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15.1 二次根式冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，化简的结果是( )
A. B. C. D.
2.若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
5.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则与最接近的整数是( )
A. B. C. D.
7.下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
8.下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
9.要使二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.若，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
11.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
12.如果，那么的取值范围( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为____
14.如果最简二次根式是同类二次根式，那么的值为____．
15.已知，，为三角形的三边长，则 ．
16.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知：、为实数，且，化简：．
18.本小题分
已知、为实数，且，
化简：．
19.本小题分
在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如：
；
．
若，且，，均为正整数，若，则______；
请你按照上述方法将化成一个式子的平方；
请你运用上述方法化简：．
20.本小题分
已知，，的位置如图所示，求的值．
21.
试化简：；
已知，满足，，求．
22.本小题分
已知实数，，在数轴上的位置如图所示，
化简．
23.本小题分
定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的因子二次根式．
若与是关于的因子二次根式，则 ______；
若与是关于的因子二次根式，求的值．
24.本小题分
某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛即图中阴影部分，每个长方形花坛的长为米，宽为米．
求长方形的周长；结果化为最简二次根式
除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为元平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
25.
问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求的值．
解：由得 ， ， ；
尝试应用：若、为实数，且，化简：；
拓展创新：已知，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，，
．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的非负性的性质，形如为二次根式，根据必须大于等于可得值，再求值即可．
【解答】
解：，
，
即，
，
当时，，
，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：、原式，不是最简最简二次根式，故 A不符合题意；
B、原式，不是最简最简二次根式，故B不符合题意；
C、原式，不是最简最简二次根式，故 C不符合题意；
D、是最简最简二次根式，符合题意
故选：．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】
解：
A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．据此解答．
【解答】
解：在实数范围内有意义，
，
解得：，
的取值范围是：．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：将方程两边同乘得，
，
得，
，
，
负值已舍，
，
，
与最接近的整数是，
故选：．
将方程两边同乘，得，再与，联立方程组，解出，判断即可．
本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：．是最简二次根式，符合同意；
B.不是最简二次根式，不符合同意；
C.不是最简二次根式，不符合同意；
D.不是最简二次根式，不符合同意；
故选A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、 ，故该选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故该选项计算错误，不符合题意；
C、，故该选项计算错误，不符合题意；
D、，故该选项计算正确，符合题意；
根据算术平方根，二次根式的性质和绝对值的性质的求法计算即可判断．
本题考查了算术平方根，绝对值及二次根式的性质等知识点，
9.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
10.【答案】
【解析】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，从而推出，据此可得答案．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的性质，二次根式的加减有关知识，利用二次根式的性质，二次根式的加减对选项逐一判断即可．
【解答】
解：．与不能合并，错误，
B.，错误，
C.正确，
D.，错误．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得到，解不等式即可．
【解答】
解：，
，
即．
故选C．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次根式、等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
【解答】
解：，
，
，，
是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
能组成三角形，周长，
是底边时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
所以，三角形的周长为
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
先把化为最简二次根式的形式，再求出的值即可．
【解答】
解：，
最简二次根式与二次根式是同类二次根式，
，
解得．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】代数式 有意义，
，，
，
故答案为：．
本题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式 的性质和分式有意义的条件求解即可．
17.【答案】由题意，得，，
，解得，，
原式．

【解析】略
18.【答案】依题意，得，解得．
，．
．

【解析】见答案
19.【答案】；
；

【解析】，，
，
，，
解得：，，
故答案为：；
；
．
根据已知条件和完全平方公式列出关于和的方程，解方程求出和即可；
把写成，再利用完全平方公式进行解答即可；
把写成，再利用完全平方公式和二次根式的性质进行解答即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握完全平方公式．
20.【答案】解：根据题意，得，，
，，，
．

【解析】根据数轴可知，，求出，，，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可．
21.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
，
若，则，
该方程无解，故不成立，则，
，
，
，
或，
把代入或运算解得：或，
．

【解析】
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的概念分析出，即可根据二次根式的性质化简运算；

根据二次根式的性质化简运算即可．
22.【答案】解：由数轴可知：，
，，
则原式．
【解析】本题考查实数与数轴，以及绝对值和二次根式的化简，分析得出和的正负情况是解题关键．
首先根据数轴得出，然后分析和的正负情况，再化简绝对值和二次根式，然后计算加减即可．
23.【答案】； ．
【解析】解：根据题意得，
解得，
故答案为：；
根据题意得，
所以
解得
即的值为．
根据新定义得到，然后解方程即可；
根据新定义得到，然后解方程即可．
本题考查了二次根式的定义：正确理解新定义是解决问题的关键．
24.【答案】长方形的周长为米；
购买地砖需要花费元．
【解析】
米．
答：长方形的周长为米．
平方米．
元．
答：购买地砖需要花费元．
根据长方形的周长公式进行计算即可求解；
先求得长方形的面积，根据面积乘以即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
25.【答案】【小题】

【小题】
由解得，．
．
【小题】
由解得，．
，
．

【解析】 略
见答案
见答案
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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