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专题01 勾股定理中的五类最短路径模型
模型一：圆柱中的最短路径模型
模型二：长方体中的最短路径模型
模型三：阶梯中的最短路径模型
模型四：将军饮马与空间最短路径模型
模型五：几何构图法解代数最值模型
模型一：圆柱中的最短路径模型
1．（24-25八年级上·江苏·期中）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在苏州园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是 ．

2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，圆柱的高厘米，底面周长厘米，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺）
模型二：长方体中的最短路径模型
6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A． B． C．5 D．
8．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A． B．3 C．5 D．2＋
9．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，长方体的底面是边长的正方形，高为． 如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达，那么所用细线最短需要 ．
10．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！
【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？
(1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示.
填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）
(2)推理验证：如图3，由勾股定理得，，
如图4，由勾股定理得，，
如图5，．要使得的值最小，
∵……（请补全推理过程）∴
∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的．
(3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm．
(4)【问题回归】最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m．
模型三：阶梯中的最短路径模型
11．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）

A． B． C． D．
12．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在一个长12米，宽为8米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长3米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
13．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．19米 B．米 C．15米 D．米
14．（2024·江苏南京·二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　）
A． B． C． D．
15．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．

16．（24-25七年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（ ）
A． B． C． D．
模型四：将军饮马与空间最短路径模型
17．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）

18．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（取3） ．
19.（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长，宽，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ．
20.（2024·陕西·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
21．（24-25·浙江·八年级月考）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（　　）
A． B． C． D．17
22．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）

A． B． C． D．
23．（24-25八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
模型五：几何构图法解代数最值模型
24．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）代数式最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
25．（2025·吉林·一模）吉林市某中学开展师生角色互换活动，学生考老师是该活动的主题之一．美婷同学考老师的问题是：若，，，则的最小值是多少？
张新老师运用数形结合的方法，画如下草图．
大伟老师运用代数推理法，代入闵可夫斯基不等式：
（取等条件…）
董婷老师应用拉格朗日数乘法…
王浩老师应用柯西不等式…
…
老师们通过不同方法解出正确答案，有的老师用的方法，学生现阶段可以理解．有的老师用的方法，学生需要步入更高学府，学习更多的数学知识后才能理解．通过这次主题活动，同学们感受到了数学的魅力，对今后学习数学充满了兴趣和渴望．
请问美婷同学考老师的问题的正确答案是 ．
26．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为、，计算结果为斜边长度，同理计算可以看成直角边长度分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ．
27．（23-24八年级下·重庆九龙坡·开学考试）数形结合思想是一种数学思想方法．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化——可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．
(1)勾股定理的证明方法有很多种，如图1是“总统法”（半弦图）——将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形．请用两种不同的方法表示出梯形的面积，从而证明出勾股定理；
(2)若线段上有一点C，，，，求的最小值．
28．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图1，作一条长为16的线段；②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使；③在线段上任取一点，设；
④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值．
（2）请结合第（1）问，直接写出的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 勾股定理中的五类最短路径模型
模型一：圆柱中的最短路径模型
模型二：长方体中的最短路径模型
模型三：阶梯中的最短路径模型
模型四：将军饮马与空间最短路径模型
模型五：几何构图法解代数最值模型
模型一：圆柱中的最短路径模型
1．（24-25八年级上·江苏·期中）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在苏州园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是 ．

【答案】
【详解】由题意可得，展开图中，

在中，．∴这段枝蔓的长是，故答案为：30．
2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，圆柱的高厘米，底面周长厘米，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：可把圆柱侧面展开如图所示，

由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
，，由勾股定理得：，故选：C．
3．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，在圆柱的侧面展开图中，，，设，
∵点移动的最短距离为，∴，∵点是的中点，∴，
∴，∴圆柱的底面周长为：．故选：C．
4．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【详解】解：将半圆面展开可得：
米，米，
在中，（米）．即滑行的最短距离为22米．故选：C．
5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺）
【答案】15
【详解】解：如图，在直角三角形中，∵尺，尺，∴尺，即这根藤条的长度是15尺．故答案为：15
模型二：长方体中的最短路径模型
6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分三种情况：（1）经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为．
（2）经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为．
（3）经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为．
比较（1）（2）（3）的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为．故选：C
7．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A． B． C．5 D．
【答案】C
【详解】解：如图，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是米，∴米，
∴（米），∴（米），
∴（米），∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．故选：C．
8．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A． B．3 C．5 D．2＋
【答案】A
【详解】解：蚂蚁从M爬到有四种情况：前面→上面，前面→右面，下面→后面，下面→右面，如图所示：
第种情况：，第种情况：，
综上可知，蚂蚁爬行的最短距离是，故选A．
9．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，长方体的底面是边长的正方形，高为． 如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达，那么所用细线最短需要 ．
【答案】10
【分析】本题考查勾股定理得实际应用—最短路径问题，将长方体展开，利用勾股定理求出最短距离即可．
【详解】解：将长方体展开如图：
∵点开始经过4个侧面缠绕2圈到达，∴展开后：，
由勾股定理得：；故答案为：10．
10．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！
【基础研究】如图2，在长、宽、高分别为a，b，c的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？
(1)观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示.
填空：图5是由______面与______面展开得到的平面图形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）
(2)推理验证：如图3，由勾股定理得，，
如图4，由勾股定理得，，
如图5，．要使得的值最小，
∵……（请补全推理过程）∴
∴选择如图______情况，此时的值最小，则的值最小，即这种爬行路径是最短的．
(3)【简单应用】如图6，长方体的长，宽，高分别为，点P是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为______cm．
(4)【问题回归】最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是______m．
【答案】(1)图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形(2)补全推理过程见解析，4(3)50(4)13
【详解】（1）由图可得，图5是由右、下或左、上展开得到的平面图形，故答案为：右；下或左；上；
（2）∵，又∵，∴，∵，∴，∴，
∴情况为图4时，此时的值最小，则的值最小，故答案为：4；
（3）根据（2）可得，当为下图展开时为最短路程，作于，
∴，∴
∴在中，，故答案为：；
（4）由题意可得，当路线为如下所示时，为最短距离，
∵一个长方体的长、宽、高分别为且一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙，
∴，∴，
在中，，∴，
∴那只蚂蚁所走的最短路程是，故答案为：13．
模型三：阶梯中的最短路径模型
11．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：

