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专题3.3 勾股定理的简单应用
基础知识夯实
知识点01 勾股定理的简单应用
勾股定理及逆定理将 图形 与 数量 关系有机结合起来，在解决 实际问题 和 几何应用 中有着广泛的应用。
1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）从实际问题中抽象出 几何图形 ，建立数学模型；
（2）确定所求的线段所在的 直角 三角形；若找不到就添加 辅助线 构造直角三角形；
（3）确定三边，找准 直角 边和 斜 边：①若已知两边，则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边，则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。
2、勾股定理及其逆定理的主要应用：
（1）勾股定理的常见实际应用问题：梯子滑动问题、轮船航行问题、信号站（中转站）选择问题、台风（噪音）、爆破问题、超速问题、风吹莲动问题、折竹抵地问题等；
（2）解决与勾股定理有关的面积计算。
典型案例探究
知识点01
例1．（25-26八年级上·山东·专项训练）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　）
A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺
【答案】D
【详解】解：如图，由题意知：，，，，，．
由题意得四边形为长方形，，
又，．设，则．
在中，由勾股定理得，
．解得尺，绳索的长度为14.5尺．故选：D．
【变式1】（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米，
∴米，∴米，
∴小鸟至少飞行米，
【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺．由题意可得：，故选：C．
【变式3】（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，，
解得，，故铅笔的长为；故选：A．
【变式4】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）6．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（ ）

A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米
【答案】B
【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度米，
地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是米．故选B．
【变式5】（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长；
【深入探究】（2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长．
【答案】（1）12；（2）
【详解】解：（1）在中，，，
∵，∴，由折叠性质得：，
在中，由勾股定理得：；
（2）∵四边形是长方形，，，
∴，，，
由折叠性质得：，，∴，，
在和中，，∴，∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴．
【变式6】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作的交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可．
【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示：，，
蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短，
透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，
，，，，，
，．
蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是．故选：C．
【变式7】（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖．(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．
【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短；(2)蚂蚁经过的路程最短路程为．
【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体，∴甲设计的爬行路线长为，
乙设计的爬行路线长为，丙设计的爬行路线长为，
∵，∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短，
答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短．
（2）解：∵两点之间线段最短，∴不考虑沿着棱爬行的情况，如图所示，
蚂蚁沿爬行，经过的路程长为，
蚂蚁沿爬行，经过的路程长为，
蚂蚁沿爬行，经过的路程长为，
∵，∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为，
答：蚂蚁经过的路程最短路程为．
课后作业
A
一、单选题
1．如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质，结合勾股定理解答即可．
【详解】解：根据题意，得圆柱底面半径为，

