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12.5分式方程的应用冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某工程队在环山路改造一条长米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充为( )
A. 每天比原计划多铺设米，结果提前天完成
B. 每天比原计划少铺设米，结果延迟天完成
C. 每天比原计划多铺设米．结果延迟天完成
D. 每天比原计划少铺设米，结果提前天完成
2.数书九章是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从，两地同时出发，相向而行，，两地相距里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为里时若相遇时乙船行驶了里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里时，能列出的方程为( )
A. B.
C. D.
3.樱桃西红柿，也被称为圣女果，是番茄的一个品种，因其口感清甜，营养价值高而受到人们的喜爱某超市用元购进樱桃西红柿，面市后供不应求，该超市又用元购进第二批这种西红柿，所购质量是第一批质量的倍，但每千克的进货价降了元设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为元，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
4.科技创新是发展新质生产力的核心要素某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配辆汽车，现在装配辆汽车所需的时间与技术升级前装配辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是( )
A. B. C. D.
5.某商场分两次购进应季服装，第一次花费元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完第二次花费比第一次多了元购进服装，且第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了元设第一批服装的单价是元，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6.我市南关新村网红街某商店用元购进了一批胶囊遮阳伞，这种伞颜值高，防晒效果好，购进后很快就销售一空而对即将到来的国庆小长假，大家对小遮阳伞的需求量增大该商店瞄准商机，又用元购进了第二批这款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了求第一批每把胶囊遮阳伞的进价设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是元，依题意可得到的方程是( )
A. B.
C. D.
7.下图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
甲、乙两个工程队，甲队修路米与乙队修路米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修米，求甲队每天修路的长度． 嘉嘉： 淇淇：
下列判断正确的是
A. 嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度 B. 淇淇设的未知量是乙队每天修路的长度
C. 甲队每天修路的长度是米 D. 乙队每天修路的长度是米
8.南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种株，结果提前小时完成任务设原计划每小时种株，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
9.小王乘坐城际公交车从甲地到相距千米的乙地办事，然后乘顺风车返回，顺风车的平均速度比公交车快千米时，回来时路上所花时间比去时节省了设公交车的平均速度为千米时，则下面列出的方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价元销售．细心的小夏发现，降价后用元可以比降价前多购买袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是( )
A. B.
C. D.
11.某工程队修一条米的高速匝道，开工后，每天比原计划多修米，结果提前天完成任务，若设原计划每天修米，那么下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
12.为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”某企业抓住机遇投资万元购买并投放一批型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放型观光车，型观光车的投放数量与型观光车的投放数量相同，投资总费用减少，其中型观光车的单价比型观光车的单价少元，则型观光车的单价是多少元？设型观光车的单价为元，根据题意列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植株花苗所用时间是乙种植棵花苗所用时间的倍，求甲乙两人每小时各种植多少棵花苗？设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用““表示的缺失的条件应为 ， ．
14.科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是______．
15.如图，某公司有两种型号的机械手臂，甲型号机械手臂比乙型号机械手臂每小时多生产个产品，甲型号机械手臂生产个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产个品所用的时间相同，则甲型号机械手臂每小时生产 个产品．
