声管长是______．
（2）如图，线段表示“徵”的发声管长，其中两点是线段的三等分点，请你用尺规作图作出表示“商”的发声管的线段（保留作图痕迹）
（3）小明想要制作一个古琴，需要五根发声管，每根发声管分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声管的长度总和为，求该古琴中“宫”的发声管长．
20．（2025七上·光明期末）
信息1
小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图1），小颖家车的速度是100千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的1.2倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图2的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车．
信息2
某时刻乙车在甲车前方20千米，此时小刚看到自己手表（图3）显示的时间如图4中表盘所示，OA表示时针，OB表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是∠AOB（0°<∠AOB<180°），表带所在直线为MN．
根据以上信息回答问题：
（1）小刚看表时，时针OA和分针OB的夹角∠AOB为　 　°．
（2）①经过　 　小时，甲车追上乙车；
②甲车刚追上乙车时，此时时针OA和分针OB的夹角∠AOB为　 　°．
（3）①在表盘中分针OB每分钟转过　 　°，时针OA每分钟转过　 　°；
②自小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，经过　 　分钟后，∠AOB的度数是90° ．
（4）小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图5），该装置的“表带”所在直线是MN，装置有三根指针分别为OD、OE和OF，指针OEOF在转动过程中保持∠EOF=90°，指针OD始终平分∠FON，指针OF从图5所示位置（OF和射线ON重合）以每秒6°顺时针开始旋转，经过t秒后（0答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A．当c＝0时，由ac＝bc不能推出a＝b，故本选项符合题意；
B．∵﹣a＝﹣b，
∴两边同时乘以﹣1得：a＝b，故本选项不符合题意；
C．∵ ，
∴两边同时乘以c得：a＝b，故本选项不符合题意；
D．∵（m2+1）a＝（m2+1）b，且m2+1＞0，
∴两边同时除以m2+1得：a＝b，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义及解法，把只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，根据一元一次方程的定义，得到，求得k的值，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x根竹竿，
根据题意，得，
故答案为：B．
【分析】设共有x根竹竿，根据“每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完“可列出关于x的一元一次方程，据此得到答案.
4．【答案】A
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】①方程2x-1=x+1移项，得x=2，错误；
②方程2(x-1)-3(2-x)= 5去括号得，2x-2-6+3x=5，正确；
③方程去分母，得4-x+2=2(x-1)错误；
④方程分母化为整数，得错误；
故答案选：A.
【分析】各方程整理得到结果，即可做出判断.
5．【答案】C
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：
故答案为： C.
【分析】按照定义的新运算可得： 然后进行计算即可解答.
6．【答案】D
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】根据题意得=-4m-2×7，
∵=6，
∴-4m-2×7=6，解得m=-5．
故答案为 ：D
【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可.
7．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：如图，
y
z
m
∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，
∴y+2025+z=z+2+3
解之：y=-2020；
∴-2020+m+3=x+m+2，
解之：x=-2019.
故答案为：D.
【分析】设第一行第1个数为y，第三个数为z，第二行的第二个数为m，利用已知每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，可得到y+2025+z=z+2+3，y+m+3=x+m+2，先求出y，再求出x的值.
8．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设切下的每一块合金重x克，10千克、15千克的合金含铜的百分比分别为a，b(a≠b)，
则 ，
整理得(b-a)x=6(b-a)，
故x=6.
故答案为：B.
【分析】 设切下重量和两块合金含铜百分比，分别表示混合后两块合金的含铜量与总重量，根据 “含铜百分比相等” 列方程，化简求解.
9．【答案】①②③⑤⑦；②⑦
【知识点】一元一次方程的概念；方程的定义及分类
【解析】【解答】解：根据方程的定义得：①②③⑤⑦是方程，
根据一元一次方程的定义得：②⑦是一元一次方程，
故答案为：①②③⑤⑦；②⑦．
【分析】本题主要考查了方程的定义，以及一元一次方程的定义，把只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程，称为一元一次方程，据此定义，逐一进行判断，即可得到答案.