故底面直径为，高为，
则，
故圆柱内部吸管长，
又露出的部分至少为，
故吸管长．
故选：A．
2．如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理的应用，由题意得米，米，由勾股定理求出（米）即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得米，米，
∴（米），
∴这棵大树在折断前的高度为（米），
故选：．
3．《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，设原处的竹子还有x尺，则尺，尺，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
设原处的竹子还有x尺，则尺，尺，
在中，由得．
故选：B．
4．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（ ）．
A． B． C．3 D．9
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段最短得到最短线段．将圆柱展开，根据图形得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段最短，连接，即为最短距离，
∵圆柱体的底面圆周长为，高为，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
故选：A．
二、填空题
5．如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．由折叠的性质得：，然后在中，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：∵将沿翻折与重合，
∴，
∵，
∴，
∵∠C=90°，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
6．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ．
【答案】12 米
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米，
在中，，米，
∴，
解得：，
即旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
7．如图，在垂直于地面5米高的树的树根B处有一个蛇洞，树顶A处有一只鹰，在距离洞口25米的C处有一条蛇正往蛇洞爬，鹰看见蛇之后迅速飞行抓捕，恰好在D处抓住蛇，若鹰飞行的速度与蛇爬行的速度相同，则鹰飞行的距离为 米．
【答案】13
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长度为米，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设的长度为米，
根据题意，得米，米，米，米．
在中，．
由勾股定理，得，
即，
解得：，
故鹰飞行的距离为13米．
故答案为：13．
8．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时．
【答案】15
【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)，
而，
∴ (海里)，
∴乙船的速度是(海里/时)．
故答案为：15．
三、解答题
9．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可．
【详解】解∶∵四边形是长方形，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的长是．
10．如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程．
【答案】至少要走的路程
【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．将图展开，连接，利用勾股定理求出的长，即可得出蚂蚱从点爬到点需要走的最短路程．
【详解】解：如图所示，将图展开，连接，
图形长度增加，原图长度增加，则，
∵四边形是长方形，，宽，
∴，
∴，负值舍去，
即蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程．
11．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度．
(2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可；
【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米，
在中，米，米，
∴（米），
∴（米），
∴风筝的垂直高度为米；
（2）如图，在上取点，使米，连接，
∴（米），
在中，（米），（米），
∴（米），
∴（米），
答：他应该往回收线米．
12．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：
课题 测量学校旗杆的高度
工具 绳子、皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图1中的长度 1米
图2中的长度 5米
根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度．
【答案】米
【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解．
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米
由图2可得，在中，，
解得，，
答：旗杆的高度为12米．
B
一、单选题
1．如图，在纸片中，，将其折叠，使得点 C 与点 A 重合，折痕为，若， 则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是把握折叠的不变性．
先由勾股定理求出，再由折叠的性质得到，然后即可求解周长．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠得，
∴的周长为：，
故选：A．
2．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：此时，，
故，
故的取值范围是．
故选：C．
3．如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键．
由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解．
【详解】解：由题意，得，，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得
，
在中，由勾股定理，得
，
∴，
即消防车需要从点处向点处移动的距离为．
故选：C．
4．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ）
A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，由题意知，，，
，
，
，
根据题意，（海里），（海里），
（海里），
我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）．
故选：D．
二、填空题
5．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：根据折叠可得，，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得，
∴．
故选：A．
6．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．
【答案】12
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，
尺，
尺
在中，，
解得，
即芦苇长13尺，
水深为（尺），
故答案为：12．
7．如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，直角三角形的性质，角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再由含度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
是的平分线，
，
是点到直线的最短距离（垂线段最短），
，，
，
的最小值是，
故答案为：．
8．如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，
设，则，
∵，，
∴，即，
解得，
故答案为：3．
三、解答题
9．阅读材料，解答问题：
(1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________．
(2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整：
___________（用含的式子表示）
又______________________．
___________．
(3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长．
【答案】(1)
(2)；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积正方形的面积；；
(3)3
【分析】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：在中，，，，，
由勾股定理得，，
故答案为：；
（2）解：
（用含的式子表示）
又正方形的面积四个全等直角三角形的面积正方形的面积，
，
（3）解：设，则，
由折叠的性质可知，，
在中，，
则，
解得，，
则的长为3．
10．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（）
【答案】蚂蚁要爬行的最短距离是厘米
【分析】本题考查平面展开最短路径问题，圆柱展开为长方形，根据题意可知道点和在平面上的位置，根据两点之间线段最短可求出解．
【详解】解：将圆柱的侧面展开，为的中点，如图所示：
就是蚂蚁爬的最短路径．
底面半径为，
（厘米），
（厘米），
厘米，
（厘米）．
故蚂蚁要爬行的最短距离是厘米．
11．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙．
(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？
(2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？
【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是
(2)云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据梯子的长度不变，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，，，
由勾股定理，得；
答：这架云梯的顶端到地面的距离是；
（2）由题意，得，，
由勾股定理，得，
∴，
故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是．
12．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】25
【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在Rt△中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在Rt△中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，
在Rt△中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25．
C
1．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（每个任务不超过三条线）
(1)在图1中，先画的高，再在上画点，使得；
(2)在图2中，在上画点，使得，再在上画点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图，涉及轴对称变换，三角形中位线定理，三角函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角形高的定义及轴对称的性质，取格点，连接，交于点，点即为所求，取点关于直线的对称点，连接，同法作点关于直线的对称点，连接，交于点，点即为所求．
（2）取格点，连接，交于，连接交格线于，作射线，交于点，点即为所求；取格点，连接，交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，取格点，连接，交于点，点即为所求，取点关于直线的对称点，连接，同法作点关于直线的对称点，连接，交于点，点即为所求．
理由：在中，在中，
，
，
，
，
为边上的高；
与关于直线对称，
，
同理，
；
（2）解：如图，取格点，连接，交于，连接交格线于，作射线，交于点，点即为所求；取格点，连接，交于点，点即为所求；
理由：，，
，
，
，
，
点为中点，
，，
，
，
为一个小正方形边的中点，
与竖直的格线平行，于水平的格线垂直，
是边的中垂线，
即在的垂直平分线上，
，
，，
，
，
，
，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
．
2．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．
(1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长；
(2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解．
【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
；
（2）解：点落在直角边的中点上，
，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即，
∴．
作于点，连接，
∵点落在直角边的中点上，
∴，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴．
3．【综合与实践】
【问题探究】
（1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长；
（3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长．
【答案】（1）；（2）米；（3）20米或14米或25米
【分析】（1）先利用勾股定理，由，，算出的长；再通过勾股定理逆定理，结合，，判断是直角三角形；最后将四边形拆分为和，分别用直角三角形面积公式计算后求和 ．
（2）先根据勾股定理，由米，米，算出；再用勾股定理逆定理，结合米，米，判断是直角三角形；接着算出的长，最后依据三角形面积的两种不同表示方法（ ），求出 ．
（3）分三种等腰三角形情况讨论：当时，直接用算；当时，先算，再确定，进而得；当时，设未知数，利用勾股定理列方程求解，再算 ．
【详解】（1）解：（1）由题意可得：．
∵，，
∴．
∵，，，
∴．
∴是直角三角形，且．
∴．
（2）∵，
∴，
∴（米）．
∵米，米，米，
∴．
∴是直角三角形，且，
∴，是直角三角形，
∵米，米，
∴米．
∵，
∴．
∴，
解得米．
（3）①当时，如图2，点在的位置，
∴米．
∴米．
②当时，如图2，点在的位置，
∵米，米，，
∴（米）．
由题意可得：（米）．
∴（米）；
③当时，如图2，点在的位置，
设，则．
，
∴，
解得，即．
∴（米）．
综上可知，的长为20米或14米或25米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式以及等腰三角形的分类讨论，熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用三角形面积公式，准确进行等腰三角形分类讨论是解题的关键．
4．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长；
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）．
【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
（1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解；
（2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解；
（3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20．
【详解】解：（1），
，
由折叠的性质得：，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
即的长为24；
（2）四边形是长方形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即的长为6；
（3）四边形是长方形，
，
设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：
①如图，当点在长方形内部时，
点在线段的垂直平分线上，
，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
，设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即的长为5；
②如图，当点在长方形外部时，
由折叠的性质得：，同①得：，
，设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，即的长为20；
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.3 勾股定理的简单应用
基础知识夯实
知识点01 勾股定理的简单应用
勾股定理及逆定理将 与 关系有机结合起来，在解决 和 中有着广泛的应用。
1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）从实际问题中抽象出 ，建立数学模型；
（2）确定所求的线段所在的 三角形；若找不到就添加 构造直角三角形；
（3）确定三边，找准 边和 边：①若已知两边，则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边，则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。
2、勾股定理及其逆定理的主要应用：
（1）勾股定理的常见实际应用问题：梯子滑动问题、轮船航行问题、信号站（中转站）选择问题、台风（噪音）、爆破问题、超速问题、风吹莲动问题、折竹抵地问题等；
（2）解决与勾股定理有关的面积计算。
典型案例探究
知识点01
例1．（25-26八年级上·山东·专项训练）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　）
A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺
【变式1】（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）6．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（ ）

