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12.4 分式方程冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若关于的分式方程有正数解，求的取值范围．甲解得的答案是，乙解得的答案是，则下列结论正确的是( )
A. 只有甲答案正确 B. 只有乙答案正确
C. 甲、乙答案合在一起才正确 D. 甲、乙答案合在一起也不正确
2.已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是( )
A. B. 且
C. 且 D. 且
3.已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是( )
A. B. 且
C. D. 且
4.若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )
A. B. C. D.
5.已知关于的分式方程无解，则的值是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
6.关于的分式方程有增根，则的值( )
A. B. C. D.
7.分式方程的解是( )
A. B. C. D.
8.分式方程的解为( )
A. B. C. 无解 D.
9.关于的方程有增根，那么的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
10.若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是( )
A. B. C. D.
11.对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：则方程的解是( )
A. B. C. D.
12.若整数使关于的不等式组，有且只有个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于的分式方程有增根，则______．
14.定义新运算：，例如，则方程的解为 ．
15.关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是______．
16.方程的解为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
定义新运算：对于任意实数，都有等式右边是通常的加、减、除运算，比如：．
求的值；
若，求的值．
18.本小题分
新定义：为函数为实数，且的关联数，若关联数所对应的函数是正比例函数，求关于的方程的解．
19.本小题分
已知：，．
当时，判断与的关系，并说明理由；
设．
当时，求的值；
若是整数，求的正整数值．
20.本小题分
已知关于的分式方程．
若，求分式方程的根；
若分式方程的根为正数，求的取值范围．
21.本小题分
某商场购进甲、乙两种商品共箱，全部售完后，甲商品共盈利元，乙商品共盈利元，甲商品比乙商品每箱多盈利元．
求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出箱如调整价格，每降价元，平均每天可多卖出箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
已知关于的分式方程．
若解得方程有增根，且增根为，求的值．
若方程无解，求的值．
23.本小题分
解答下列各题．
解方程：．
先化简，再求值：，
其中．
24.本小题分
若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，求符合条件的所有整数的和．
25.本小题分
先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
观察上述方程的解，猜想方程的解是 ；
根据上面的规律，猜想方程的解是 ；
知识拓展：根据上述规律，解方程：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】【分析】
表示出分式方程的解，根据解为正数确定出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．
【解答】
解：分式方程，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到，且，
解得：且．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，解分式方程，得：，
，
，即，解得：，
，
，解得：，
综上，的取值范围是且，
故选：．
先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于，综合得出的取值范围．
本题考查分式方程的解和解一元一次不等式，需要注意分式方程的解要使得分母不为．
4.【答案】
【解析】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且只有四个整数解，得到，
解得：，即整数，，，，
，
分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到为，，，之和为．
故选：．
表示出不等式组的解集，由不等式有且只有个整数解确定出的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数的值，进而求出之和．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．
此题考查了分式方程无解问题，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解．
【解答】
解：两边都乘以，得：，
整理，得：，
解得，
当，即时整式方程无解，即分式方程无解，
关于的分式方程无解，
或，
即，解得．
的值是或．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出的值即可．
【解答】
解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论是解题的关键．
将分式方程转化为整式方程，求出的值，检验即可得出答案．
【解答】
解：，
方程两边都乘得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：去分母得：，
整理得：
解得：，
检验：把代入，
所以分式方程的无解．
故选：．
分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
9.【答案】
【解析】解：分式方程去分母得：，
分式方程有增根，
，即或，
把代入整式方程得：，此时；
把代入整式方程得：，此时，
则的值为或．
故选：．
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
由分式方程有增根，得到最简公分母为，求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值．
10.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
，
；
分式方程两边都乘得：，
解得：，
方程的解是正整数，
，
；
，
，
，
，且，
能使是正整数的是：，，，，
和为，
故选：．
解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式，求出的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得的范围；检验分式方程，列出不等式，求得的范围；综上所述，得到的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数的值，求和即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，注意解分式方程一定要检验．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解分式方程，实数运算的新定义，掌握好新定义的运算是解题的关键．
将原式可化为，解得即可．
【解答】
解：根据新运算可知，原式可化为，
解得．
经检验，是原方程的解，
故选B．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是确定一元一次不等式组的整数解．
解不等式组，得，根据不等式组有且只有个整数解，可得，根据关于的方程的解为非正数，可得结论．
【解答】
解：解不等式组，得
，
不等式组有且只有个整数解，
，
解得，
因为关于的方程的解为非正数，
，，
，
解得，
，，
则的值为：或．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：去分母得：，整理得：，
关于的分式方程有增根，即，
，
把代入到中得：，
解得：；
故答案为：．
先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．
本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：化分式方程为整式方程；让最简公分母等于零求出增根的值；把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】且
【解析】解：方程两边同乘，得
，
解得，，
，
，
由题意得，，
解得，，
的取值范围是且．
故答案为：且．
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：方程两边同时乘以得：
，
解得，
检验：时，，
方程的解为．
故答案为：．
先将分式化为整式，然后求解并检验．
本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况．
17.【答案】【小题】
解： ；
【小题】
由，得，解得．
经检验，是原方程的解．

【解析】 略
略
18.【答案】解：为函数为实数，且的关联数，关联数所对应的函数是，该函数为正比例函数，，解得，原方程为， 解得， 经检验，是分式方程的解．分式方程的解为．
【解析】略
19.【答案】解：当时，．
理由如下：，
，
，，
，
．
依题意，得，
当即时，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则当时，的值是．
．
，是整数，
是整数，
可以取，．
当，即时，；
当时，即时，舍去；
当时，即时，；
当时，即时，；
综上所述，当为整数时，的正整数值是或或．
【解析】先求出的值，再根据当，得出，，从而得出；
先求出的值，再把代入进行计算，即可求出的值；
先求出的值，再根据，是整数，得出的取值，然后进行讨论，即可得出的正整数值．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出的值和的值是解题的关键．
20.【答案】【小题】
解：原方程的根为；
【小题】
整理原方程，得，即，解得，
，，即，，
分式方程的根为正数，，，
的取值范围为且．

【解析】 略
略
21.【答案】解：设甲种商品每箱盈利元，则乙种商品每箱盈利元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或舍去，
经检验，是原分式方程的解，符合实际，
元，
答：甲种商品每箱盈利元，则乙种商品每箱盈利元；
设甲种商品降价元，则每天可多卖出箱，利润为元，
由题意得：，
，开口向下，
当时，二次函数有最大值，最大值是元，
答：当降价元时，该商场利润最大，最大利润是元．
【解析】设甲种商品每箱盈利元，则乙种商品每箱盈利元，根据题意列出方程，解方程即可，分式方程注意验根；
设甲种商品降价元，则每天可多卖出箱，利润为元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
本题考查二次函数的应用和分式方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式．
22.【答案】解：去分母，得，
整理，得，
将代入，
解得；
方程无解，
当时，；
将代入，
解得，
当时，，
满足条件的的值有或或．
【解析】【分析】
先去分母，整理得，
根据方程有增根，且增根为，求解即可；
根据方程无解，分情况讨论：当，，分别求解即可．
本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
23.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
，
当时，原式．
【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
先计算分式的乘法，再算加减，有括号先算括号里，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24.【答案】解：分式方程的两边都乘，得，解得．
，，．
关于的分式方程的解为正数，，且．
解不等式得，解不等式得．
不等式组的解集为，，且．
符合条件的所有整数的和为．

【解析】略
25.【答案】【小题】
，
【小题】
，
【小题】
原方程可变形为由上述规律，得或解得，．

【解析】 略
略
略
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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