10．【答案】>
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解： 4m+2n-5=m+5n ，
等式两边同减（m+5n-5）得3m-3n=5，
等式两边同除以3，得m-n=＞0，
∴m＞n.
故答案为：＞.
【分析】利用等式的性质求出m-n的值，根据结果判断即可.
11．【答案】x=1
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：去小括号，得
去中括号，得
然后去大括号，整理得
去分母，得x+2=3，
移项合并，得x=1.
故答案为：x=1.
【分析】利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
12．【答案】54或14或4
【知识点】解含括号的一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当第一次输入正好输出214时，
即4x-2=214，
解得x=54；
当第二次输入正好输出214时，
即4（4x-2）-2=214，
解得x=14；
当第三次输入正好输出214时，
即4[4（4x-2）-2]-2=214，
解得x=4；
当第四次输入正好输出214时，
即4[4[4（4x-2）-2]-2}-2=214，
解得x=，不是整数，故舍去，
按此规律循环下去，首次输入的值越来越小，且小于1，都不符合x为正整数的条件，
故输入x的值是正整数，输出结果是214，那么满足条件的x的值可以是54或14或4.
故答案为：54或14或4.
【分析】根据程序框图给出的计算方式，分当第一次输入正好输出214时，当第二次输入正好输出214时，当第三次输入正好输出214时，当第四次输入正好输出214时，分别列出方程求解，就会发现分规律首次输入的值越来越小，且小于1，从而即可判断得出答案.
13．【答案】4
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：设这两个数字左边的为x，右边的数是y.
由题意得：a=9+9+2+y+3+5=28+y，b=6+1+x+1+2+4=14+x，
c=3a+b=3（28+y）+（14+x）=98+ (3y+x)，
又∵x+y=5，
∴c=98+ (2y+x+y)=98+2y+5=103+2y.
∵校验码是9，即d=c+9=112+2y.
∵d是大于等于c且为10的整数倍的最小数，
∴d=120，112+2y=120，
∴y=4.
故答案为：4.
【分析】设两个数分别是x，y，根据定义一步步表示出a，b，c，d的代数式，列方程求解即可.
14．【答案】（1）解：令 则4t=5t-1，解得t=1，
解得x=5.
（2）解：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）中可以将（x+1）视为一个整体，也可以将 或 视为一个整体，
（2）中也有整体出现.
15．【答案】解：因为abc=1，所以原方程可变形为
化简整理为
化简整理为为
为原方程的解.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】先根据abc=1结合题意整理方程得到化简得到进而结合题意得到从而约分即可求解。
16．【答案】（1）
（2）解：，
，
方程化为，
解得；
（3）解：，
，
方程化为，
移项得：，
合并同类项得：，
，，
．
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）若，
则．
故答案为：；
【分析】（1）根据“ 将二次多项式的二次项的未知数次数二次变为一次，再将其二次项的系数乘以2保留，将二次多项式的一次项去掉未知数只保留其系数，将二次多项式的常数项去掉”进行计算求解即可；
（2）先求出B，根据B=0建立方程，解方程即可获得答案；
（3）先求出B，再整理方程，结合m-1的取值，解方程即可获得答案．
17．【答案】（1）解：元，
答：若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省元；
（2）解：设1班有名学生准备参加元旦演出，则2班有名学生准备参加元旦演出，
1班人数多于2班人数，
，
解得：，
1班人数不够90名，
，
，
由题意得：，
解得：，
，
答：1班有名学生准备参加元旦演出，2班有名学生准备参加元旦演出；
（3）解：由题意可知，1班有名学生准备参加元旦演出，2班有名学生准备参加元旦演出，共人，
联合一起买最省钱，若买套，则需花费元，
若买套，则需花费元，
，
联合一起买套最省钱．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据题干中的数据列出算式求解即可；
（2） 设1班有名学生准备参加元旦演出，则2班有名学生准备参加元旦演出，根据“ 1班人数多于2班人数 ”列出不等式，求出x的值取值范围，再根据“ 两个班分别单独购买服装，一共应付5120元 ”列出方程， 再求解即可；
（3）根据题干中的方案求出每种方案的费用，再比较大小即可.
