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15.4 二次根式的混合运算冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的( )
A. B. C. D.
2.如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，则图中阴影部分面积为( )
A. B. C. D.
3.一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
4.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5.如表是嘉嘉和淇淇比较与的过程：
嘉嘉 淇淇
分别将两式平方，得，
，
，
． 作一个直角三角形，两直角边长分别为，，利用勾股定理，得斜边长为：由三角形中两边之和大于第三边，得．
下列关于两人的思路判断正确的是( )
A. 两人都对 B. 两人都错 C. 嘉嘉错，淇淇对 D. 嘉嘉对，淇淇错
6.如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为( )
A. B.
C. D.
7.下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
8.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
9.已知：，，则与的关系是．
A. B. C. D.
10.估计的值应在( )
A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间
11.已知，则的值为( )
A. B. C. D. 以上都不对
12.如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，，则的值为______．
14.计算： ．
15.计算： ．
16.已知，，则的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算或化简：
；
．
18.本小题分
某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为．
求长方形的周长；
除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，则通道的面积是多少？结果化为最简二次根式
19.本小题分
在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求的值．
她是这样解答的：
解：，
，
．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
若，求的值；
化简：．
20.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点已知线段，在图中找一点，使得，．
画出线段和；
是直角三角形吗？答：______填“是”或“不是”
21.本小题分
已知，
求的值； 求．
22.本小题分
计算．
23.本小题分
解方程：
；
；
计算：．
24.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
25.本小题分
阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号数学课上，老师出了一道题：已知，求的值．
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
，
．
，
．
，
，
．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
化简： ______； ______；
比较大小：与，需说明理由；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据二次根式的乘除法，二次根式的加法，算术平方根逐项分析判断如下；
：，原计算正确，故选项符合题意；
：和不是同类二次根式，不能合并，故，故选项不符合题意；
：，原计算错误，故选项不符合题意；
：，原计算错误，故选项不符合题意．
故选：．
利用二次根式的性质和运算法则进行判断，逐一分析各选项的运算是否正确即可．
本题考查二次根式的乘除法，二次根式的加法，算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的应用有关知识，依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案
【解答】
解：两个小正方形面积为和，
大正方形边长为：
大正方形面积为．
留下的阴影部分面积和为：．
3.【答案】
【解析】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为，
剩余木板的长：，
剩余木板的面积为：
故选：．
先根据个正方形的面积求出两个正方形的边长，再分别求出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求出结果即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则幂是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：嘉嘉用的代数方法，计算正确，
而淇淇用的几何方法，计算也正确．
故选：．
根据代数和几何方法的运算过程可以判断两人结果．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算方法是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．
【解答】
解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
大正方形的边长是，
留下部分即阴影部分的面积是
故选D．
7.【答案】
【解析】解：．，故不正确；
B.，正确；
C.，故不正确；
D.，故不正确；
故选：．
根据二次根式的运算法则逐项计算即可求解．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的乘法法则对、进行判断．根据二次根式的性质对进行判断．
【解答】解：、与不能合并，所以选项的计算错误；
、原式，所以选项的计算正确；
、原式，所以选项的计算错误；
、原式，所以选项的计算错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9.【答案】
【解析】解：分母有理化，可得，，
，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，，
，故D选项错误；
故选：．
先分母有理化求出、，再分别代入、、、、，求出每个式子的值，即可得出选项．
本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
，
故选：．
先根据二次根式的混合运算法则得出，再估算出，即可得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键．
11.【答案】
【解析】解：设，，则，，
，
即，
，
，
，
，
即的值为．
故选：．
设，，则，，利用完全平方公式得到，所以，然后利用平方根的定义求出即可．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．灵活运用换元法和完全平方公式是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】
解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积
，
．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．注意整体代入方法的运用．先计算出的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：，，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的应用是解题关键直接利用平方差公式求解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练逆用积的乘方法则是解题的关键．
先逆用积的乘方变形，再利用平方差公式进行计算即可．
【解答】
解：，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：，，
，，
；
故答案为：．
由已知条件先求解，，结合，再代入求值即可．
本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二次根式的加减乘法运算，求解代数式的值，掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．
17.【答案】；

【解析】
；
原式

．
先化简二次根式，再加减即可；
根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】；

【解析】长方形的周长：；
通道的面积：
．
根据长方形的周长公式进行列式，计算出结果；
根据长方形的面积公式，用大长方形的面积减去阴影部分的面积；再进行化简，计算出结果．
本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是根据长方形周长和面积公式来列式计算．
19.【答案】；
．
【解析】，
，
．
．
根据题干给定的解题方法，先进行分母有理化再进行求解即可；
先进行分母有理化，再进行计算即可．
本题考查二次根式的运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
20.【答案】如图，线段和即为所求；
不是
【解析】如图，线段和即为所求；
，，，
，
不是直角三角形，
故答案为：不是．
利用勾股定理得、，再结合网格即可画出线段；
由即可得出结论．
本题考查作图应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解答本题的关键．
21.【答案】解：，，
；
，
，
．
【解析】本题考查二次根式的分母有理化和化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法．
根据分母有理化的方法化简，，然后代入所求式子即可解答本题．
22.【答案】解：
，
故答案为：．

【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质化简，立方根，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是关键．
根据二次根式的性质化简，立方根的计算，二次根式的乘法运算法则计算即可．
23.【答案】或；
，；

【解析】，
，
，即，
或，
，；
，
，
，
或，
或；
．
根据配方法解一元二次方程即可求解；
根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
根据二次根式的性质化简，平方差公式，二次根式的混合运算即可求解．
本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解一元二次方程的方法，掌握其运算法则是解题的关键．
24.【答案】解：
，
当，时，
原式
．
【解析】此题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，掌握这些运算法则是关键，先将原式化简，再把，的值代入化简后的式子计算，即可得到答案．
25.【答案】
【解析】解：；
故答案为：；；
，，
显然，
又和都是正数，
；
，
，
，
，
，
，
．
根据有理化因式的定义进行化简即可．
根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题．
根据题干所给示例进行计算即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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