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16.2线段的垂直平分线冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点，为线段上一动点，为边的中点，则周长的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
3.如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知，是内部的一点，且，，分别是，上的动点，则的周长最小值等于( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在已知的中，按以下步骤作图：
分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
作直线交于点，连接．
若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，直线垂直平分，、分别是、上的动点，的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、若，的周长为，则的周长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，连接若，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，菱形的对角线，相交于点，点是上一点，若，当最小时，：的值是( )
A.
B.
C.
D.
11.在等边三角形中，于，且，是边的中点，为上一动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
12.在联欢会上，三名同学分别站在锐角的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子最适合放在的( )
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，菱形中，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，作直线，且直线 恰好经过点，与边交于点连接，若，则_______________．
14.如图中，于，于，点是上一动点，若的周长为，，则周长的最小值为 ．
15.如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是 ．
16.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，，连接，请用尺规作图法，分别在，上求作，，连接，，使得四边形是菱形．保留作图痕迹，不写作法
18.本小题分
已知线段．
请你用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线保留作图痕迹，不写作法；
根据你的作图过程和结果，证明：是的垂直平分线．
19.本小题分
作图题：不写作法，但必须保留作图痕迹
如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路点，表示大学，，表示公路现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
20.本小题分
尺规作图要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：
如图求作一点，使，并且使点到的两边距离相等．
如图在道路上键一个水坝站，使向、两村送水所用水管最短，水坝站应建何处．
21.本小题分
如图，每个小正方形的边长为个单位长度中点坐标为，点的坐标为．
请在图中画出符合题意的平面直角坐标系，并写出点坐标______；
作出关于轴对称图形；
在轴上找一点，使得点到点、的距离相等；不写作法，保留作图痕迹
若为轴上一点，连接、，则周长的最小值为______．
22.本小题分
如图，线段是矩形的对角线．
实践与操作，利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，连接要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，需标明字母
猜想与证明 试猜想四边形的形状，并加以证明．
23.本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：作边的垂直平分线交于点；
连接，作的平分线交于点；要求：保留作图痕迹，不写作法
在所作的图中，求的度数．
24.本小题分
如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为，，，牧童从处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短最短路程是多少
25.本小题分
如图，已知是的角平分线，、分别是和的高请你判断与位置关系，并说明理由；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：连接，如图．
中，，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最小值，
故选：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，得出的长为的最小值是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：是等腰三角形，点是边的中点，如图，连接，，
，，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
则，
，
的长为的最小值，
周长的最小值为．
故选：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，
，，
此时的周长；
即当、为上述所作的交点时，的周长取得最小值，最小值为的长度，
点与关于对称，点与关于对称，
是的垂直平分线，是的垂直平分线；
，，
，
；
，
在中，，，
是等边三角形；
，
即周长的最小值为；
故选：．
作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点；连接，，，根据题意求得的度数，进而证明是等边三角形，从而求解．
本题主要考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
由，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：，则可求得的度数，继而求得答案．
【解答】
解：，，
，
根据题意得：是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
故选D．
6.【答案】
【解析】解：如图，等腰的底边长为，面积是，点是边的中点，连接，
，
，
解得：，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最小值．
故选：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：当点、重合时，的值最小，
直线垂直平分线，
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故选：．
由题意可知当点、重合时，的值最小，利用线段垂直平分线的性质可得，进而得，得到，即得为等边三角形，得到，据此即可求解．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线段垂直平分线的作法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：由题意得垂直平分线段，
，，
，
，
的周长
．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，再用求出的值即可．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
，
．
10.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
和都是等边三角形，
，
延长到点，使，连接，，
则，，
垂直平分，
，
，
即最小值为的长，
：：，
故选：．
易得，延长到点，使，连接，，得到，那么最小值为的长，进而可解决问题．
本题综合考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定等知识．得到的最小值是哪条线段的长度是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：连接，，如图，
是等边三角形，，
垂直平分，，
，
，
即的最小值为的长，
是边的中点，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
连接，，推理得出的最小值为的长，再求出的长即可．
本题考查轴对称最短路线问题，解答中涉及等边三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能用一条线段的和表示两线段和的最小值是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选：．
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．据此解答．
本题主要考查了游戏公平性，三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，概率公式；想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：菱形中，，，
由题意知垂直平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接．
，，
．
．
根据两点之间，线段最短，
的最小值为．
又周长，
周长的最小值为．
的周长为，，
周长的最小值为的周长．
故答案为：．
依据，连接，由，，可得，从而，然后根据两点之间，线段最短，可得的最小值为，又周长，则周长的最小值为，进而可以判断得解．
本题主要考查了轴对称最短路线问题、线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：如图，连接．
的周长，，
的值最小时，的周长最小，
垂直平分线段，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为．
故答案为：．
如图，连接因为的周长，，推出的值最小时，的周长最小．由题意，推出，由此即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：如解图，点，即为所求．

【解析】略
18.【答案】解：如图所示，即为所求；
连接，，，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
为线段的垂直平分线．
【解析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法及其判定．
根据作一条线段的垂直平分线的步骤作出图形即可；
连接，，，，分别证明点，在线段的垂直平分线上即可．
19.【答案】解：如图，所示．


【解析】略
20.【答案】如图，点即为所求，
如图所示：点即为所求．

【解析】如图，分别作的平分线，线段的垂直平分线交于点，则点即为所求，
作出关于的对称点，连接于直线的交点就是，如图所示：点即为所求．
分别作的平分线，线段的垂直平分线交于点，即可求解．
作出关于的对称点，连接于直线的交点就是．
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21.【答案】，
；
；
，
【解析】如图所示的坐标系即为所求，，
故答案为：；
作出关于轴对称图形，如图，即为所作；
当点与原点重合时，连接、，
每个小正方形的边长为个单位长度，
，，
，
点到点、的距离相等，
则点即为所作；
连接交轴于点，
点与点关于轴对称，
，
，
此时周长取得最小值，最小值为，
，
周长的最小值为．
故答案为：．
根据点的坐标作出平面直角坐标系即可求解；
根据轴对称的性质找出点、、关于轴对称的对应点、、，再顺次连接可得；
当点与原点重合时，连接、即可；
连接交轴于点即可．
本题考查作图轴对称，平面直角坐标系，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键．
22.【答案】解：如图，
四边形是菱形，证明如下：
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是菱形．
【解析】【分析】
本题考查了基本作图，作一条线段的垂直平分线，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
利用尺规作图线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
利用矩形的性质求证，证得，得出，由线段的垂直平分线得出，即可得出答案．
23.【答案】解：如图，直线，射线即为所求．
因为垂直平分线段，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为平分，
所以．
【解析】利用尺规作出线段的垂直平分线，交于，交于；连接，作的角平分线交于，直线，射线即为所求．
首先证明，推出，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
24.【答案】如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，则，
易知在点处饮水能使所走的总路程最短，最短路程为的长．
过点作，交的延长线于点，则四边形为长方形，
所以，
，
所以，
在中，由勾股定理，
得，故A，
所以最短路程是．

【解析】见答案
25.【答案】解：垂直平分，理由如下：
是的角平分线，、分别是和的高，
，
在与中，
，
，
，
，
垂直平分；
，
，
，
，
解得，
所以的长为．
【解析】根据角平分线的性质得出，根据三角形全等的判定得出，求出，根据垂直平分线的判定即可得出答案；
根据三角形面积公式得出，求出结果即可．
本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，
证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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