18．【答案】解：（1）是；
（2）或或；
（3）根据题意可知：（，）， ，
①如图1，所示：
当∠AOQ=2∠AOP时，则有150°-4t°=2×8t°，
解得：t=7.5，
②如图2所示：
当∠AOP=2∠POQ时，则∠AOP=∠AOQ，
即8t°=×（150°-4t°），
解得：t=，
③如图3所示：
当∠POQ=2∠AOP时，则∠AOP=∠AOQ，
即8t°=×（150°-4t°），
解得：t=，
综上所述，当秒或秒或秒，射线是的“巧分线”.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）根据角平分线的定义可知，一个角的平分线是这个角的“巧分线”，
故答案为：是；
（2）∵，
当∠AOB=2∠AOC=2∠BOC时，∠AOC==60°，
当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC==80°，
当∠BOC=2∠AOC时，∠AOC==40°，
故答案为：或或；
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的“巧分线”进行解答即可；
（2）根据角的“巧分线”，分类讨论即可；
（3）根据题意分别表示出，，进而得出，然后根据“巧分线”的定义，分类讨论进行解答即可.
19．【答案】（1）48
（2）解：如图，
以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，则线段或为表示“商”的发声管的线段．
（3）解：设该古琴中“宫”的发声管长为，五根发声管的长度总和为，
∴，
解得，
该古琴中“宫”的发声管长为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；尺规作图-直线、射线、线段；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，“羽”音的发声管长是，
故答案为：；
【分析】（1）由题意得，“羽”经“三分益一”得“角”，结合规律，“羽”音的发声管长的算式，进行计算，即可得到答案；
（2）以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，得到线段或为表示“商”的发声管的线段，即可秋季诶．
（3）设该古琴中“宫”的发声管长为，根据五根发声管的长度总和为，列出方程求解，即可得到答案．
（1）解：由题意得，“羽”音的发声管长是，
故答案为：；
（2）解：如图，
以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，则线段或为表示“商”的发声管的线段．
（3）解：设该古琴中“宫”的发声管长为，
五根发声管的长度总和为，
∴，
解得，
该古琴中“宫”的发声管长为．
20．【答案】（1）105
（2）1；135
（3）6；0.5；或
（4）7
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；钟面角
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，此时时针和分针之间有3.5大格
则夹角为3.5×30°=105°
故答案为：105
（2）①设x小时后，甲车追上乙车，由题意可得：
甲车速度为1.2×100=120千米/时
∴120x=100x+20
解得：x=1
则经过1小时，甲车追上乙车
故答案为：1
②由①可得，甲车刚追上乙车时，此时时间为为10：30
时针和分针之间有4.5大格
则夹角为4.5×30°=135°
故答案为：135
（3）①由题意可得：表盘中分针OB每分钟转过360°÷60=6°
时针OA每分钟转过30°÷60=0.5°
②设经过x分钟后，∠AOB的度数是90°
当分针在时针上方时，
解得：x=
当分针在时针下方时，
解得：x=
综上所述， 经过或分钟后，∠AOB的度数是90°
（4）如图6，由题意可得：
∠FON=6t°，∠EON=90°-6t°
∴
∴∠EOD=∠DON+∠EON=90°-3t°=x°
如图7，由题意可得：
∠FON=6(t+m)°，∠EON=6(t+m)°-90°
∴
∴∠EOD=∠DON-∠EON=-3(m+t)°+90°=y°
∵x-y=21
即90-3t-[-3(m+t)+90]=21
解得：m=7
故答案为：7
【分析】（1）根据钟面角的性质计算即可求出答案.
（2）①设x小时后，甲车追上乙车，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②根据钟面角的性质计算即可求出答案.
