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15.2 二次根式的乘除运算冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“”中可以填的符号是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列计算，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为( )
A. B. C. D.
6.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，课上老师用个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形无重叠，无间隔已知小长方形的长为，宽为，下列结论不正确的是( )
A. 大长方形的长为 B. 大长方形的宽为
C. 大长方形的周长为 D. 大长方形的面积为
9.若是整数，则整数的值是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
10.若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
11.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
12.我们在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，所得的积不含二次根式，如，像这样两个含有二次根式的非零代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式若，都是整数，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算的结果是______．
14.计算： ．
15.“海阔千江辏，风翻大浪随”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压单位：，为风速单位：当风压为时，估计风速为______．
16.已知，，则的值为___________
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知 ，，利用作商法比较和的大小．
18.本小题分
已知，且为偶数，求的值．
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
计算：
；
．
21.本小题分
计算：
；
；
；
．
22.本小题分
先化简，后求值：，其中，．
23.本小题分
已知．
求的值；
若为的小数部分，求的值；
在的条件下，求的值．
24.本小题分
观察下列各式：
，
，
，
，
请用含是正整数且的式子写出你猜想的规律；
求证：．
25.本小题分
已知、为实数，且，
分别求出、的值；
求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，，，都是最简二次根式，
判断可得只有和是同类二次根式．
故选：．
先把非最简二次根式化简，再根据同类二次根式的概念求解．
本题主要考查了同类二次根式的定义，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：当中可以填的符号是时，；
当中可以填的符号是时，：；
当中可以填的符号是时，；
当中可以填的符号是号时，，
和是有理数，，都是无理数，
当中填入和号时，计算结果是有理数，
，，选项均不符合题意，选项符合题意，
故选：．
分别利用平方差公式、分母有理化和合并同类二次根式，计算出中填的符号是加减乘除符号时的结果，然后根据计算结果进行判断即可．
本题主要考查了二次根式的有关运算，解题关键是熟练掌握平方差公式和如何把分母有理化．
3.【答案】
【解析】解：、原式，所以选项错误；
B、原式，所以选项正确；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4.【答案】
【解析】解：．，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误．
故选：．
A、合并同类二次根式即可判断．
B、先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可判断．
C、利用二次根式的除法法则计算即可．
D、根据二次根式的乘法法则计算即可．
本题考查了二次根式的加减和二次根式的乘除运算，熟练化简二次根式是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，连接，，过点作，垂足为点，
六边形是正六边形，
，
，
是正三角形，
，
设，则，
，
，
解得或舍去，
即正六边形的边长为．
故选：．
根据正六边形的性质，二次根式的乘除法的计算方法进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，二次根式的乘除法，掌握正六边形的性质，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的关键．
6.【答案】
【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意，
故选：．
根据，，，直接求解即可得到答案．
本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟知以上知识是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、不是同类二次根式根式，无法合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、不是同类二次根式根式，无法合并，故该选项不符合题意；
D、，，，故该选项不符合题意，
故选：．
根据二次根式加减乘除运算法则，判断各项即可解答．
本题考查了二次根式的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】本题考查了二次根式的性质，将整理得，根据是整数，也为整数，得出或，求解即可得出答案．
【详解】解：．
是整数，也为整数，
或，
解得：或．
故选：．
10.【答案】
【解析】，，．，．，．，，．故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的减法，加法，乘法，除法运算．掌握法则是解题的关键．根据二次根式的减法，加法，乘法，除法运算进行计算即可．
【解答】
解：．，故此选项正确；
B.与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.，故此选项错误．
故选A．
12.【答案】
【解析】解：
则
13.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
分子分母同时乘以，然后利用平方差公式计算，再进行约分即可．
本题主要考查了分母有理化，熟练掌握该知识点是关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
根据二次根式的乘法法则计算．
本题主要考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．
【解析】
解：．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：当风压为时，
，
故答案为：．
根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案．
本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握该知识点是关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的化简，先分母有理化求出、的值，再求出的值，代入进行求解即可．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
故答案为．
17.【答案】，．
【解析】略
18.【答案】解：，
，
为偶数，
，
则
．
【解析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题意，求出的取值范围是解答本题的关键．根据题意，求出的取值范围，然后化简求解即可．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据分母有理化，零指数幂，绝对值和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可；
先根据二次根式的平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可．
本题考查了零指数幂和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，同时要掌握乘法公式，并注意运算顺序．
20.【答案】；

【解析】原式
；
．
根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
先计算二次根式的除法，然后合并同类二次根式，即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算；熟练掌握运算法则是关键．
21.【答案】解：
；
；
；
．
【解析】先化简二次根式，再合并即可；
先计算二次根式的乘法运算，再合并即可；
先计算二次根式的除法与乘法运算，再合并即可；
先化简二次根式，计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并即可．
本题考查的是零次幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算、平方差公式、分母有理化，解决本题的关键是按照运算顺序和运算方法计算．
22.【答案】解：原式
．
当，时，原式．
【解析】先分别将分子、分母进行因式分解，再约分、合并同类项得到最简结果，最后将，的值代入计算即可．
本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
23.【答案】【小题】
解：，
，，
，，
；
【小题】
解：由可知，，
，
，
，
的整数部分是，小数部分是，
为的小数部分，
；
【小题】
解：，
，

．

【解析】
本题考查了二次根式的分母有理化，无理数的估算，二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先化简和，接着算得以及，然后代入中算得答案；

由，估算出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可；

先算出，将化简成，然后代入和，算得答案即可．
24.【答案】；
见解析．
【解析】解：，
，
，
，
，
以此类推可知；
证明：是正整数且，
；
，
．
观察所给式子可知，左边式子化简的结果为分母中大数减小数，即；
根据的规律先把式子左边裂项化简得到，再把分母有理化即可证明结论．
本题主要考查了分母有理化，简单的规律探索，发现规律是关键．
25.【答案】解：，
，
且，
解得：、；
当、时，
原式
．
【解析】本题主要考查非负数性质及分母有理化等知识点，解题的关键是掌握算术平方根和偶次乘方结果均为非负数及二次根式的运算法则．
由原式得出，根据非负数性质得且，解之可得答案；
将、的值代入计算可得．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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