16.周末，王芳和李华相约去图书馆看书王芳家距离图书馆千米李华家距离图书馆千米王芳骑自行车前往李华坐公交车前往，李华坐公交车的平均速度是王芳骑自行车平均速度的两倍，他们同时出发，且李华比王芳先分钟到达图书馆设王芳的速度为千米小时，则可列方程： ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的倍少元，用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍．
足球和篮球的单价各是多少元？
根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，则学校最多可以购买多少个篮球？
18.本小题分
哪吒魔童闹海票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用元购买款哪吒玩偶的个数与用元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多元．
，款哪吒玩偶每个各多少元？
试营业时计划购买，款哪吒玩偶共个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？
19.本小题分
某危险品化工厂采用甲、乙两种机器人代替人工搬运产品甲机器人比乙机器人每小时少搬运产品，甲机器人搬运产品所用的时间与乙机器人搬运产品所用的时间相同，乙机器人每小时搬运多少千克产品？
下面是孙丽和王宁两位同学根据所设的未知数而列出的方程，其中有一个是错误的，错误的是：______同学的，改为正确的方程是______；
孙丽同学：设乙机器人每小时搬运产品根据题意，得．
王宁同学：设乙机器人搬运产品所用的时间为小时根据题意，得．
在的条件下，请从孙丽和王宁两位同学所列的方程中选择一个进行求解，并写出完整的解答过程．
20.本小题分
为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了型自动分拣流水线，一条型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是名工人每小时分拣包裹量的倍用一条型自动分拣流水线分拣件包裹比名工人分拣同样数量的包裹少用小时．
一条型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
暑期将至，地转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，现准备购买型自动分拣流水线进行小时作业，若包裹完全靠型自动分拣流水线分拣，则至少应购买多少条？
21.本小题分
红星中学为学生开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的菜苗比在菜苗基地购买的少捆．
菜苗基地每捆菜苗的价格是多少元？
从学校到菜苗基地有，而市场就在红星中学旁边，去菜苗基地购买菜苗往返的路费是元，拉上菜苗返回时的保鲜费为元，而从市场购买不需要任何额外费用红星中学开辟了亩耕种园，每亩需要菜苗捆请通过计算说明学校应该去菜苗基地还是市场更合算．
22.本小题分
琅琊古城是一座以琅琊文化为主题的仿古建筑群，承载着临沂的历史记忆和文化传统，吸引着国内外众多游客来此观光游玩，领略琅琊文化其门票分为成人票和儿童票春节将至，为了增进亲子关系，小明同学建议古城推出亲子票即一张成人票和一张儿童票捆绑销售，亲子票价格更优惠如果现将总价值为元的成人票和总价值为元的儿童票捆绑成亲子票销售因成人票和儿童票数量不相等，部分无法捆绑的票，按原价销售，亲子票和无法捆绑的票全部售出后总收入为元若亲子票的价格比成人票贵元，比儿童票贵元，试求三种门票的单价各为多少？
23.本小题分
随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入、两种智能机器人执行还书任务，型机器人比型机器人每小时多还书本，型机器人还本书所用的时间与型机器人还本书所用的时间相等．
、两种机器人每小时分别还多少本书？
图书馆现有本书需要通过还书机器人归还书库，共同还书小时后，型机器人因另有任务而退出，求型机器人退出后，型机器人还需还书多少小时才能还完这些书？
24.本小题分
某市正在修建地铁线路，该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机进行挖掘在挖掘某段长米的特殊路段时，盾构机的工作效率仅能达到挖掘正常路段的，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了天若挖掘正常路段，盾构机每天能掘进多少米？
25.本小题分
某厂家生产甲、乙两种电动汽车零部件，已知甲种零部件每件的成本比乙种零部件每件的成本多元，且投入元生产甲种零部件的件数和投入元生产乙种零部件的件数相同；
求甲、乙两种零部件每件成本各是多少元？
如果两种零部件共生产件，该厂家至少要投入元，那么，甲种零部件至少生产多少件？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设实际每天改造人行道米，则可得方程，
根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充“每天比原计划多铺设米，结果提前天完成”，
故选：．
根据题意和题目中的方程，可以写出“”表示的缺失的条件．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容．
2.【答案】
【解析】解：根据题意得：
．
故选：．
设乙船在静水中的速度为里时，则甲船在静水中的速度为里时，根据相遇时乙船行驶了里，可得乙船的航行时间为小时，甲船的航行时间为小时，即可得出关于的分式方程．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：设第一批樱桃西红柿每千克的进货价为元，根据题意可列方程为，
故选：．
设第一批西红柿的进货单价为元，则西红柿的进货单价是元，根据第二批所购数量是第一批购进数量的倍，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是关键．
4.【答案】