（3）①根据钟面角的性质计算即可求出答案.
②设经过x分钟后，∠AOB的度数是90°，分情况讨论：当分针在时针上方时，当分针在时针下方时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）根据题意分别求出图6，图7中，∠EOD，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1第五章《一元一次方程》培优卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2020七上·昆明期末）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A．当c＝0时，由ac＝bc不能推出a＝b，故本选项符合题意；
B．∵﹣a＝﹣b，
∴两边同时乘以﹣1得：a＝b，故本选项不符合题意；
C．∵ ，
∴两边同时乘以c得：a＝b，故本选项不符合题意；
D．∵（m2+1）a＝（m2+1）b，且m2+1＞0，
∴两边同时除以m2+1得：a＝b，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一分析判断即可.
2．（2025七上·防城港期末）关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义及解法，把只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，根据一元一次方程的定义，得到，求得k的值，即可得到答案.
3．（2025七上·江汉期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完，设共有x根竹竿，根据题意，列方程得（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x根竹竿，
根据题意，得，
故答案为：B．
【分析】设共有x根竹竿，根据“每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完“可列出关于x的一元一次方程，据此得到答案.
4．下列方程的解法中，正确的个数是(　　)
①方程2x-1=x+1移项，得3x=0；
②方程2(x-1)-3(2-x)=5去括号，得2x-2-6+3x=5；
③方程 去分母，得4-x-2=2(x-1)；
④将方程 的分母化为整数，得
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】①方程2x-1=x+1移项，得x=2，错误；
②方程2(x-1)-3(2-x)= 5去括号得，2x-2-6+3x=5，正确；
③方程去分母，得4-x+2=2(x-1)错误；
④方程分母化为整数，得错误；
故答案选：A.
【分析】各方程整理得到结果，即可做出判断.
5．规定新运算“*”：对于任意实数a，b都有 例如： .若(1-2x)*3=15，则x的值为(　　)
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：
故答案为： C.
【分析】按照定义的新运算可得： 然后进行计算即可解答.
6．我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（　　）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
【答案】D
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】根据题意得=-4m-2×7，
∵=6，
∴-4m-2×7=6，解得m=-5．
故答案为 ：D
【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可.
7．（2024七上·龙岗期末）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：如图，
y
z
m
∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，
∴y+2025+z=z+2+3
解之：y=-2020；
∴-2020+m+3=x+m+2，
解之：x=-2019.
故答案为：D.
【分析】设第一行第1个数为y，第三个数为z，第二行的第二个数为m，利用已知每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，可得到y+2025+z=z+2+3，y+m+3=x+m+2，先求出y，再求出x的值.
8．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是(　　).
A．5千克 B．6千克 C．7千克 D．8千克
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设切下的每一块合金重x克，10千克、15千克的合金含铜的百分比分别为a，b(a≠b)，
则 ，
整理得(b-a)x=6(b-a)，
故x=6.
故答案为：B.
【分析】 设切下重量和两块合金含铜百分比，分别表示混合后两块合金的含铜量与总重量，根据 “含铜百分比相等” 列方程，化简求解.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024七上·凉州期末）已知下列各式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
其中方程有　 　，一元一次方程有　 　
【答案】①②③⑤⑦；②⑦
【知识点】一元一次方程的概念；方程的定义及分类
【解析】【解答】解：根据方程的定义得：①②③⑤⑦是方程，
根据一元一次方程的定义得：②⑦是一元一次方程，
故答案为：①②③⑤⑦；②⑦．
【分析】本题主要考查了方程的定义，以及一元一次方程的定义，把只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程，称为一元一次方程，据此定义，逐一进行判断，即可得到答案.
10．已知4m+2n-5=m+5n，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m　 　n(填“>”“<”或“=”)．
【答案】>
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解： 4m+2n-5=m+5n ，
等式两边同减（m+5n-5）得3m-3n=5，
等式两边同除以3，得m-n=＞0，
∴m＞n.