在中，，,∴，
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是．故选：C．
12．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在一个长12米，宽为8米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长3米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
【答案】17
【详解】如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，∴长方形的长为米，
∵长方形的宽为8米，∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，
∴米，故答案为：17．
13．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．19米 B．米 C．15米 D．米
【答案】C
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，
长为米；宽为9米．于是最短路径为：（米）．故选C．
14．（2024·江苏南京·二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，，所以最短路径是．故选：A．
15．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．

【答案】10
【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，
由题意知，，，，∴，
由勾股定理得，，故答案为：10．
16．（24-25七年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长，
根据题意得：，，
由勾股定理得：，，
蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，故选．
模型四：将军饮马与空间最短路径模型
17．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）

【答案】10
【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，，
∵底面周长为，，，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10．
18．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（取3） ．
【答案】
【详解】解：其侧面展开图如图：作点C关于的对称点F，连接，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，
∴，，∴，
在中，，
故他滑行的最短距离约为．故答案为：．
19.（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长，宽，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ．
【答案】150
【详解】解：作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最短，
∵，，，
又，．
最短路线长为．故答案为：．
20.（2024·陕西·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
【答案】（1）见解析；（2）100cm
【详解】解：(1)如下图所示，
作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点，
由两点之间线段最短，此时A’G最短，则为最短路线．
(2)∵，∴，∴．
在中，，，∴．
由对称性可知，∴．故小虫爬行的最短路线长为100cm．
21．（24-25·浙江·八年级月考）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（　　）
A． B． C． D．17
【答案】C
【详解】解：①若蚂蚁从平面和平面经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：，
②若蚂蚁从平面和下底面平面经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：
∵∴蚂蚁到达饼干的最短距离是，故选：C．
【点睛】考查了平面展开 最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．
22．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，作点关于右侧管口的对称点，连接，

由题意得：，，，∴，
∵钢管横截面的周长为，∴，
在中，由勾股定理得：，
∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是．故选：．
23．（24-25八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程．
【变式探究】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【详解】解：（1）由勾股定理，得：；故答案为：25；
（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
，，由勾股定理得：；故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，，
∵底面周长为，，，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，
模型五：几何构图法解代数最值模型
24．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）代数式最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作，过点A作，过点D作，使，，连接，过点作，交延长线与点F，设，，
当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，
，，，，
（平行线间距离相等），同理得：，
中，，，，
代数式最小值为5， 故选：B．
25．（2025·吉林·一模）吉林市某中学开展师生角色互换活动，学生考老师是该活动的主题之一．美婷同学考老师的问题是：若，，，则的最小值是多少？
张新老师运用数形结合的方法，画如下草图．
大伟老师运用代数推理法，代入闵可夫斯基不等式：
（取等条件…）
董婷老师应用拉格朗日数乘法…
王浩老师应用柯西不等式…
…
老师们通过不同方法解出正确答案，有的老师用的方法，学生现阶段可以理解．有的老师用的方法，学生需要步入更高学府，学习更多的数学知识后才能理解．通过这次主题活动，同学们感受到了数学的魅力，对今后学习数学充满了兴趣和渴望．
请问美婷同学考老师的问题的正确答案是 ．
【答案】5
【详解】解：如图，在中，，，，
在中，，，；∴，
而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，
∴，∴四边形为矩形，∴，，
在中，，∴的最小值为5，
即的最小值为5．故答案为：5．
26．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为、，计算结果为斜边长度，同理计算可以看成直角边长度分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，取线段，使，在上取一点，设，，构造，，使，且，，
则，，，
则，当点，，三点共线时，的值最小，
即的值最小，最小值等于的长，过点作交延长线于点，
则四边形是长方形，，，
，的最小值为．故答案为：．
27．（23-24八年级下·重庆九龙坡·开学考试）数形结合思想是一种数学思想方法．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化——可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系．
(1)勾股定理的证明方法有很多种，如图1是“总统法”（半弦图）——将两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形．请用两种不同的方法表示出梯形的面积，从而证明出勾股定理；
(2)若线段上有一点C，，，，求的最小值．
【答案】(1)见详解(2)41
【详解】（1）解：方法一：，
方法二： ，
∴，，即，∴．
（2）解：如图，在线段的同侧构造和，，使且， ，则，．
延长 到，使 ，连接 交于点，作，交延长线于点F．
∵，，∴，
∴（当、C、E三点共线时，取“=”号）
∵，∴四边形是矩形，
∴，；∴，
∴，∴最小值为41，即最小值为41．
28．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图1，作一条长为16的线段；②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使；③在线段上任取一点，设；
④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值．
（2）请结合第（1）问，直接写出的最小值．
【答案】（1），；．（2）17
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
⑤由题意可得，∴，
为最小值，即的最小值为．
（2）解： 设点，则，
如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得，
∴，
由（1）中得方法知的最小值为，
即的最小为17．

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