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第四章《图形的认识》提升卷—湘教版数学七（上）单元分层测
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．下列图形中，面与面相交是曲线的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七上·化州期末）下列图形中，不是正方体展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·裕华期末）在一条沿直线铺设的电缆两侧有，两个小区，要求在直线上的某处选取一点，向、两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七上·织金期中）如图是一个正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，若相对的面上的两个数互为相反数，则的值是（　　）
A．2 B．6 C．-2 D．-4
5．（2024七上·丽水期末） 下列说法中，错误的是(　　)
A．过两点有且只有一条直线
B．连结两点的线段叫作两点间的距离
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．直线AB 和直线BA 表示同一条直线
6．（2024七上·永年期末） 如图， 点 在线段 上， 且 分别是 的中点， ， 则 .
A．16 B．12 C．8 D．6
7．（2024七上·拱墅期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七上·深圳期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（　　）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
9．（2024七上·成华期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020七上·祁县期末）如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，下列结论错误的是（　　）
A．以 为顶点的角共有15个
B．若 ， ，则
C．若 为 中点， 为 中点，则
D．若 平分 ， 平分 ， ，则
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11．（2024七上·七星关期末）如图，四边形ABCD去掉∠C后，剩下的新图形是　 　边形．
12．（2024七上·福田期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为　 　；
13．（2024七上·黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶5，BN的值可能为　 　．
14．（2017七上·槐荫期末）平面上任意两点确定一条直线，任意三点最多可确定3条直线，若平面上任意n个点最多可确定28条直线，则n的值是　 　．
15．（2024七上·东西湖期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐角度数之和为190°，则∠AOB的度数为　 　.°
16．（2024七上·拱墅期末）已知是的补角，是的补角，若，，则的度数为　 　．
17．（2021七上·虎林期末）在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的正方形制作了一幅七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出来的图形的面积之和为　 　平方厘米．
18．（2024七上·松阳期末）2020年9月27日，从衢州开往福建宁德的铁路正式通车，途径松阳，是松阳开通的第一条火车线路，停靠如图所示的13个站点，需要设置不同的火车票　 　种．
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2024七上·顺德期末）如图，点是线段上一点．在射线上截取，在射线上截取．
（1）用尺规作图法作出符合题意的图形（保留作图痕迹，不需要写作法）；
（2）若，．
①求的长；
②若，探究的长；
（3）连接，在四边形内找一点，使它到、、、四个顶点的距离之和最小，并说明理由．
20．（2024七上·麻章期末）如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且∠AOP＝90°．用尺规完成作图：
（1）在射线OB上截取OD，使OD＝OC；在射线OP上取一点E，使OE＝2OC，连接CE，DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论；
（2）在射线OP上取一点Q（不同于点O，E），连接CQ，DQ；比较∠CED与∠CQD的大小，并直接写出结论．
21．（2024七上·丰满期末）小志准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图1，图2中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．
22．欧拉公式讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数之间存在的等量关系.
（1）如图，通过观察图中几何体，完成下列表格：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 　 　
五面体 5 　 　 8
六面体 8 6 　 　
（2）通过对如图所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：　 　 .
（3）【实际应用】
足球一般由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形.如果我们近似地把足球看成一个多面体.你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程.
23．（2024七上·洪山期末）（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点．
①直线上以，，，为端点的射线共有______条；
②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______；
（2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；
（3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长．
24．（2024七上·南宁期末） 综合与实践
【问题提出】随着时间的变化，钟面上时针和分针形成夹角的度数也随之变化，记时针和分针的夹角为α（a大于等于 0°，且小于等于 180° ）．我们可以求出任意时刻∠α 的度数吗？
分针运动规律 分针每分钟走6°
时针运动规律 时针每小时走30°即每分钟走0.5°
规定 当时针和分针指向刻度12记为0° 　
特例探究1（8点50分） 分针绕点O旋转所得角的度数是6°×50=300°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×8+0.5°×50=265°所以∠α=300°-265°=35°.
