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17.1等腰三角形冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
2.下列四个命题，是真命题的是( )
A. 面积相等的两个三角形全等
B. 负数没有立方根
C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形
D. 两直线平行，同位角互补
3.在下列命题中：有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；有两个内角是的三角形是等边三角形；一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；底边相等的两个等腰三角形全等正确的命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是( )
A. ≌ B. 是的高线
C. 是的角平分线 D. 是等边三角形
5.如图，在中，，，，分别是、的平分线，则图中的等腰三角形有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.如图，是等边三角形的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
7.如图，是等边三角形的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则 ( )
A. B. C. D.
8.如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，如果，，那么图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
9.已知等腰三角形的一边长为，一个内角为，则它的周长是( )
A. B. C. D.
10.如图，≌，点和点是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为 ( )
A. B. C. D.
11.如图，在菱形中，，，则( )
A. B. C. D.
12.如图，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，且周长的最小值是时，的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在菱形中，为对角线上的一动点，，，当为等腰三角形时，的长为______．
14.如图，已知是等边三角形，是中线，在上，，则 ．
15.如图，已知，，，，求的度数为______
16.在正方形外侧作等边，则的度数为________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法
18.本小题分
如图，，都是等边三角形．求证：．
19.本小题分
如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点．
求证：；
若，求的度数．
20.本小题分
如图，中，平分交于，过点作交的延长线于，为的中点，判断与的位置关系并证明．
21.本小题分
如图所示，中，是上一点，且，，垂足为点，点是的中点求证：．
22.本小题分
如图，已知，，和相交于点．
求证：≌；
判断的形状，并说明理由．
23.本小题分
如图，，连接，求证：．
24.本小题分
在中，．
如果有一个角等于，那么 ， ， ；
如果有一个角等于，那么另两个角分别等于多少度？
25.本小题分
如图，在中，，点，分别在边，上，连接，．
求证：；
连接，点为的中点，连接，．
依题意补全图形；
若，求的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：面积相等的两个三角形不一定全等，该选项是假命题，不合题意；
B.负数有立方根，该选项是假命题，不合题意；
C.有一个角是的等腰三角形是等边三角形，该选项是真命题，符合题意；
D.两直线平行，同位角相等，该选项是假命题，不合题意．
故选：．
此题考查了命题，根据平行线的性质，全等三角形的定义，等边三角形的判定，立方根的定义逐一对选项进行分析即可判断出命题的真假．
本题考查命题和定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：有一个外角是等腰三角形，即有一个内角是，故此三角形是一个内角为的等腰三角形，是等边三角形，故正确；
有两个内角都是的三角形一定是等边三角形，命题正确；
有一边上的高也是这边上的中线的三角形不一定是等边三角形，命题错误；
底边相等的两个等腰三角形不一定全等，命题错误，
正确的命题有个，
故选：．
根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可．
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握等边三角形的判定方法．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】
根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
【解答】
解：共有个．
，
是等腰三角形；
、分别是、的角平分线
，，
是等腰三角形，即，
，
是等腰三角形；
，，
，
又是的角平分线，
，
是等腰三角形；
同理可证和是等腰三角形．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．由是等边的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得，，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，继而求得答案．【解答】
解：是等边的中线，
，，
，
，
，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：在等边中，，
是边上的高，
平分，
，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质可得，根据等边三角形三线合一可得，再根据作图可知，进一步可得的度数．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，扇形面积的计算，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，属于中档题．
连接，，根据等腰三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：连接，，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：一个等腰三角形的一个内角为，
该等腰三角形是等边三角形，
又其一边长为，
它的周长是，
故选：．
根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案．
本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
【解答】
解：≌，
，，
，，
在中，，
，
，
，
整理得，．
故选B．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】【分析】
作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为，可得是等边三角形，进而可得的度数．
本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
【解答】
解：如图，作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，连接，，
此时周长最小为，
根据轴对称的性质，得，，，
所以，
所以是等边三角形，
所以，
所以，
故选：．
13.【答案】或或
【解析】解：菱形中，为菱形的对角线，，
，，
连接，交于点，
，
，
，
，
，
为等腰三角形时，
当时，，
当时，即点与点重合，
，
当时，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或不合题意，舍去，
，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
根据菱形性质得到，，连接，交于点，结合直角三角形性质得到，结合勾股定理和菱形性质得到，，再利用等腰三角形的性质分类讨论，并结合勾股定理求解，即可解题．
本题考查了菱形性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．
14.【答案】
【解析】由是等边的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得，，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：是等边的中线，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
同理可得，
故答案为：．
先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，同理可得．
本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
又是等边三角形，
，，
，
是等腰三角形，，
．
17.【答案】解：如图，点即为所求．作法不唯一

【解析】略
18.【答案】证明：，都是等边三角形，，，．
，．
在和中，≌，．

【解析】略
19.【答案】【小题】
证明：因为是的垂直平分线， 所以 因为，为的中点， 所以是的垂直平分线， 所以， 所以．
【小题】
解：因为，， 所以 因为，， 所以， 所以．

【解析】 略
略
20.【答案】解：，
证明：平分，
，
，
，，
，
，
为的中点，
，
，
，
．
【解析】根据等腰三角形的判定和性质定理，平行线的性质，以及角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21.【答案】证明：，，又是的中点，．
【解析】略
22.【答案】证明：在与中，
≌；
是等腰三角形，
理由如下：
≌，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可求，可得，即可得结论．
23.【答案】证明：证法在与中，
≌，．
，等腰三角形的“三线合一”．
证法，点在线段的垂直平分线上．
，点在线段的垂直平分线上．
直线是线段的垂直平分线，．

【解析】见答案
24.【答案】【小题】
【小题】
当顶角为时，另外两个角分别是，；
当底角为时，另外两个角分别是，．

【解析】 略
见答案
25.【答案】证明：，

又，
．
解：如图所示．
延长至点，使，连接．
点为的中点，
四边形是平行四边形，
，．
，
垂直平分，

由，得，
又，
，
在和中，

，
．
又，
，
，
，
，
又，
．
，，，
，
又，
，
，
，
．

【解析】根据等边对等角得到，进而得到再根据等角对等边即可得到结论；
根据题意补图即可；
延长至点，使，连接，则四边形是平行四边形，然后推导，得到，然后得到，即可得到结论．
本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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