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第五章《二元一次方程组》提升卷—北师大版数学八（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024七下·长沙期中）是关于x，y的二元一次方程，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2024七下·桑植期中）下列方程组中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·义乌开学考）设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（　　）
A．①正确②错误 B．①正确②正确
C．①错误②正确 D．①错误②错误
4．（2025八上·杭州开学考） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·嵊州期末） 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（　　）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
6．（2024八上·盐田期末）以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·宁阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·北川期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025七下·富顺期末）关于x，y的方程组的解满足x－y＝6，则m＝　 　．
10．（2025七下·钱塘期末） 若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为　 　．
11．（2024八上·郫都期末）已知、、满足，则：：　 　 ．
12．（2025八上·历城期末）如图，若直线与直线相交于点，则方程组的解是 　 　．
13．（2025七下·杭州期末） 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入　 　个大铁球和　 　个小铁球.（写出一组符合要求的值即可）
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025七下·杭州月考）解方程组：
（1）；
（2）；
（3）．
15． 解下列方程组：
（1）
（2）
16．（2025七下·金华月考）已知关于x，y的二元一次方程，是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求k的值；
（2）朵拉发现：不论取何值，都是关于x，y的方程的解．请你求a，b的值。
17．（2024八上·龙岗期末）一名生物学家在研究两种不同的物种A和B在同一生态环境中的资源消耗时发现：50个物种A和100个物种B共消耗了200单位资源；100个物种A和50个物种B共消耗了250单位资源．
（1）求1个物种A和1个物种B各消耗多少单位资源；
（2）已知物种A，B共有200个且A的数量不少于100个．设物种A有a个，物种A，B共消耗的单位资源W．
①求W与a的函数关系式；
②当物种A的数量为何值时，物种A、B共消耗的单位资源最少，最小值是多少？
18．（2023八上·包河期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
（1）求、的值；
（2）请直接写出方程组的解；
（3）若点在轴上，且满足，求点的坐标．
19．某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类.某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制，规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤 获得积分 a b 100 无
积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾 袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2 公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130 积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165 积分.
（1）求a，b的值；
（2）小明家第一季度产出了 46 公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，有哪些兑换方案
20．（2025八上·龙岗期末）综合与实践
【背景】住深圳的小颖想给亲朋好友寄送深圳特产。
【素材】
素材1：她了解到某快递公司的收费
标准（单位：元/千克）如下表：
计费 单位 收费标准
广东省内 江浙沪地区
首重 a a+2
续重 b b+4
素材2：
素材3：收费说明：
①每件快递按送达地分别计算运费；
②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费。首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）。
【问题解决】
（1）任务1：根据以上信息，求出a、b；
（2）任务2：小颖给在汕头的表哥寄出了2.8千克的深圳特产，她需要支付快递费多少元？
（3）任务3：小颖给在杭州的大姨寄特产快递费花了66元，求这份特产重量的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵ 是 关于x，y的二元一次方程，
∴m=1，且m-2≠0.
即m=1.
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程的定义，“二元”前的系数均不为0，且次数均为1，可得m的值.
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、方程组中的第二个方程不是整式方程，所以该方程组不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、方程组中的第一个方程不是二元一次方程，所以该方程组不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、方程组中的第二个方程不是二元一次方程，所以该方程组不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、方程组符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】一个方程是二元一次方程必须满足：1、等号两边的式子都是整数；2、有且只有两个未知数；3、含有未知数的项的次数必须都是1.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当n=3时，即x+y=3，
由可得，x-y=2，
因此，，，
∴，
因此①正确；
当时，即，
∴x-y=2，
∴x2-2xy+y2=4，
∴，
∴
因此②正确；
故答案为：B.
【分析】当n=3时，即x+y=3，由可得，x-y=2，进而求出x，y，再代入求出q的值即可判断①的正误；再利用公式变形，当时，求出相应的m的值即可.
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：
①×2，得2x＋4y＝2k③，
③ ②得，y＝1 k，
将y＝1 k代入①得，x＝3k 2，
A：当时，，故A错；
B：当时，，故B错；
C：不论k取什么实数，的值始终不变，故C对；
D：当时，方程组的解不满足方程的解，故D错.
故答案为：C .
【分析】解方程组可得y＝1 k，x＝3k 2，再依次对选项进行判断即可．
6．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象和函数y=-2x-1的图象一样.
∵k=-2<0，函数图象过二四象限；b=-1<0，图象与y轴的交点在y轴负半轴上，故函数图象经过二三四象限.
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的解的关系得到一次函数，再根据一次函数图象与系数的关系得一次函数的大概图象.