特例探究2（8时30分） 分针绕点O旋转所得角的度数是6°×30=180°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×8+0.5°×30=255°所以．∠α=255°-180°=75°. ．
特例探究3（8时10分） 分针绕点O旋转形成的角的度数是6°×10=60°，时针绕点O旋转形成的角的度数是30°×8+0.5°×10=245°，此时245°-60°=185°，由于185°＞180°，所以∠α=360°-185°=175°．
（1）当时间为7时30分时，请你求出∠α的度数；
（2）王老师7时整从家中出门散步，当她返回家中时还不到8时，此时她发现时针与分针形成的夹角正好是直角求王老师外出散步用了多少分钟？
25．（2024七上·安顺期末）线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：
（1）课上，老师提出问题：如图①，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，求线段的长度．下面是小泽根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程：
未知线段
已知线段 …… 因为C，D分别是线段、的中点， 所以， 　 　， 　 　， 因为， 所以　 　，
线段中点的定义 线段的和、差 等式的性质
（2）小泽举一反三，发现有些角度的计算也可以用相似的方法进行转化如图②，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线．求的度数．请同学们尝试解决该问题．
（3）同组的小丽同学很善于思考，她提出新的问题：如果（2）中其他条件不变，将射线绕点O旋转到的外部，则的度数是　 　．
26．（2024七上·丛台期末）问题提出：
如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井．
问题解决：
（1）若水井的位置现有P、Q两种选择方案．点P在线段上，点Q在线段上，哪一种方案的水井到各村庄的距离总和较小？请测量并验证你的判断；
（2）你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请图2中标出水井的位置点M，并说明理由．
问题拓展：
如果（2）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建）．已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建．
（3）问水井要修建几米？
（4）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队最多施工几天才能使工程款不超过35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：棱锥各个面与面相交都是直线，故A不符合；长方体各个面与面相交都是直线，故B不符合；圆台的上底面与侧面相交是曲线，下底面与侧面相交是曲线，故C符合；棱台各个面与面相交都是直线，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】分别对各个几何体的面与面相交的线进行识别，再作出判断.
2．【答案】D
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可得，
不是正方体的表面展开图，
故答案为：D．
【分析】利用正方体展开图的特征逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：根据线段的性质可知，连接，交于点，点就是所求的点，符合题意的画法是C．
故选：C．
【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间线段最短，连接，交于点，点就是所求的点，即可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质；求代数式的值-整体代入求值；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：从图中可以判断出，a与是相对面，b与是5相对面，c与3是相对面，
∵相对面上的两个数互为相反数，
∴，，，
∴，，．
∴；
故答案为：A．
【分析】从展开图可以首先发现，a和-4是相对面，而c和5、-4肯定不是相对面，因此c和3是相对面，b与是5相对面，然后根据互为相反数的性质可以求出a、b、c的值，最后计算即可。
5．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：解：A、过两点有且只有一条直线，故选项A说法正确，不符合题意；
B、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故选项B说法错误，符合题意；
C、两点之间的所有连线中，线段最短，故选项C说法正确，不符合题意；
D、直线AB和直线BA表示同一条直线，故选项D说法正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质以及直线的表示，逐项判定即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BD＝AB＝CD，
∴AB＝3BD，CD＝4BD，
∴AD＝AB BD＝2BD，AC＝AD＋CD＝2BD＋4BD＝6BD，
∵线段AB、CD的中点E、F，
∴AE＝AB＝BD，FC＝CD＝BD＝2BD，
∴EF＝AC AE FC＝6BD BD 2BD＝10，
解得：BD＝4，
∴CD＝AB×4＝×12×4＝16（cm），
故答案为：A．
【分析】先结合“BD＝AB＝CD”求出AD＝AB BD＝2BD，AC＝AD＋CD＝2BD＋4BD＝6BD，再利用线段中点的性质求出AE＝AB＝BD，FC＝CD＝BD＝2BD，最后求出CD＝AB×4＝×12×4＝16（cm）即可.
7．【答案】D
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由作图知：AC=CD=a，
，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据线段的和差计算即可求解．
8．【答案】D
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：①运动4s后，AP=2×4=8cm，PB=AB-AP=16cm，
∵M为的中点 ，
∴AM=MP=4cm，
∴PB=4AM，故①错误；
设运动ts时，AP=2t，PB=24-2t，
∵M为的中点，N为的中点，
∴AM=PM=t，PN=BN=12-t，
∴PM+MN=PM+PM+PN=t+t+12-t=12+t，
∴的值随着运动时间的改变而改变 ，故②正确；
∵MB=AB-AM=24-t，PB=AB-AP=24-2t，
∴=2（24-t）-（24-2t）=24cm，故③正确；
由AN=AP+PN=2t+（12-t）=12+t，PM=t，
∵ ，
∴12+t=6t，解得t=2.4s，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意分别求出AP、PB的长，再利用线段的中点得出AM、PM、PN、BN的长，利用线段的和差关系逐一求解即可判断.