故答案为：＞.
【分析】利用等式的性质求出m-n的值，根据结果判断即可.
11．方程 的解是　 　.
【答案】x=1
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：去小括号，得
去中括号，得
然后去大括号，整理得
去分母，得x+2=3，
移项合并，得x=1.
故答案为：x=1.
【分析】利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
12．（2024七上·丽水月考）按下面的程序计算：
如果输入的值是正整数，输出结果是，那么满足条件的的值可以是　 　 ．
【答案】54或14或4
【知识点】解含括号的一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当第一次输入正好输出214时，
即4x-2=214，
解得x=54；
当第二次输入正好输出214时，
即4（4x-2）-2=214，
解得x=14；
当第三次输入正好输出214时，
即4[4（4x-2）-2]-2=214，
解得x=4；
当第四次输入正好输出214时，
即4[4[4（4x-2）-2]-2}-2=214，
解得x=，不是整数，故舍去，
按此规律循环下去，首次输入的值越来越小，且小于1，都不符合x为正整数的条件，
故输入x的值是正整数，输出结果是214，那么满足条件的x的值可以是54或14或4.
故答案为：54或14或4.
【分析】根据程序框图给出的计算方式，分当第一次输入正好输出214时，当第二次输入正好输出214时，当第三次输入正好输出214时，当第四次输入正好输出214时，分别列出方程求解，就会发现分规律首次输入的值越来越小，且小于1，从而即可判断得出答案.
13．（2024七上·深圳期末）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有位数字．它是由前位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”其中，校验码是用来校验商品条形码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即；
步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即；
步骤：计算与的和，即；
步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即；
步骤：计算与的差就是校验码，即．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是，则被污染的两个数字中右边的数字是　 　．
【答案】4
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：设这两个数字左边的为x，右边的数是y.
由题意得：a=9+9+2+y+3+5=28+y，b=6+1+x+1+2+4=14+x，
c=3a+b=3（28+y）+（14+x）=98+ (3y+x)，
又∵x+y=5，
∴c=98+ (2y+x+y)=98+2y+5=103+2y.
∵校验码是9，即d=c+9=112+2y.
∵d是大于等于c且为10的整数倍的最小数，
∴d=120，112+2y=120，
∴y=4.
故答案为：4.
【分析】设两个数分别是x，y，根据定义一步步表示出a，b，c，d的代数式，列方程求解即可.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：令 则4t=5t-1，解得t=1，
解得x=5.
（2）解：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）中可以将（x+1）视为一个整体，也可以将 或 视为一个整体，
（2）中也有整体出现.
15．若abc=1，解方程：
【答案】解：因为abc=1，所以原方程可变形为
化简整理为
化简整理为为
为原方程的解.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】先根据abc=1结合题意整理方程得到化简得到进而结合题意得到从而约分即可求解。
16．（2024七上·邛崃期末） 【阅读】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项的未知数次数二次变为一次，再将其二次项的系数乘以2保留，将二次多项式的一次项去掉未知数只保留其系数，将二次多项式的常数项去掉．例如：二次多项式，二次多项式A经过处理器处理得到一次二项式．
【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器处理得到一次二项式B，根据以上方法，解决下列问题：
（1）若，则　 　；
（2）若，求关于y的方程的解；
（3）【延伸】
已知，A是关于y的二次多项式，若B是A经过处理器得到的关于y的一次二项式，求关于y的方程的解．