【解析】解：设技术升级前每天装配辆汽车，则现在平均每天装配辆汽车，
依题意，得．
故选：．
根据工作时间工作总量工作效率，结合“现在装配辆汽车所需的时间与技术升级前装配辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设第一批服装的单价是元，则第二批服装的单价是元．
依题意得，，即，
故选：．
根据服装的数量关系列分式方程为，然后判断作答即可．
本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：依题意可得：．
故选：．
设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是元，根据“用元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了”列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
根据两人的方程思路，可得出：表示甲队每天修路的长度；表示甲队修路米所需时间或乙队修路米所需时间；即可求解．
【解答】
解：淇淇是根据时间相等列出的分式方程，
表示甲队每天修路的长度；
嘉嘉是根据乙队每天比甲队多修米列出的分式方程，
表示甲队修路米所需时间或乙队修路米所需时间，
经检验是方程的解，
则甲队每天修路的长度是米，乙队每天修路的长度是米
则C正确，其余错误
故选：
8.【答案】
【解析】解：设原计划每小时种株，
根据题意得，．
故选：．
设原计划每小时种株，则实际每小时种株，根据前小时完成任务．列出分式方程即可．
本题考查从实际问题抽象出分式方程，找出等量关系是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：依题意得，
故选：．
根据题意得到回来时的速度为千米时，根据时间等于路程除以速度即可列出方程．
本题考查分式方程的实际应用．理解题意是关键．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】解：根据题意可得：
，
故选：．
设原计划每天修米，则实际每天修米，由题意可得等量关系：原计划所用时间实际所用时间，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是关键．
12.【答案】
【解析】解：设型单车每辆车的价格为元，则设型单车每辆车的价格为元，
由题意得，，
故选：．
设型单车每辆车的价格为元，则型单车每辆车的价格为元，再根据型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，理解题意是关键．
13.【答案】两人每小时共种植颗花苗

【解析】解：根据方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗的和为，
故应该加上：两人每小时共种植颗花苗；
解分式方程：，
解得，
线检验是原方程的解，
故答案为：两人每小时共种植颗花苗；．
根据方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗的和为，因此可补上缺失的条件．
本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键．
14.【答案】
【解析】解：设一片槐树叶一年平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年平均滞尘量为，
由题意得：．
故答案为：．
根据一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同，列方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，列出方程．
15.【答案】
【解析】解：设甲型号机械手臂每小时生产个产品，则乙型号机械手臂每小时生产个产品，
依题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则甲型号机械手臂每小时生产个产品．
故答案为：．
设甲型号机械手臂每小时生产个产品，则乙型号机械手臂每小时生产个产品，根据工作时间工作总量工作效率，结合“甲型号机械手臂生产个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产个产品所用的时间相同”列出分式方程，解之即可求解．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
故答案为：．
设王芳的速度为千米小时，则李华的速度为千米小时，根据“他们同时出发，且李华比王芳先分钟到达图书馆”列出分式方程即可．
本题考查了由实际问题列分式方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
17.【答案】足球的单价是元，篮球的单价是元；
最学校最多可以购买个篮球
【解析】设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是元，篮球的单价是元；
设购买个足球，则购买个篮球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
答：最学校最多可以购买个篮球．
设足球的单价是元，则篮球的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入中，即可求出篮球的单价；
设购买个足球，则购买个篮球，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18.【答案】A、款哪吒玩偶每个各元和元；
购买款哪吒玩偶个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是元．
【解析】设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
元，
、款哪吒玩偶每个各元和元；
设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个，
依题意得：，
解得，
，且为正整数．