A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米
【变式5】（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长；
【深入探究】（2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长．
【变式6】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
【变式7】（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖．(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．
课后作业
A
一、单选题
1．如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（ ）

A． B． C． D．
2．如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（ ）．
A． B． C．3 D．9
二、填空题
5．如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ．
6．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ．
7．如图，在垂直于地面5米高的树的树根B处有一个蛇洞，树顶A处有一只鹰，在距离洞口25米的C处有一条蛇正往蛇洞爬，鹰看见蛇之后迅速飞行抓捕，恰好在D处抓住蛇，若鹰飞行的速度与蛇爬行的速度相同，则鹰飞行的距离为 米．
8．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时．
三、解答题
9．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．
10．如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程．
11．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度．
(2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？
12．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：
课题 测量学校旗杆的高度
工具 绳子、皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图1中的长度 1米
图2中的长度 5米
根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度．
B
一、单选题
1．如图，在纸片中，，将其折叠，使得点 C 与点 A 重合，折痕为，若， 则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．17 D．18
2．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ）
A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时
二、填空题
5．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ．
6．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．
7．如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则最小值是 ．
8．如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ．
三、解答题
9．阅读材料，解答问题：
(1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________．
(2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整：
___________（用含的式子表示）
又______________________．
___________．
(3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长．
10．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（）
11．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙．
(1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？
(2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？
12．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
C
1．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（每个任务不超过三条线）
(1)在图1中，先画的高，再在上画点，使得；
(2)在图2中，在上画点，使得，再在上画点，使得．
2．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．
(1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长；
(2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长．
3．【综合与实践】
【问题探究】
（1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长；
（3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长．
4．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长；
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）．

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