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据题意得：。
故答案为：D。
【分析】若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50可得方程：①，根据甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50可得方程：②，把①②组成方程组即可。
8．【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，
根据题意得：
，
（①＋②）÷4得：x＋y＋z＝128，
∴购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元．
故答案为：A.
【分析】设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，根据“购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元”，利用（方程①＋方程②）÷4，即可得出结论．
9．【答案】4
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得：x-y=2m-2，
∴2m-2=6，
∴m=4．
故答案为：4．
【分析】将两个方程相减可得x-y=2m-2，即可求得m的值.
10．【答案】3或4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解关于x，y的方程组得，，
∵关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，
∴m-2=2（5-m）或5-m=2（m-2），
解得m=4或m=3，
故答案为：4或3．
【分析】解关于x，y的方程组，得到方程组的解为，再根据“二倍解方程组”的定义得到m-2=2（5-m）或5-m=2（m-2），即可求出m的值．会解含参数的二元一次方程组，理解“二倍解方程组”的定义是解题的关键．
11．【答案】1：3：2
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①+②得14x-7z=0，即14x=7z，
∴x：z=1：2，
①×3-②×4得-21x+7y=0，即21x=7y，
∴x：y=1：3，
∴：： 1：3：2 .
故答案为： 1：3：2 .
【分析】把两方程相加可得x：z，再利用①×3-②×4可求出x：y的值，继而得解.
12．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴点P的坐标是，
∴方程组的解是．
故答案为：．
【分析】先求出点P的坐标，再求方程组的解即可。
13．【答案】3；2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组
解得
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有
这个二元一次方程的整数解有，，，
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） .
【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案。
14．【答案】（1）解：
把代入得：
解得：
把代入到中得：
原方程组的解为；
（2）解：
得：
解得：
把代入到中得：
原方程组的解为
（3）解：整理得
得：
把代入得：
得：
把代入到中得：
原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程组时，当其中一个方程中某一未知数恰好被另一个未知数的代数式表示时，可直接利用代入消元法求解；
（2）解二元一次方程组时，当其中一个方程中某一未知数的系数恰好是另一个方程中对应未知数的系数的整数倍时，可利用等式的性质给另一个方程变形使相同未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减消元法求解即可；
（3）解二元一次方程组时，当方程的系数出现分数时，可利用等式的基本性质对方程进行变形整理，再灵活使用代入消元法或加减消元法求解；当两个方程中出现相同的未知代数式时，也可先使用换元法对方程组进行变形，再灵活使用代入消元法或加减消元法求解.
15．【答案】（1）解：
得： ④
得： ⑤
解由④⑤组成的方程组得 ，
把 代入②得
∴方程组的解为 ；
（2）解：
得： ④
得： ⑤
解由④⑤组成的方程组得 ，
把代入①得
∴方程组的解为
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】(1)根据相加法求解， ②+①和①+③可得关于x、z的方程组可求解x、z的值，代入②可求y的值；
(2)根据相加法求解， 和 可得关于x、y的方程组可求解x、y的值，代入②可求z的值；
16．【答案】（1）解：∵是方程的一个解，
∴－2k+5=2－k
解得：k=3.
（2）解：∵是关于x，y的方程的解，
∴ka+b=2－k，
∴k(a+1)=2－b.
∵ 不论取何值，都是关于x，y的方程的解 ，
∴a+1=0，2－b=0，
∴a＝－1，b=2.
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）把代入方程，得关于k的方程，求解即可.
（2）把 代入方程，整理得到方程k(a+1)=2－b，根据题意，可得a+1=0，2－b=0，求解即可.
17．【答案】（1）解：设1个物种A消耗x单位资源，1个物种B消耗y单位资源，
依题意得：，
解得：，
答：1个物种A消耗2单位资源，1个物种B消耗1单位资源.
（2）解：①设物种A有a个，则物种B有个，
则（100≤a＜200）；
②∵ W随a的增大而增大，
∴当时，W有最小值，最小值为．
答：当物种A的数量为100个时，物种A、B共消耗的单位资源最少，最少值是300．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设1个物种A消耗x单位资源，1个物种B消耗y单位资源，根据题意列出方程组，求解，即可求得；
（2） ①设物种A有a个，则物种B有个，根据题意列出一次函数解析即可；
②根据一次函数的性质，即可求得.
18．【答案】（1）解：当时，，
点坐标为．
直线经过和，
则，
解得
（2）解：
（3）解：当时，，
，
，
设点坐标为，
．
，
，
解得，
点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：（2）化简方程组得
，
由图像知：直线y=kx+b与直线y=3x的交点横坐标是x=1，
把x=1代入y=3x得
y=3
∴直线y=kx+b与直线y=3x的交点坐标是（1，3），
∴方程组的解是.