根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用，
，
随的增大而减小，
，且为正整数，
当时，取最小值，此时，
即购买款哪吒玩偶个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是元．
设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元．根据用元购买款哪吒玩偶的个数与用元购买款哪吒玩偶个数相等为等量关系列出分式方程的解即可得出答案．
设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个，根据其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的列出不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的一用以及一次函数的实际应用．
19.【答案】孙丽，；
若选择孙丽，
设乙机器人每小时搬运产品．
，
解得：，
经检验：是原方程的解；
答：乙机器人每小时搬运产品．
若选择王宁，
设乙机器人搬运产品所用的时间为小时．
，
解得：，
经检验：是原方程的解；
；
答：乙机器人每小时搬运产品
【解析】错误的是孙丽同学，正确的方程是；
故答案为孙丽，；
若选择孙丽，
设乙机器人每小时搬运产品．
，
，
经检验：是原方程的解；
答：乙机器人每小时搬运产品．
若选择王宁，
设乙机器人搬运产品所用的时间为小时．
，
解得：，
经检验：是原方程的解；
；
答：乙机器人每小时搬运产品．
根据孙丽同学所设未知数及结合题意可进行求解；
根据题意结合孙丽与王宁两位同学的解答过程可进行求解
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意．
20.【答案】解：设名工人每小时分拣件包裹，则一条型自动分拣流水线每小时分拣件包裹，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一条型自动分拣流水线每小时能分拣件包裹；
设应购买条型自动分拣流水线，
依题意得：，
解得：，
答：至少应购买条．
【解析】设名工人每小时分拣件包裹，则一条型自动分拣流水线每小时分拣件包裹，根据用一条型自动分拣流水线分拣件包裹比名工人分拣同样数量的包裹少用小时．列出分式方程，解方程即可；
设应购买条型自动分拣流水线，根据地转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】；
市场购买合算
【解析】设菜苗基地每捆菜苗的价格是元，则：
，
解得：，
经检验是原分式方程的根．
答：菜苗基地每捆菜苗的价格是元．
市场价：元，
市场费用：元，
基地费用：元，所以在市场购买合算．
设菜苗基地每捆菜苗的价格是元，根据用元在市场上购买的菜苗比在菜苗基地购买的少捆，列方程即可解答；
先算市场菜苗单价，再分别计算市场购买总费用、基地购买总费用，比较两者大小判断哪种合算．
本题考查分式方程与费用方案的实际应用，解题关键是通过设未知数列分式方程求基地菜苗价格，再分别计算两种采购方式费用比较．
22.【答案】亲子票的价格为元，成人票价格为元，儿童票价格为元．
【解析】解：设亲子票的价格为元，则成人票的价格为元，儿童票的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
，
答：亲子票的价格为元，成人票的价格为元，儿童票的价格为元．
设亲子票的价格为元，则成人票的价格为元，儿童票的价格为元，根据亲子票和无法捆绑的票全部售出后总收入为元，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】型机器人每小时还书本，型机器人每小时还书本；
小时
【解析】设型机器人每小时还书本，
，
，
经检验，为原方程的解，且符合题意，
则，
型机器人每小时还书本，型机器人每小时还书本．
设型机器人还需还书小时，
，
，
型机器人还需还书小时．
设型机器人每小时还书本，则型机器人每小时还书本．根据“型机器人还本书所用的时间与型机器人还本书所用的时间相等”列分式方程，解方程即可；
设型机器人还需还书小时，根据“、共同还书小时，单独还书小时，共还本”列一元一次方程，解方程即可．
本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
24.【答案】米．
【解析】解：设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米，
则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进米．
由题意得，
故，
即．
．
经检验，是原分式方程的解，且符合题目要求．
答：挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米．
根据设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米，则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进米，结合“在挖掘某段长米的特殊路段时，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了天”，进行列分式方程，再解得，最后验根，即可作答．
本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】解：设乙种零部件每件成本是元，则甲种零部件每件成本是元，
，
，
经检验：是分式方程得解，
，
答：甲的成本是元，乙的成本是元；
设甲种零部件生产了件，
，
，
答：甲种零部件至少生产件．
【解析】设乙种零部件每件成本是元，则甲种零部件每件成本是元，根据题意列出方程，即可求解；
设甲种零部件生产了件，根据题意列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等关系．
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