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16.3 角的平分线冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，是的中点，平分，且，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点若，，则的面积为 ( )
A. B. C. D.
3.如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：；点在的平分线上；，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，则下列结论：；；：：；若，则≌其中正确的有( )
A. B. C. D.
5.如图，射线是的平分线，为射线上一点，于点，，若是射线上一点，，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在中，，按以下步骤作图：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，交边于点．若，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：；点在的平分线上；，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：；结论下列判断正确的是( )
A. 都正确
B. 正确，错误
C. 错误，正确
D. 都错误
9.如图，，，垂足分别为，，添加一个条件，使≌，下列条件不符合的是( )
A.
B.
C.
D.
10.分如图，在中，是的平分线，延长至，使，连接，若，的面积为，则的面积是( )
A. B. C. D.
11.如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是( )
A. B. C. D.
12.如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上连接和则以下结论中正确的个数为( )
；为的平分线；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 ．
14.如图，，，，则下列结论正确的是： 填序号
平分；
；
；
．
15.如图，在中，，，，平分，则点到的距离为 ．
16.如图，在中，，是的平分线，若点是上一动点，且作于点，则的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在的两边、上分别取点、，连接若平分，平分．
求证：平分
若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和．
18.本小题分
如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．
延长至点，求证：平分；
若，求的度数．
19.本小题分
已知：如图，的外角和的平分线相交于点．
求证：点在的平分线上．
20.本小题分
已知：如图，的外角和的平分线相交于点，求证：点在的平分线上．
21.本小题分
如图，于，于，若．
求证：平分；
已知，，求的长．
22.本小题分
如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，．
求证：
．
23.本小题分
如图，两个班的学生分别在，两处参加植树劳动，现要在道路，的交叉区域内设一个茶水供应点，使到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一点不写作法，保留作图痕迹．
24.本小题分
如图，是的平分线，是上的一点，，，垂足分别为、是上的另一点，连接、求证：．
25.本小题分
如图，是的平分线，是上的一点，，，垂足分别为，，是上的另一点，连接，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】如图，作于．
，
，
，
平分，，，
，
是的中点，
，
，
又，，平分，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：如图，作于，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，，
，
的面积，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作于，证明≌，得到，同理可证即可得到结论；
根据角平分线的判定定理解答即可；
根据全等三角形的性质证得，，再根据四边形内角和即可证得和关系．
【解答】
解：证明：作于，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
平分，且，，
，
，
正确；
与可知：，
又于，于，
点在的平分线上，
正确；
，
又，
，
即，
由知：≌，
，
同理：，
，
即，
，
错误；
正确的结论有，共个．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
从现有条件无法得出，
，
无法得出，
故错误，不符合题意；
，，
，
，，
，
故正确，符合题意；
平分，
点到，的距离相等，都设为，
：：：，
故正确，符合题意；
在和中，
，
≌，
故正确，符合题意；
故选：．
根据直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的平分线性质进行求解判断即可．
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的平分线性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，过作于，
根据角平分线的性质可得：
，
；
故选：．
角平分线上一点到角的两边的距离相等，根据此性质过作于，则得，由三角形面积公式即可求解．
本题考查了角平分线的性质定理，正确记忆角平分线上一点到角的两边的距离相等是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：由作法得平分，
过点作于，如图，则，
在中，，
，
，
即，
故选：
利用基本作图得平分，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，然后利用面积法得到，最后解方程即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知角的角平分线也考查了角平分线的性质．
7.【答案】
【解析】解：过点作，如图：平分，平分，，
，，；故正确；点在的平分线上；故正确；，又，；故错误；正确的选项有个；故选：．
8.【答案】
【解析】解：由尺规作图痕迹可知：平分，，
，
，
，，
，
，故结论正确；
在和中，
，
≌，
，
，故结论正确，
正确，
故选：．
由作图可得：平分，，由角平分线的性质定理可得，由即可判断；证明≌即可判断．
本题考查了尺规作图基本作图、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，得到≌是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
和都是直角三角形，
对于选项A，
在和中，
，
≌，
该选项A中的条件能够使≌，
故该选项不符合题意；
对于选项B，
在和中，
，
≌，
该选项B中的条件能够使≌，
故该选项不符合题意；
对于选项C，
在和中，
，
≌，
该选项C中的条件能够使≌，
故该选项不符合题意；
对于选项D，
在和中，，，不符合全等三角形的判定条件，
该选项D中的条件不能使≌，
故该选项符合题意，
故选：．
根据，得，对于选项A，根据，可依据“”判定和全等，由此可对该选项进行判断；对于选项B，根据，，可依据“”判定和全等，由此可对该选项进行判断；对于选项C，根据，可依据“”判定和全等，由此可对该选项进行判断；对于选项D，根据，不能判定和全等，由此可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】过点 作 ， ，根据题意可以得到 ，再根据边长关系求得 的面积，即可求解．
【详解】
解：过点 作 ， ，如下图：
是 的平分线