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
又∵平分平分，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设，即可求出x的值，即可得到的度数，再利用角平分线定义得到，，然后根据解答即可．
10．【答案】B
【知识点】角的概念及表示；角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有 个，
所以A选项不符合题意；
，
，
，即 ，
所以B选项符合题意；
由中点定义可得： ， ，
，
，
，
所以C选项不符合题意；
由角平分线的定义可得： ， ，
，
，
，
，
，
所以D选项不符合题意，
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】A，根据以O为顶点射线有6条，形成角的个数为求解即可；
B，根据线段的关系判断即可；
C，根据中点的概念及线段的和差即可判断结论；
D，根据角平分线的概念及角的关系可得出结论。
11．【答案】三、四、五
【知识点】平面图形的初步认识
【解析】【解答】如图所示：
∴剩下的新图形是三、四、五边形，
故答案为：三、四、五.
【分析】先根据题意作出所有符合要求的图形，再求解即可.
12．【答案】3
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：如图，在展开图中标出对应的点，
则，，
那么，三角形的面积为，
故答案为：3．
【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据正方体展开图的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”，求出展开图的对应边长，再结合三角形的面积公式，进行计算，即可得到答案．
13．【答案】35cm或40cm或45cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设绳子三段的长分别为2xcm、3xcm和5xcm，两个断点分别为F、E，
则2x+3x+5x=100，
解得：x=10；
①若AF=3x，FE=5x，EB=2x，如图：
∵N为EF的中点，
∴，
∴BN=2.5x+2x=4.5x=45cm；
②若AF=5x，FE=3x，EB=2x，如图：
∵N为EF的中点，
∴，
∴BN=1.5x+2x=3.5x=35cm；
③若AF=5x，FE=2x，EB=3x，如图：
∵N为EF的中点，
∴，
∴BN=x+3x=4x=40cm；
故答案为：35cm或40cm或45cm.
【分析】先根据线段的比例设出线段的长，分三种情况进行分析，列出方程，即可求解.
14．【答案】8
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，
因为1+2+3+4+5+6+7=28，
所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线．
故答案是：8．
【分析】先确定两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，于是可根据此规律得到平面上不同的8个点最多可确定（1+2+3+4+5+6+7）=28条直线．
15．【答案】60
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①当∠AOC＝∠AOB时，如图①，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个．
设∠AOD＝x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝6x，∠BOC＝4x，
∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝5x，
∴∠AOD＋∠AOC＋∠AOB＋∠DOC＋∠DOB＋∠COB＝x＋2x＋6x＋x＋5x＋4x＝19x＝190°，
∴x＝10°，
∴∠AOB＝6x＝60°．
②当∠AOC＝∠AOB时，如图②，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个．
设∠AOD＝x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝3x，∠BOC＝x，
∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝2x，
∴∠AOD＋∠AOC＋∠AOB＋∠DOC＋∠DOB＋∠COB＝x＋2x＋3x＋x＋2x＋x＝10x＝190°，
∴x＝19°，
∴∠AOB＝3x＝57°．
综合以上两种情况，∠AOB＝60°或57°．
故答案为：60或57．
【分析】分类讨论：①当∠AOC＝∠AOB时，②当∠AOC＝∠AOB时，再分别画出图形并利用角平分线定义及角的运算方法分析求解即可.
16．【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；补角
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据题意. 和 的度数相等，解出n的值，求出. 的度数，再根据互为补角的两个角的和为180度，求出 的度数.
17．【答案】24
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】如下图所示：
所求面积为：
①②③④这四部分的面积之和
＝
＝24（平方厘米）．
故答案为：24．
【分析】确定①②③④这四块的匹配问题，就能解出面积，用正方形总面积减去非①②③④的区域面积即可。
18．【答案】156
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：由题意可知，每个站台需要设置张火车票，
∴需要设置不同的火车票种，
故答案为：156.
【分析】根据题意得到每个站台需要设置张火车票，进而计算即可.
19．【答案】（1）解：如图1，即为符合题意的图形；
（2）解：①，．
，
；
②，
或；
所以或8；
（3）解：如图2，连接，交于点，
，最短，
因为两点之间线段最短，
所以点到、、、四个顶点的距离之和最小
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）以点E为圆心，以BE为半径画弧交BC于点F，则EF=BE，BF=2BE；以点B为圆心，以BF为半径画弧交BM于点A，则点A即可求得；再以点C为圆心，以CF为半径画弧交CN于点D，点D即为所求；
（2） ① 根据BC和CD求得BF，即可求得AB=BF；
②根据G在AB之间和不在AB之间两种情况，计算BG即可；
（3）连接AC，BD交于点O，根据两点之间线段最短，即可求得点O.