【分析】（1）由点C在正比例函数y=3x的图像上求出C的坐标（1，3），根据A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k和b的值；
（2）由（1）可知： 一次函数y=-x+4的图象和 正比例函数y=3x的图象的交点横坐标是x=1，把x=1代入y=3x，求出直线y=kx+b与直线y=3x的交点坐标是（1，3），根据一次函数和二元一次方程组的关系，结合图像知方程组的解为 ；
（3）根据图像，解方程-x+4=0，可得B（4，0），设D坐标为（0，a），则OD=|a|，根据三角形的面积公式列方程即可求解。
19．【答案】（1）解： 由题意可列：
解得，
故a的值为50，b的值为20
（2）解：先计算小明家一季度获得的总积分：可回收垃圾46公斤，每公斤50积分，可得积分46×50=2300分；易腐垃圾100公斤，每公斤20积分，可得积分100×20=2000分；有害垃圾1公斤，每公斤100积分，可得积分1×100=100分。总积分就是2300+2000+100=4400分，
开始尝试兑换方案：因为垃圾袋每卷800积分，若兑换3卷垃圾袋，花费积分3×800=2400分，还剩下4400-2400=2000分，
若剩下的2000分兑换小区临时停车券，每张1000积分，可兑换2000÷1000=2张，
若剩下的2000分兑换水果店打折券，每张2000积分，可兑换2000÷2000=1张，
故：共有2种兑换方案：
方案1：兑换垃圾袋3卷，水果店打折券1张；
方案2：兑换垃圾袋3卷，小区临时停车券
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】对于（1）：根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到a，b的值；
对于（2）：要先算出总积分，再依据积分兑换规则找出所有可能的兑换方案.
20．【答案】（1）解：由题意可知：
解得
（2）解：因为不足1千克按1千克计算，故2.8千克按3千克计算，即
10+2ⅹ（3-1）=14（元）
她需要支付快递费14元。
（3）解：小颖给在杭州的大姨寄特产快递费花了66元，
设这份特产按x千克计费，则12+6(x-1)=66
解得 x=10.
所以这份特产的重量大于9千克，小于等于10千克。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】（1）根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据题意列式计算即可求出答案.
（3）设这份特产按x千克计费，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1第五章《二元一次方程组》提升卷—北师大版数学八（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024七下·长沙期中）是关于x，y的二元一次方程，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵ 是 关于x，y的二元一次方程，
∴m=1，且m-2≠0.
即m=1.
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程的定义，“二元”前的系数均不为0，且次数均为1，可得m的值.
2．（2024七下·桑植期中）下列方程组中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、方程组中的第二个方程不是整式方程，所以该方程组不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、方程组中的第一个方程不是二元一次方程，所以该方程组不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、方程组中的第二个方程不是二元一次方程，所以该方程组不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、方程组符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】一个方程是二元一次方程必须满足：1、等号两边的式子都是整数；2、有且只有两个未知数；3、含有未知数的项的次数必须都是1.
3．（2025八上·义乌开学考）设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（　　）
A．①正确②错误 B．①正确②正确
C．①错误②正确 D．①错误②错误
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当n=3时，即x+y=3，
由可得，x-y=2，
因此，，，
∴，
因此①正确；
当时，即，
∴x-y=2，
∴x2-2xy+y2=4，
∴，
∴
因此②正确；
故答案为：B.
【分析】当n=3时，即x+y=3，由可得，x-y=2，进而求出x，y，再代入求出q的值即可判断①的正误；再利用公式变形，当时，求出相应的m的值即可.
4．（2025八上·杭州开学考） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
5．（2025七下·嵊州期末） 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（　　）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：
①×2，得2x＋4y＝2k③，
③ ②得，y＝1 k，
将y＝1 k代入①得，x＝3k 2，
A：当时，，故A错；
B：当时，，故B错；
C：不论k取什么实数，的值始终不变，故C对；
D：当时，方程组的解不满足方程的解，故D错.
故答案为：C .
【分析】解方程组可得y＝1 k，x＝3k 2，再依次对选项进行判断即可．
6．（2024八上·盐田期末）以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】 以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象和函数y=-2x-1的图象一样.
∵k=-2<0，函数图象过二四象限；b=-1<0，图象与y轴的交点在y轴负半轴上，故函数图象经过二三四象限.
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的解的关系得到一次函数，再根据一次函数图象与系数的关系得一次函数的大概图象.