【答案】（1）
（2）解：，
，
方程化为，
解得；
（3）解：，
，
方程化为，
移项得：，
合并同类项得：，
，，
．
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）若，
则．
故答案为：；
【分析】（1）根据“ 将二次多项式的二次项的未知数次数二次变为一次，再将其二次项的系数乘以2保留，将二次多项式的一次项去掉未知数只保留其系数，将二次多项式的常数项去掉”进行计算求解即可；
（2）先求出B，根据B=0建立方程，解方程即可获得答案；
（3）先求出B，再整理方程，结合m-1的取值，解方程即可获得答案．
17．（2024七上·惠州期末）2023年12月28日晚，惠州一中南湖校区“悠悠南湖情，拳拳家国心”元旦文艺晚会在南湖畔上演．一中师生用歌声舞姿表达热爱寄托情怀，回首2023，逐梦2024．若1班和2班共有94名学生（其中1班人数多于2班人数，且1班人数不够90名），统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的服装价格表：
购买服装的套数 1套—46套 47套—90套 91套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两个班分别单独购买服装，一共应付5120元．
（1）若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？
（2）两个班各有多少名学生准备参加元旦演出？
（3）如果1班有10名学生被调去参加合唱团的节目，不能参加班级演出，请你为这两个班设计一种最省钱的购买服装的方案．
【答案】（1）解：元，
答：若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省元；
（2）解：设1班有名学生准备参加元旦演出，则2班有名学生准备参加元旦演出，
1班人数多于2班人数，
，
解得：，
1班人数不够90名，
，
，
由题意得：，
解得：，
，
答：1班有名学生准备参加元旦演出，2班有名学生准备参加元旦演出；
（3）解：由题意可知，1班有名学生准备参加元旦演出，2班有名学生准备参加元旦演出，共人，
联合一起买最省钱，若买套，则需花费元，
若买套，则需花费元，
，
联合一起买套最省钱．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据题干中的数据列出算式求解即可；
（2） 设1班有名学生准备参加元旦演出，则2班有名学生准备参加元旦演出，根据“ 1班人数多于2班人数 ”列出不等式，求出x的值取值范围，再根据“ 两个班分别单独购买服装，一共应付5120元 ”列出方程， 再求解即可；
（3）根据题干中的方案求出每种方案的费用，再比较大小即可.
18．（2024七上·碧江期末）【阅读理解】如图①，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．
【解决问题】
（1）一个角的平分线_______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）若，射线是的“巧分线”，则_______；
【拓展延伸】
（3）如图②，若，射线从出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线从出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为，当为何值时，射线是的“巧分线”？并说明理由．
【答案】解：（1）是；
（2）或或；
（3）根据题意可知：（，）， ，
①如图1，所示：
当∠AOQ=2∠AOP时，则有150°-4t°=2×8t°，
解得：t=7.5，
②如图2所示：
当∠AOP=2∠POQ时，则∠AOP=∠AOQ，
即8t°=×（150°-4t°），
解得：t=，
③如图3所示：
当∠POQ=2∠AOP时，则∠AOP=∠AOQ，
即8t°=×（150°-4t°），
解得：t=，
综上所述，当秒或秒或秒，射线是的“巧分线”.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）根据角平分线的定义可知，一个角的平分线是这个角的“巧分线”，
故答案为：是；
（2）∵，
当∠AOB=2∠AOC=2∠BOC时，∠AOC==60°，
当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC==80°，
当∠BOC=2∠AOC时，∠AOC==40°，
故答案为：或或；
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的“巧分线”进行解答即可；
（2）根据角的“巧分线”，分类讨论即可；
（3）根据题意分别表示出，，进而得出，然后根据“巧分线”的定义，分类讨论进行解答即可.