20．【答案】（1）解：如图：
由CO＝DO，∠AOP＝90°知，直线PO是线段CD的垂直平分线，
∴CE＝DE；
（2）解：如图：
当Q在E下方的射线OP上时，∠CED＜∠CQD，
当Q'在E上方的射线OP上时，∠CED＞∠CQ'D．
【知识点】角的大小比较；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可求出答案.
（2）根据题意作图即可求出答案.
21．【答案】解：如图所示，黑色阴影部分所画的正方形即为所求(答案不唯一)
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【分析】本题考查了正方体的展开图及其应用，利用正方体的展开图中每个面都有对面作出第二层右边的小正方形的对面，据此分析作答，即可得到答案.
22．【答案】（1）6；5；12
（2）2
（3）解：设正五边形有块，则正六边形有块，
则，，
，
根据欧拉公式得，
则，
解得，，
所以，这个多面体中正五边形有12块，正六边形有20块.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：(1)填表如下：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
五面体 5 5 8
六面体 8 6 12
故答案为：6，5，12；
(2)V+F-E=2.
故答案为：2；
【分析】(1)观察几何体，即可完成表格；
(2)直接利用欧拉公式求出答案；
(3)根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有x块，而黑皮共有边数为5x块，依此借助欧拉公式列方程求解即可.
23．【答案】解：（1）①8
②9
（2），理由如下：
如图所示，当点B在点C左边时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
如图所示，当点B在点C右侧时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
综上所述，；
（3）∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；线段的计数问题
【解析】【解答】（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线，故答案为：8；
②∵，，，
∴，
如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），
如图所示，当点P在A、D之间时，，
如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），；
综上所述，的最大值为9；
故答案为：9；
【分析】（1）①根据射线的定义，结合图形，得到射线，进行求解即可；②分点P在点A左侧、点P在A、B之间和点P在点D右侧，三种情况讨论，分别求得的最大值，进而得到答案；
（2）根据题意，当点B在点C左边时，由线段中点的定义，得到，，根据，推出，得到；当点B在点C右侧时，得到，，根据，进而求得；
（3）由中点的定义，得到，求出，结合，再由，推出，得到，得到答案.
24．【答案】（1）解：分针绕点O旋转所得角的度数是6°×30＝180°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×7+0.5°×30＝225°，
所以：∠α＝225°-180°＝45°；
（2）解：设王老师外出散步用了x分钟，
则|30×7+0.5x-6x|＝90，
解得：x＝或，
答：王老师外出散步用了或分钟．
【知识点】一元一次方程的其他应用；钟面角、方位角
【解析】【分析】（1）根据题干中的方法列式求解；
（2）设王老师外出散步用了x分钟，根据“ 时针与分针形成的夹角正好是直角 ”列出方程并解之即可.
25．【答案】（1）；；
（2）解：∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴；
（3）或．
【知识点】角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵，分别是，的平分线，，
∴，，
分三种情况：
第一种情况：如图，
；
第二种情况，如图，
同理可得：；
第三种情况，如图，
，
综上：的度数是或者．
【分析】（1）利用线段中点的性质及线段和差的计算方法求解即可；
（2）利用角平分线的定义可得 ，， 再利用角的运算和等量代换求出，再将数据代入求解即可；
（3）先利用角平分线的定义求出，，再分类讨论，并画出图形并利用角的运算和等量代换求解即可.
26．【答案】解：（1）选P，理由如下：如图：P到A、B、C、D的距离之和为：，
Q到A、B、C、D的距离之和为：，
经测量，
所以点P到各村庄的距离总和较小，
（2）如图：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短”．
（3）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米，
可列方程：，解得．
所以水井要修建120米．
（4）设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元，
可列方程：，解得，
所以，甲工程队最多施工40天才能使工程款不超过35万元．
【知识点】两点之间线段最短；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）根据线段的测量、线段的性质，先分别测量点P、Q到A、B、C、D的距离，然后求和比较，即可得到答案；
（2）连接，当打井的位置选在和的交点，根据“两点之间线段最短”即可解答；
（3）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米，然后列一元一次方程，即可求解；
（4）设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元，然后列关于m的一元一次 方程求解即可．
1 / 1第四章《图形的认识》提升卷—湘教版数学七（上）单元分层测
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．下列图形中，面与面相交是曲线的图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：棱锥各个面与面相交都是直线，故A不符合；长方体各个面与面相交都是直线，故B不符合；圆台的上底面与侧面相交是曲线，下底面与侧面相交是曲线，故C符合；棱台各个面与面相交都是直线，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】分别对各个几何体的面与面相交的线进行识别，再作出判断.