7．（2023七下·宁阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据题意得：。
故答案为：D。
【分析】若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50可得方程：①，根据甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50可得方程：②，把①②组成方程组即可。
8．（2025七下·北川期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，
根据题意得：
，
（①＋②）÷4得：x＋y＋z＝128，
∴购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元．
故答案为：A.
【分析】设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，根据“购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元”，利用（方程①＋方程②）÷4，即可得出结论．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025七下·富顺期末）关于x，y的方程组的解满足x－y＝6，则m＝　 　．
【答案】4
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①-②得：x-y=2m-2，
∴2m-2=6，
∴m=4．
故答案为：4．
【分析】将两个方程相减可得x-y=2m-2，即可求得m的值.
10．（2025七下·钱塘期末） 若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为　 　．
【答案】3或4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解关于x，y的方程组得，，
∵关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，
∴m-2=2（5-m）或5-m=2（m-2），
解得m=4或m=3，
故答案为：4或3．
【分析】解关于x，y的方程组，得到方程组的解为，再根据“二倍解方程组”的定义得到m-2=2（5-m）或5-m=2（m-2），即可求出m的值．会解含参数的二元一次方程组，理解“二倍解方程组”的定义是解题的关键．
11．（2024八上·郫都期末）已知、、满足，则：：　 　 ．
【答案】1：3：2
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①+②得14x-7z=0，即14x=7z，
∴x：z=1：2，
①×3-②×4得-21x+7y=0，即21x=7y，
∴x：y=1：3，
∴：： 1：3：2 .
故答案为： 1：3：2 .
【分析】把两方程相加可得x：z，再利用①×3-②×4可求出x：y的值，继而得解.
12．（2025八上·历城期末）如图，若直线与直线相交于点，则方程组的解是 　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴点P的坐标是，
∴方程组的解是．
故答案为：．
【分析】先求出点P的坐标，再求方程组的解即可。
13．（2025七下·杭州期末） 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入　 　个大铁球和　 　个小铁球.（写出一组符合要求的值即可）
【答案】3；2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组
解得
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有
这个二元一次方程的整数解有，，，
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） .
【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案。
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025七下·杭州月考）解方程组：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
把代入得：
解得：
把代入到中得：
原方程组的解为；
（2）解：
得：
解得：
把代入到中得：
原方程组的解为
（3）解：整理得
得：
把代入得：
得：
把代入到中得：
原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程组时，当其中一个方程中某一未知数恰好被另一个未知数的代数式表示时，可直接利用代入消元法求解；
（2）解二元一次方程组时，当其中一个方程中某一未知数的系数恰好是另一个方程中对应未知数的系数的整数倍时，可利用等式的性质给另一个方程变形使相同未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减消元法求解即可；
（3）解二元一次方程组时，当方程的系数出现分数时，可利用等式的基本性质对方程进行变形整理，再灵活使用代入消元法或加减消元法求解；当两个方程中出现相同的未知代数式时，也可先使用换元法对方程组进行变形，再灵活使用代入消元法或加减消元法求解.
15． 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
得： ④
得： ⑤
解由④⑤组成的方程组得 ，
把 代入②得
∴方程组的解为 ；
（2）解：
得： ④
得： ⑤
解由④⑤组成的方程组得 ，
把代入①得
∴方程组的解为
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】(1)根据相加法求解， ②+①和①+③可得关于x、z的方程组可求解x、z的值，代入②可求y的值；
(2)根据相加法求解， 和 可得关于x、y的方程组可求解x、y的值，代入②可求z的值；
16．（2025七下·金华月考）已知关于x，y的二元一次方程，是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求k的值；
（2）朵拉发现：不论取何值，都是关于x，y的方程的解．请你求a，b的值。
【答案】（1）解：∵是方程的一个解，
∴－2k+5=2－k
解得：k=3.
（2）解：∵是关于x，y的方程的解，
∴ka+b=2－k，
∴k(a+1)=2－b.
∵ 不论取何值，都是关于x，y的方程的解 ，
∴a+1=0，2－b=0，
∴a＝－1，b=2.
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）把代入方程，得关于k的方程，求解即可.
（2）把 代入方程，整理得到方程k(a+1)=2－b，根据题意，可得a+1=0，2－b=0，求解即可.
17．（2024八上·龙岗期末）一名生物学家在研究两种不同的物种A和B在同一生态环境中的资源消耗时发现：50个物种A和100个物种B共消耗了200单位资源；100个物种A和50个物种B共消耗了250单位资源．
（1）求1个物种A和1个物种B各消耗多少单位资源；
（2）已知物种A，B共有200个且A的数量不少于100个．设物种A有a个，物种A，B共消耗的单位资源W．
①求W与a的函数关系式；
②当物种A的数量为何值时，物种A、B共消耗的单位资源最少，最小值是多少？
【答案】（1）解：设1个物种A消耗x单位资源，1个物种B消耗y单位资源，
依题意得：，
解得：，
答：1个物种A消耗2单位资源，1个物种B消耗1单位资源.