19．（2024七上·三水期末）综合与实践
古琴在我国的历史非常悠久，不管是神话故事还是史书记载，古琴的出现时间是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵（zhǐ）、商、羽、角．其发声管的管长可以通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下：
假设基本音“宫”的发声管长是81，
“宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声管长是54；
“徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声管长是72；
“商”经“三分损一”得“羽”；
“羽”经“三分益一”得“角”．
（1）按照上面的假设，“羽”音的发声管长是______．
（2）如图，线段表示“徵”的发声管长，其中两点是线段的三等分点，请你用尺规作图作出表示“商”的发声管的线段（保留作图痕迹）
（3）小明想要制作一个古琴，需要五根发声管，每根发声管分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声管的长度总和为，求该古琴中“宫”的发声管长．
【答案】（1）48
（2）解：如图，
以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，则线段或为表示“商”的发声管的线段．
（3）解：设该古琴中“宫”的发声管长为，五根发声管的长度总和为，
∴，
解得，
该古琴中“宫”的发声管长为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；尺规作图-直线、射线、线段；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，“羽”音的发声管长是，
故答案为：；
【分析】（1）由题意得，“羽”经“三分益一”得“角”，结合规律，“羽”音的发声管长的算式，进行计算，即可得到答案；
（2）以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，得到线段或为表示“商”的发声管的线段，即可秋季诶．
（3）设该古琴中“宫”的发声管长为，根据五根发声管的长度总和为，列出方程求解，即可得到答案．
（1）解：由题意得，“羽”音的发声管长是，
故答案为：；
（2）解：如图，
以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点M，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点N，则线段或为表示“商”的发声管的线段．
（3）解：设该古琴中“宫”的发声管长为，
五根发声管的长度总和为，
∴，
解得，
该古琴中“宫”的发声管长为．
20．（2025七上·光明期末）
信息1
小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图1），小颖家车的速度是100千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的1.2倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图2的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车．
信息2
某时刻乙车在甲车前方20千米，此时小刚看到自己手表（图3）显示的时间如图4中表盘所示，OA表示时针，OB表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是∠AOB（0°<∠AOB<180°），表带所在直线为MN．
根据以上信息回答问题：
（1）小刚看表时，时针OA和分针OB的夹角∠AOB为　 　°．
（2）①经过　 　小时，甲车追上乙车；
②甲车刚追上乙车时，此时时针OA和分针OB的夹角∠AOB为　 　°．
（3）①在表盘中分针OB每分钟转过　 　°，时针OA每分钟转过　 　°；
②自小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，经过　 　分钟后，∠AOB的度数是90° ．
（4）小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图5），该装置的“表带”所在直线是MN，装置有三根指针分别为OD、OE和OF，指针OEOF在转动过程中保持∠EOF=90°，指针OD始终平分∠FON，指针OF从图5所示位置（OF和射线ON重合）以每秒6°顺时针开始旋转，经过t秒后（0【答案】（1）105
（2）1；135
（3）6；0.5；或
（4）7
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；钟面角
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，此时时针和分针之间有3.5大格
则夹角为3.5×30°=105°
故答案为：105
（2）①设x小时后，甲车追上乙车，由题意可得：
甲车速度为1.2×100=120千米/时
∴120x=100x+20
解得：x=1
则经过1小时，甲车追上乙车
故答案为：1
②由①可得，甲车刚追上乙车时，此时时间为为10：30
时针和分针之间有4.5大格
则夹角为4.5×30°=135°
故答案为：135
（3）①由题意可得：表盘中分针OB每分钟转过360°÷60=6°
时针OA每分钟转过30°÷60=0.5°
②设经过x分钟后，∠AOB的度数是90°
当分针在时针上方时，
解得：x=
当分针在时针下方时，
解得：x=
综上所述， 经过或分钟后，∠AOB的度数是90°
（4）如图6，由题意可得：
∠FON=6t°，∠EON=90°-6t°
∴
∴∠EOD=∠DON+∠EON=90°-3t°=x°
如图7，由题意可得：
∠FON=6(t+m)°，∠EON=6(t+m)°-90°
∴
∴∠EOD=∠DON-∠EON=-3(m+t)°+90°=y°
∵x-y=21
即90-3t-[-3(m+t)+90]=21
解得：m=7
故答案为：7
【分析】（1）根据钟面角的性质计算即可求出答案.
（2）①设x小时后，甲车追上乙车，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②根据钟面角的性质计算即可求出答案.
（3）①根据钟面角的性质计算即可求出答案.
②设经过x分钟后，∠AOB的度数是90°，分情况讨论：当分针在时针上方时，当分针在时针下方时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（4）根据题意分别求出图6，图7中，∠EOD，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
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