2．（2024七上·化州期末）下列图形中，不是正方体展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可得，
不是正方体的表面展开图，
故答案为：D．
【分析】利用正方体展开图的特征逐项分析判断即可.
3．（2024七上·裕华期末）在一条沿直线铺设的电缆两侧有，两个小区，要求在直线上的某处选取一点，向、两个小区铺设电缆，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的电缆，则所需电缆材料最短的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：根据线段的性质可知，连接，交于点，点就是所求的点，符合题意的画法是C．
故选：C．
【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间线段最短，连接，交于点，点就是所求的点，即可得到答案.
4．（2024七上·织金期中）如图是一个正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，若相对的面上的两个数互为相反数，则的值是（　　）
A．2 B．6 C．-2 D．-4
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质；求代数式的值-整体代入求值；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：从图中可以判断出，a与是相对面，b与是5相对面，c与3是相对面，
∵相对面上的两个数互为相反数，
∴，，，
∴，，．
∴；
故答案为：A．
【分析】从展开图可以首先发现，a和-4是相对面，而c和5、-4肯定不是相对面，因此c和3是相对面，b与是5相对面，然后根据互为相反数的性质可以求出a、b、c的值，最后计算即可。
5．（2024七上·丽水期末） 下列说法中，错误的是(　　)
A．过两点有且只有一条直线
B．连结两点的线段叫作两点间的距离
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．直线AB 和直线BA 表示同一条直线
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：解：A、过两点有且只有一条直线，故选项A说法正确，不符合题意；
B、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故选项B说法错误，符合题意；
C、两点之间的所有连线中，线段最短，故选项C说法正确，不符合题意；
D、直线AB和直线BA表示同一条直线，故选项D说法正确，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质以及直线的表示，逐项判定即可得到答案.
6．（2024七上·永年期末） 如图， 点 在线段 上， 且 分别是 的中点， ， 则 .
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BD＝AB＝CD，
∴AB＝3BD，CD＝4BD，
∴AD＝AB BD＝2BD，AC＝AD＋CD＝2BD＋4BD＝6BD，
∵线段AB、CD的中点E、F，
∴AE＝AB＝BD，FC＝CD＝BD＝2BD，
∴EF＝AC AE FC＝6BD BD 2BD＝10，
解得：BD＝4，
∴CD＝AB×4＝×12×4＝16（cm），
故答案为：A．
【分析】先结合“BD＝AB＝CD”求出AD＝AB BD＝2BD，AC＝AD＋CD＝2BD＋4BD＝6BD，再利用线段中点的性质求出AE＝AB＝BD，FC＝CD＝BD＝2BD，最后求出CD＝AB×4＝×12×4＝16（cm）即可.
7．（2024七上·拱墅期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由作图知：AC=CD=a，
，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据线段的和差计算即可求解．
8．（2024七上·深圳期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（　　）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：①运动4s后，AP=2×4=8cm，PB=AB-AP=16cm，
∵M为的中点 ，
∴AM=MP=4cm，
∴PB=4AM，故①错误；
设运动ts时，AP=2t，PB=24-2t，
∵M为的中点，N为的中点，
∴AM=PM=t，PN=BN=12-t，
∴PM+MN=PM+PM+PN=t+t+12-t=12+t，
∴的值随着运动时间的改变而改变 ，故②正确；
∵MB=AB-AM=24-t，PB=AB-AP=24-2t，
∴=2（24-t）-（24-2t）=24cm，故③正确；
由AN=AP+PN=2t+（12-t）=12+t，PM=t，
∵ ，
∴12+t=6t，解得t=2.4s，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意分别求出AP、PB的长，再利用线段的中点得出AM、PM、PN、BN的长，利用线段的和差关系逐一求解即可判断.
