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17.2 直角三角形冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数学老师利用刻度直尺单位：测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度和，点为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是( )
A. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 三角形的中位线等于第三边的一半
D. 以上都不正确
2.如图，在中，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
3.直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是( )
A. B. C. D. 或
4.在中，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，的平分线交于点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，是斜边的中点，作于点，于点，连接若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，，是高，若，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，、分别是、的垂直平分线，，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是( )
A. B. C. D.
12.如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，是边上的中线已知，，则的长为 ．
14.如图，在中，，是边上的中线，若，则 ．
15.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，之间的距离是 ．
16.如图，在正方形中，，点为正方形内一点，且，连接，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知：中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点求证：．
18.本小题分
中，，，，解这个直角三角形．
19.本小题分
如图，在中，，，于点，若，求的长．
20.本小题分
直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角．
21.本小题分
如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点．
若，，求线段的长；
求证：．
22.本小题分
如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，求的度数．
23.本小题分
如图，在中，，是斜边上的中线，，求直角边的长．
24.本小题分
课本再现
我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图，在中，，若点是斜边的中点，则．
定理证明
请完成这个定理的证明．
拓展应用
如图，已知，点、分别为、的中点，，求的长．
25.本小题分
如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由图可得，，，
点为线段的中点，
，
故选：．
根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长．
本题考查三角形的中位线定理，含角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，
，，
，
，
．
故选：．
根据直角三角形根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
3.【答案】
【解析】解：设另一个锐角的度数为，
则，
解得：，
它的另一个锐角是，
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程即可得到答案．
本题考查的是含度角的直角三角形，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：在中，，
则，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质得到，根据题意计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
由三角形内角和定理可得，又平分，则，通过直角三角形性质可得，最后通过等角对等边即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，掌握知识点的应用是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，
阴影部分的面积为．
故选：．
求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可．
本题考查扇形面积的计算、含度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，
于点，于点，，
四边形是矩形，
，
，，，
，
是的中点，
．
．
故选：．
连接，判定四边形是矩形，推出，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，因此．
本题考查直角三角形斜边的中线，矩形的判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形是矩形，由直角三角形斜边中线的性质得到．
8.【答案】
【解析】解：，，，
，，
又，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据三角形的内角和定理求出，然后根据含角的直角三角形的性质求出、的长度，即可求解．
本题考查了含角的直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是求出．
由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【解答】
解：四边形为菱形，
，，
为直角三角形．
，点为线段的中点，
．
．
故选C．
10.【答案】
【解析】解：连接，，
，，
，
，分别是，的垂直平分线，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
或，
所以，，
则直角三角形两直角边分别为、，
所以斜边，
所以该直角三角形斜边上的中线长．
故选：．
先利用提公因式法解方程得到直角三角形两直角边分别为、，再利用勾股定理计算出斜边，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
本题考查了解一元二次方程提公因式法，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
12.【答案】
【解析】解：过点作，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
故选：．
过点作，如图所示，先由等腰三角形三线合一的性质可知，，，再由含的直角三角形性质求出，数形结合表示出求解即可得到答案．
本题考查求线段长，涉及等腰三角形性质、含的直角三角形性质等知识，熟记等腰三角形性质、含的直角三角形性质是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：在中，，
，
是边上的中线
．
故答案为：．
根据勾股定理求得，由斜边上中线等于斜边一半求得．
本题考查勾股定理，直角三角形性质，由相关定理得出线段间数量关系是解题的关键．
14.【答案】
【解析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求解．
【详解】解：，是边上的中线且，
．
故答案为：
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
当，，三点共线时，的值最小为；
故答案为：．
取的中点，连接，，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，求出最小值即可．
本题考查斜边上的中线，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17.【答案】证明：，是斜边上的中线，
，
．
于点，
，
，
又中，，
．
，
∽，
，
．
【解析】证明∽，根据相似三角形的性质可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，熟记定理是解题的关键．
18.【答案】，，．
【解析】解：，，
．
，，
即，，
，．
先求，利用直角三角形的边角间关系再求另一直角边和斜边．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，
，
，
．
利用直角三角形的性质求出和长即可．
本题主要考查了直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
20.【答案】，；相等的锐角有：，
【解析】解：在中，，
，
，
；
在中，
，即，
，
，
；
在中，，即，
，
，
；
相等的锐角有：，．
直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可．
本题主要考查直角三角形两锐角互余，掌握其相关知识点是解题的关键．
21.【答案】解：，，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
；
证明：将绕点顺时针旋转得到，
，
又，
，
．
【解析】由直角三角形的性质及勾股定理求出和的长，由旋转的性质得出，由勾股定理可得出答案；
由旋转的性质得出，证出，则可得出．
本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】【解】因为，， 所以 因为，与关于直线对称， 所以 因为， 所以．
【解析】略
23.【答案】解：在中，是斜边上的中线，
，
由勾股定理得，．
【解析】根据直角三角形斜边上的中线求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
24.【答案】见解析；
．
【解析】如图，延长到使得，连接，，

为中点，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
；
连接、，

点是的中点，，
，
由题意可得：，，
．
延长到使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证；
连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解；
本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
25.【答案】解：由题意得：，，
又，
，
．
【解析】由旋转的性质可得，，由余角的性质可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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