又 ， ，



故选C
【点睛】
此题考查了三角形面积的有关计算，根据题意找到三角形面积之间的关系是解题的关键．
11.【答案】
【解析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过作于，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值．
【详解】解：过作于，
是的角平分线，，，
，
，
的面积为，
即，
解得：，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，，
是的外角，
，
为等腰三角形，，
，
，
，
而，
，
故结论正确；
过点作，交的延长线于点，于点，如图所示：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
点在的平分线上，
即为的平分线，
故结论正确；
为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
故结论正确；
，，
，
是等腰三角形，
当是等边三角形时，，
根据已知条件无法判定，
即无法判定是等边三角形，
故结论不正确，
综上所述：正确的结论是，共个．
故选：．
根据等边三角形和等腰三角形性质得，，，，再根据三角形外角性质得，进而得，由此可对结论进行判断；
过点作，交的延长线于点，于点，证明，进而依据“”判定和全等得，再根据角平分线的性质即可对结论进行判断；
证明和全等得，由此可对结论进行判断；
根据，得，则是等腰三角形，根据已知条件无法判定是等边三角形，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】【解答】解：如图，作于， 由基本尺规作图可知，是的角平分线，，，，的面积， 故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
根据已知，，想到构造一个等腰三角形，所以延长，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，则，就得到，然后再证明≌就可以判断出平分，再由角平分线的性质想到过点作，交的延长线于点，从而证明≌，即可判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据已知结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【解答】
解：延长，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，则，过点作，交的延长线于点，
，，
，，
，
，
，
在和中
≌，
，
，
，
，
平分，
故正确；
，
，
，
故正确；
在和中，
≌，
，，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
故错误；
，
，
故正确；
故答案为：．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了轴对称和角的平分线的性质及垂线段最短，根据角的平分线的性质理解的长是的最小值是关键作于点，则的长就是的最小值，在直角中利用三角函数求解．
【解答】
解：作于点，根据是的平分线，点是上一动点，且作于点，
则的最小值是，
在直角中，，
．
故答案为．
17.【答案】解：过作，，，
平分，平分，
，
，
平分
因为，，
所以
即
连接，
，
．
．

【解析】本题考查角平分线的性质和判定，割补法求图形的面积．
过作，，，根据角平分线的性质得出，即可得出结论
连接，先求出，求出，再根据面积法得出，即可解答．
18.【答案】【小题】
证明：如图，过点作于点，于点，于点．
平分，
．
平分，
．
，
又，，
平分．
【小题】
解：设．
由，易得．
，
，
．
．
．

【解析】 略
略
19.【答案】证明：如图所示，过点作于点，
于点，于点．
平分，，，
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
同理．
．
，，
点在的平分线上在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

【解析】见答案
20.【答案】证明：如图，作于，于，于，
平分，，，
，
同理，，
，
又，，
点在的平分线上．

【解析】略
21.【答案】证明：，，
．
在与中，
，
，
，
又，，
平分．
解：，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线判定即可证明；
证明，根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案．
22.【答案】证明：是的平分线，，，
，
在和中，
≌．
；
是的平分线，，，
．
在与中，
≌，
，
，
即．
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，由已知能够注意到点到的距离点到的距离，即，是解答本题的关键．
根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点到的距离点到的距离即再根据≌，得；
利用角平分线性质证明≌，，再将线段进行转化即可得到结论．
23.【答案】解：如图所示：
点即为所求．
【解析】本题主要考查了作图与应用设计作图，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
分别作出的中垂线和的角平分线，两线的交点就是点位置．
24.【答案】证明：是的角平分线，是上一点，，，
，．
在和中，，
≌，
．
在和中，，
≌，
．
【解析】根据角平分线的性质可得出，结合可证出≌，根据全等三角形的性质可得出，结合、可证出≌，再利用全等三角形的性质即可证出．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，利用全等三角形的判定定理证出≌是解题的关键．
25.【答案】证明：是的平分线，，，，，≌， 在和中，≌，．
【解析】略
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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