9．（2024七上·成华期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
又∵平分平分，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设，即可求出x的值，即可得到的度数，再利用角平分线定义得到，，然后根据解答即可．
10．（2020七上·祁县期末）如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，下列结论错误的是（　　）
A．以 为顶点的角共有15个
B．若 ， ，则
C．若 为 中点， 为 中点，则
D．若 平分 ， 平分 ， ，则
【答案】B
【知识点】角的概念及表示；角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有 个，
所以A选项不符合题意；
，
，
，即 ，
所以B选项符合题意；
由中点定义可得： ， ，
，
，
，
所以C选项不符合题意；
由角平分线的定义可得： ， ，
，
，
，
，
，
所以D选项不符合题意，
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】A，根据以O为顶点射线有6条，形成角的个数为求解即可；
B，根据线段的关系判断即可；
C，根据中点的概念及线段的和差即可判断结论；
D，根据角平分线的概念及角的关系可得出结论。
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11．（2024七上·七星关期末）如图，四边形ABCD去掉∠C后，剩下的新图形是　 　边形．
【答案】三、四、五
【知识点】平面图形的初步认识
【解析】【解答】如图所示：
∴剩下的新图形是三、四、五边形，
故答案为：三、四、五.
【分析】先根据题意作出所有符合要求的图形，再求解即可.
12．（2024七上·福田期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为　 　；
【答案】3
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：如图，在展开图中标出对应的点，
则，，
那么，三角形的面积为，
故答案为：3．
【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据正方体展开图的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”，求出展开图的对应边长，再结合三角形的面积公式，进行计算，即可得到答案．
13．（2024七上·黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶5，BN的值可能为　 　．
【答案】35cm或40cm或45cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设绳子三段的长分别为2xcm、3xcm和5xcm，两个断点分别为F、E，
则2x+3x+5x=100，
解得：x=10；
①若AF=3x，FE=5x，EB=2x，如图：
∵N为EF的中点，
∴，
∴BN=2.5x+2x=4.5x=45cm；
②若AF=5x，FE=3x，EB=2x，如图：
∵N为EF的中点，
∴，
∴BN=1.5x+2x=3.5x=35cm；
③若AF=5x，FE=2x，EB=3x，如图：
∵N为EF的中点，
∴，
∴BN=x+3x=4x=40cm；
故答案为：35cm或40cm或45cm.
【分析】先根据线段的比例设出线段的长，分三种情况进行分析，列出方程，即可求解.
14．（2017七上·槐荫期末）平面上任意两点确定一条直线，任意三点最多可确定3条直线，若平面上任意n个点最多可确定28条直线，则n的值是　 　．
【答案】8
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，
因为1+2+3+4+5+6+7=28，
所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线．
故答案是：8．
【分析】先确定两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，于是可根据此规律得到平面上不同的8个点最多可确定（1+2+3+4+5+6+7）=28条直线．
15．（2024七上·东西湖期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐角度数之和为190°，则∠AOB的度数为　 　.°
【答案】60
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①当∠AOC＝∠AOB时，如图①，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个．
设∠AOD＝x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝6x，∠BOC＝4x，
∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝5x，
∴∠AOD＋∠AOC＋∠AOB＋∠DOC＋∠DOB＋∠COB＝x＋2x＋6x＋x＋5x＋4x＝19x＝190°，
∴x＝10°，
∴∠AOB＝6x＝60°．
②当∠AOC＝∠AOB时，如图②，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个．
设∠AOD＝x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝3x，∠BOC＝x，
∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝2x，
∴∠AOD＋∠AOC＋∠AOB＋∠DOC＋∠DOB＋∠COB＝x＋2x＋3x＋x＋2x＋x＝10x＝190°，
∴x＝19°，
∴∠AOB＝3x＝57°．
综合以上两种情况，∠AOB＝60°或57°．
故答案为：60或57．
【分析】分类讨论：①当∠AOC＝∠AOB时，②当∠AOC＝∠AOB时，再分别画出图形并利用角平分线定义及角的运算方法分析求解即可.
16．（2024七上·拱墅期末）已知是的补角，是的补角，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；补角
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据题意. 和 的度数相等，解出n的值，求出. 的度数，再根据互为补角的两个角的和为180度，求出 的度数.
17．（2021七上·虎林期末）在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的正方形制作了一幅七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出来的图形的面积之和为　 　平方厘米．
【答案】24
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】如下图所示：
所求面积为：
①②③④这四部分的面积之和
＝
＝24（平方厘米）．
故答案为：24．
【分析】确定①②③④这四块的匹配问题，就能解出面积，用正方形总面积减去非①②③④的区域面积即可。
18．（2024七上·松阳期末）2020年9月27日，从衢州开往福建宁德的铁路正式通车，途径松阳，是松阳开通的第一条火车线路，停靠如图所示的13个站点，需要设置不同的火车票　 　种．
【答案】156
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：由题意可知，每个站台需要设置张火车票，
∴需要设置不同的火车票种，
故答案为：156.
