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17.3勾股定理冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在单位长度为的正方形网格中，各三角形的顶点都在格点上，下面的三角形是直角三角形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，那么的正切值是
A. ； B. ； C. ； D.
3.如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知：如图，在中，于点，，，，，下列结论中，正确的是( )
当时，则．
当时，则．
当时，则．
当时，则．
A. B. C. D.
5.如图，在的正方形网格中，的度数是
A. B. C. D.
6.如图，在的正方形网格中，的度数是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为( )
A. B. C. D.
8.一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了( )
A. B. C. D.
9.下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点，顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为( )
A. B. C. D.
11.如图，的三边，过内一点向三边作垂线，垂足分别为、、，且，则的长是( )
A. B. C. D.
12.如图所示，在中，，，点从点出发沿以的速度移动，点从点出发沿以的速度移动，如果，分别从，两点同时出发，当它们相距时所需的时间为( )
A. B. C. D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在以下网格中，小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则的度数为_________．
14.如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ．
15.如图，在“”的正方形网格中，的度数为 ．
16.如图，点在中，，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，求证：．
18.本小题分
如图，在四边形中，，，，且，试求的度数．
19.本小题分
如图，中，是上的一点，若，，，，求的周长．
20.本小题分
如图，内有一点，已知，，，，求图中阴影部分的面积．
21.本小题分
如果我们称正方形网格中的交点为格点如图，已知，两个格点．
在图中找出两个格点，使得是以为腰的等腰三角形，并画出点；
在图中找到一个格点，并画出，使得是等腰直角三角形，若每个小正方形的边长为，求的面积．
22.本小题分
如图，的顶点都在正方形网格的格点上，若每个小方格的边长均为，试判断的形状，并说明理由．
在图的网格中画出边长分别为的格点三角形顶点均在网格格点上的三角形称为格点三角形
23.本小题分
在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是，如图所示，点，，都在格点上，求的度数．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，求：
点的坐标；
的值．
25.本小题分
消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高某次任务中，消防车在处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达处使消防员从高的处救人，求消防车从处向着火的楼房靠近的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【解答】
解：、三角形的三边为，，，而，所以这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，，而，所以这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，，而，所以这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，，，而，所以这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：如图，连接
，，，
，，
，
为直角三角形，
，
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键 连接，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：设每个小正方形的边长为连结，如图，
，，，
，
是直角三角形，且，
，，
所以，
故选D．
4.【答案】
【解析】解：当时，则，说法正确；
当时，则，原说法错误；
当时，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，说法正确；
当时，则，说法正确；
故选：．
根据勾股定理的逆定理得出进而利用勾股定理判断解答．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
连接，设小正方形的边长为，根据勾股定理求出、、长度的平方，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再求出答案即可．
【解答】
解：连接，设小正方形的边长为，
由勾股定理得：，，，
，，
是直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接，设小正方形的边长为，
由勾股定理得：，，，
，，
是直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设，则，
在中，，
即，
解得，
故选：．
在中，由，得到，即可求解．
本题考查的是翻折变换折叠问题，明确是本题解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键．
根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据勾股定理求解．
【解答】
解：如图，
在中，，
，
下滑，
，
在中，，，
，
．
9.【答案】
【解析】解：、，故不是直角三角形，故本选项错误；
B、，故不是直角三角形，故本选项错误；
C、，故是直角三角形，故本选项正确；
D、，故不是直角三角形，故本选项错误．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
10.【答案】
【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键：由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，
，，，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
11.【答案】
【解析】连接，设，则，，利用勾股定理分别列出三个方程，化简可得，从而得出，进而得出答案．
【详解】解：连接，
设，
则，，
由勾股定理得，
，
同理得，，
，
得，
，
化简得，，
，
，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设运动时间为时，，则，，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：设运动时间为时，，则，，
根据题意得：，
解得：，．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，，，
，即，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
连接，利用勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．
【解答】
解：如图，连接．
，，，
，
又，，
，
是直角三角形，，
这块地的面积的面积的面积．
故答案为：．
15.【答案】
度
【解析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可．
【详解】解：标注格点，连接，，
由网格特点可得：，
，
由勾股定理可得：
，，，
，，
，，
，
，
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面积解答本题的关键是求出的长．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，然后求出和的面积，即可解答．
【解答】
解：，，，
，
，，
，
，
，
是直角三角形，，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为．
17.【答案】证明：四边形为正方形，
，．
设，
是的中点，且，
，，
在中，由勾股定理可得，
同理可得：，，
，
为直角三角形，
．
【解析】本题主要考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
设正方形的边长为，先依据勾股定理求得、、的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形即可．
18.【答案】连接在中，，，
在中，，，
，，
．

【解析】略
19.【答案】解：，
是直角三角形，
，
在中，，
三角形的周长为：，
因此的周长为．
答：的周长是．
【解析】根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，即可得出答案．
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形．
20.【答案】解：由勾股定理得，即，
在中，，
是直角，

【解析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，从而求出阴影部分的面积．
此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是判断出为直角三角形．
21.【答案】解：如图，点和即为所求答案不唯一．
如图，和均满足题意．
由勾股定理得，，，
的面积为，
的面积为．
的面积为或．
【解析】根据等腰三角形的判定确定点的位置即可．
根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可；利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】是直角三角形，理由如下：
，，，
，
是直角三角形；
如图，

【解析】是直角三角形，理由如下：
，，，
，
是直角三角形；
如图，．
先利用勾股定理分别求出，，的长，然后利用勾股定理的逆定理求解即可；
根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23.【答案】解：连接，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定和性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
24.【答案】【小题】
解：如图，过点作，垂足为 在中，，，点的坐标为．
【小题】
由题意，得，， 在中，由勾股定理得 ．

【解析】 略
略
25.【答案】解：由题意，得，，，，三点在同一直线上．，， 在中，由勾股定理，得 在中，由勾股定理，得 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为．
【解析】略
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