（2）解：①设物种A有a个，则物种B有个，
则（100≤a＜200）；
②∵ W随a的增大而增大，
∴当时，W有最小值，最小值为．
答：当物种A的数量为100个时，物种A、B共消耗的单位资源最少，最少值是300．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设1个物种A消耗x单位资源，1个物种B消耗y单位资源，根据题意列出方程组，求解，即可求得；
（2） ①设物种A有a个，则物种B有个，根据题意列出一次函数解析即可；
②根据一次函数的性质，即可求得.
18．（2023八上·包河期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
（1）求、的值；
（2）请直接写出方程组的解；
（3）若点在轴上，且满足，求点的坐标．
【答案】（1）解：当时，，
点坐标为．
直线经过和，
则，
解得
（2）解：
（3）解：当时，，
，
，
设点坐标为，
．
，
，
解得，
点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：（2）化简方程组得
，
由图像知：直线y=kx+b与直线y=3x的交点横坐标是x=1，
把x=1代入y=3x得
y=3
∴直线y=kx+b与直线y=3x的交点坐标是（1，3），
∴方程组的解是.
【分析】（1）由点C在正比例函数y=3x的图像上求出C的坐标（1，3），根据A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k和b的值；
（2）由（1）可知： 一次函数y=-x+4的图象和 正比例函数y=3x的图象的交点横坐标是x=1，把x=1代入y=3x，求出直线y=kx+b与直线y=3x的交点坐标是（1，3），根据一次函数和二元一次方程组的关系，结合图像知方程组的解为 ；
（3）根据图像，解方程-x+4=0，可得B（4，0），设D坐标为（0，a），则OD=|a|，根据三角形的面积公式列方程即可求解。
19．某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类.某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制，规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤 获得积分 a b 100 无
积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾 袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2 公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130 积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165 积分.
（1）求a，b的值；
（2）小明家第一季度产出了 46 公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，有哪些兑换方案
【答案】（1）解： 由题意可列：
解得，
故a的值为50，b的值为20
（2）解：先计算小明家一季度获得的总积分：可回收垃圾46公斤，每公斤50积分，可得积分46×50=2300分；易腐垃圾100公斤，每公斤20积分，可得积分100×20=2000分；有害垃圾1公斤，每公斤100积分，可得积分1×100=100分。总积分就是2300+2000+100=4400分，
开始尝试兑换方案：因为垃圾袋每卷800积分，若兑换3卷垃圾袋，花费积分3×800=2400分，还剩下4400-2400=2000分，
若剩下的2000分兑换小区临时停车券，每张1000积分，可兑换2000÷1000=2张，
若剩下的2000分兑换水果店打折券，每张2000积分，可兑换2000÷2000=1张，
故：共有2种兑换方案：
方案1：兑换垃圾袋3卷，水果店打折券1张；
方案2：兑换垃圾袋3卷，小区临时停车券
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】对于（1）：根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到a，b的值；
对于（2）：要先算出总积分，再依据积分兑换规则找出所有可能的兑换方案.
20．（2025八上·龙岗期末）综合与实践
【背景】住深圳的小颖想给亲朋好友寄送深圳特产。
【素材】
素材1：她了解到某快递公司的收费
标准（单位：元/千克）如下表：
计费 单位 收费标准
广东省内 江浙沪地区
首重 a a+2
续重 b b+4
素材2：
素材3：收费说明：
①每件快递按送达地分别计算运费；
②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费。首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）。
【问题解决】
（1）任务1：根据以上信息，求出a、b；
（2）任务2：小颖给在汕头的表哥寄出了2.8千克的深圳特产，她需要支付快递费多少元？
（3）任务3：小颖给在杭州的大姨寄特产快递费花了66元，求这份特产重量的取值范围。
【答案】（1）解：由题意可知：
解得
（2）解：因为不足1千克按1千克计算，故2.8千克按3千克计算，即
10+2ⅹ（3-1）=14（元）
她需要支付快递费14元。
（3）解：小颖给在杭州的大姨寄特产快递费花了66元，
设这份特产按x千克计费，则12+6(x-1)=66
解得 x=10.
所以这份特产的重量大于9千克，小于等于10千克。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】（1）根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）根据题意列式计算即可求出答案.
（3）设这份特产按x千克计费，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
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