【分析】根据题意得到每个站台需要设置张火车票，进而计算即可.
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2024七上·顺德期末）如图，点是线段上一点．在射线上截取，在射线上截取．
（1）用尺规作图法作出符合题意的图形（保留作图痕迹，不需要写作法）；
（2）若，．
①求的长；
②若，探究的长；
（3）连接，在四边形内找一点，使它到、、、四个顶点的距离之和最小，并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，即为符合题意的图形；
（2）解：①，．
，
；
②，
或；
所以或8；
（3）解：如图2，连接，交于点，
，最短，
因为两点之间线段最短，
所以点到、、、四个顶点的距离之和最小
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）以点E为圆心，以BE为半径画弧交BC于点F，则EF=BE，BF=2BE；以点B为圆心，以BF为半径画弧交BM于点A，则点A即可求得；再以点C为圆心，以CF为半径画弧交CN于点D，点D即为所求；
（2） ① 根据BC和CD求得BF，即可求得AB=BF；
②根据G在AB之间和不在AB之间两种情况，计算BG即可；
（3）连接AC，BD交于点O，根据两点之间线段最短，即可求得点O.
20．（2024七上·麻章期末）如图，已知直线AB与射线OP相交于点O，点C是OA上一点，且∠AOP＝90°．用尺规完成作图：
（1）在射线OB上截取OD，使OD＝OC；在射线OP上取一点E，使OE＝2OC，连接CE，DE；比较线段CE与DE的大小，并直接写出结论；
（2）在射线OP上取一点Q（不同于点O，E），连接CQ，DQ；比较∠CED与∠CQD的大小，并直接写出结论．
【答案】（1）解：如图：
由CO＝DO，∠AOP＝90°知，直线PO是线段CD的垂直平分线，
∴CE＝DE；
（2）解：如图：
当Q在E下方的射线OP上时，∠CED＜∠CQD，
当Q'在E上方的射线OP上时，∠CED＞∠CQ'D．
【知识点】角的大小比较；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可求出答案.
（2）根据题意作图即可求出答案.
21．（2024七上·丰满期末）小志准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图1，图2中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．
【答案】解：如图所示，黑色阴影部分所画的正方形即为所求(答案不唯一)
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【分析】本题考查了正方体的展开图及其应用，利用正方体的展开图中每个面都有对面作出第二层右边的小正方形的对面，据此分析作答，即可得到答案.
22．欧拉公式讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数之间存在的等量关系.
（1）如图，通过观察图中几何体，完成下列表格：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 　 　
五面体 5 　 　 8
六面体 8 6 　 　
（2）通过对如图所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：　 　 .
（3）【实际应用】
足球一般由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形.如果我们近似地把足球看成一个多面体.你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程.
【答案】（1）6；5；12
（2）2
（3）解：设正五边形有块，则正六边形有块，
则，，
，
根据欧拉公式得，
则，
解得，，
所以，这个多面体中正五边形有12块，正六边形有20块.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：(1)填表如下：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
五面体 5 5 8
六面体 8 6 12
故答案为：6，5，12；
(2)V+F-E=2.
故答案为：2；
【分析】(1)观察几何体，即可完成表格；
(2)直接利用欧拉公式求出答案；
(3)根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有x块，而黑皮共有边数为5x块，依此借助欧拉公式列方程求解即可.
23．（2024七上·洪山期末）（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点．
①直线上以，，，为端点的射线共有______条；
②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______；
（2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；
（3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长．
【答案】解：（1）①8
②9
（2），理由如下：
如图所示，当点B在点C左边时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
如图所示，当点B在点C右侧时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
综上所述，；
（3）∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；线段的计数问题
【解析】【解答】（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线，故答案为：8；
②∵，，，
∴，
如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），
如图所示，当点P在A、D之间时，，
如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），；
综上所述，的最大值为9；
故答案为：9；
【分析】（1）①根据射线的定义，结合图形，得到射线，进行求解即可；②分点P在点A左侧、点P在A、B之间和点P在点D右侧，三种情况讨论，分别求得的最大值，进而得到答案；
（2）根据题意，当点B在点C左边时，由线段中点的定义，得到，，根据，推出，得到；当点B在点C右侧时，得到，，根据，进而求得；
（3）由中点的定义，得到，求出，结合，再由，推出，得到，得到答案.
24．（2024七上·南宁期末） 综合与实践
【问题提出】随着时间的变化，钟面上时针和分针形成夹角的度数也随之变化，记时针和分针的夹角为α（a大于等于 0°，且小于等于 180° ）．我们可以求出任意时刻∠α 的度数吗？
分针运动规律 分针每分钟走6°
时针运动规律 时针每小时走30°即每分钟走0.5°
规定 当时针和分针指向刻度12记为0° 　
特例探究1（8点50分） 分针绕点O旋转所得角的度数是6°×50=300°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×8+0.5°×50=265°所以∠α=300°-265°=35°.
特例探究2（8时30分） 分针绕点O旋转所得角的度数是6°×30=180°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×8+0.5°×30=255°所以．∠α=255°-180°=75°. ．
特例探究3（8时10分） 分针绕点O旋转形成的角的度数是6°×10=60°，时针绕点O旋转形成的角的度数是30°×8+0.5°×10=245°，此时245°-60°=185°，由于185°＞180°，所以∠α=360°-185°=175°．
（1）当时间为7时30分时，请你求出∠α的度数；
（2）王老师7时整从家中出门散步，当她返回家中时还不到8时，此时她发现时针与分针形成的夹角正好是直角求王老师外出散步用了多少分钟？
【答案】（1）解：分针绕点O旋转所得角的度数是6°×30＝180°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×7+0.5°×30＝225°，
所以：∠α＝225°-180°＝45°；
（2）解：设王老师外出散步用了x分钟，
则|30×7+0.5x-6x|＝90，
解得：x＝或，
答：王老师外出散步用了或分钟．
【知识点】一元一次方程的其他应用；钟面角、方位角
【解析】【分析】（1）根据题干中的方法列式求解；
（2）设王老师外出散步用了x分钟，根据“ 时针与分针形成的夹角正好是直角 ”列出方程并解之即可.
25．（2024七上·安顺期末）线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程：
（1）课上，老师提出问题：如图①，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，求线段的长度．下面是小泽根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程：
未知线段
已知线段 …… 因为C，D分别是线段、的中点， 所以， 　 　， 　 　， 因为， 所以　 　，
线段中点的定义 线段的和、差 等式的性质
（2）小泽举一反三，发现有些角度的计算也可以用相似的方法进行转化如图②，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线．求的度数．请同学们尝试解决该问题．
（3）同组的小丽同学很善于思考，她提出新的问题：如果（2）中其他条件不变，将射线绕点O旋转到的外部，则的度数是　 　．
【答案】（1）；；
（2）解：∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴；
（3）或．
【知识点】角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵，分别是，的平分线，，
∴，，
分三种情况：
第一种情况：如图，
；
第二种情况，如图，
同理可得：；
第三种情况，如图，
，
综上：的度数是或者．
【分析】（1）利用线段中点的性质及线段和差的计算方法求解即可；
（2）利用角平分线的定义可得 ，， 再利用角的运算和等量代换求出，再将数据代入求解即可；
（3）先利用角平分线的定义求出，，再分类讨论，并画出图形并利用角的运算和等量代换求解即可.
26．（2024七上·丛台期末）问题提出：
如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井．
问题解决：
（1）若水井的位置现有P、Q两种选择方案．点P在线段上，点Q在线段上，哪一种方案的水井到各村庄的距离总和较小？请测量并验证你的判断；
（2）你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请图2中标出水井的位置点M，并说明理由．
问题拓展：
如果（2）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建）．已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建．
（3）问水井要修建几米？
（4）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队最多施工几天才能使工程款不超过35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）．
【答案】解：（1）选P，理由如下：如图：P到A、B、C、D的距离之和为：，
Q到A、B、C、D的距离之和为：，
经测量，
所以点P到各村庄的距离总和较小，
（2）如图：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短”．
（3）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米，
可列方程：，解得．
所以水井要修建120米．
（4）设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元，
可列方程：，解得，
所以，甲工程队最多施工40天才能使工程款不超过35万元．
【知识点】两点之间线段最短；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）根据线段的测量、线段的性质，先分别测量点P、Q到A、B、C、D的距离，然后求和比较，即可得到答案；
（2）连接，当打井的位置选在和的交点，根据“两点之间线段最短”即可解答；
（3）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米，然后列一元一次方程，即可求解；
（4）设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元，然后列关于m的一元一次 方程求解即可．
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