资源简介

第五章《直角三角形》提升卷—湘教版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（　　）
A．AC=A′C′，∠B=∠B′
B．∠A=∠A′，∠B=∠B′
C．AB=A′B′，AC=A′C′
D．AB=A′B′，∠A=∠A′
2．（2024八上·老河口期末）直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为（　　）
A． B．
C． D． 或
3．（2019八上·宝鸡月考）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
4．（2024八上·鄞州期末）如图，已知平分，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，则的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025八上·红花岗期末）如图，在中，，且三点共线，点是线段上任意一点，连接，则的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
6．（2025八上·射洪期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点O、与相交于点P．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·长沙期末）如图，在A村与村之间有一座大山，原来从A村到村，需沿道路（）绕过村庄间的大山，打通A，间的隧道后，就可直接从A村到村．已知，，那么打通隧道后从A村到村比原来减少的路程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·慈溪期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
9．（2025八上·诸暨期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·道县期末）如图，在中，平分交于点，作，，垂足分别为、，若，则下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11．（2023八上·苍溪期末）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为　 　°.
12．（2024八上·广东期末）如图，在中，，，是高，若，则　 　．
13．（2023八上·福州期末）如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，，，若，则　 　.
14．（2024八上·义乌期末）如图，在的网格中，　 　．
15．（2024八上·鄞州期末）如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移　 　米．
16．（2024八上·宁乡市期末）如图，是直线上一点，，平分，交于点，，于点，则　 　．
17．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是　 　。
18．（2024八上·瓯海期末）如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2024八上·镇海区期末）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：
（1）在图①中画出，使三个顶点均在格点上且；
（2）在图②中画出，使三个顶点均在格点上且；
（3）在图③中画出，使三个顶点均在格点上且．
20．（2024八上·浙江期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，，连接．
（1）求证：；
（2）已知，求的面积．
21．（2024八上·吴兴期末）如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，求证：．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论-- 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
22．（2021八上·高州月考）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
23．（2024八上·红花岗期末）在中，平分交于．
（1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：；
（2）如图2，若，，，，，求四边形的周长．
24．（2024八上·上城期末）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点，
（1）若，求度数；
（2）若．
①求证：；
②设，求的长（用含的代数式表示）．
25．（2024八上·禅城期末）赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理．弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．
（1）“勾股定理”用文字叙述是__________________；
（2）类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的是等边三角形．点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为2，求的面积；
（3）在长方形内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”（如图3），其中点M、N、P、Q分别在长方形的边、、、上，当，时，求小正方形的边的长度；
26．（2025八上·嵊州期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究．
【情景再现】
已知，如图1，在和中，，，．
下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程．
证明：如图1，延长至D，使，连接．
因为（已知），，
所以
所以（全等三角形的对应边相等）．
…
所以
所以
【实践解决】
（1）请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整；
（2）小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长；
（3）小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定△ABC≌△A′B′C′．故本选项不符合题意；
B、根据AAA不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项符合题意；
C、根据全等三角形的判定定理SAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；
D、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；
故选B．
【分析】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，HL等逐一检验．
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AE、BD分别平分∠CAB、∠CBA，
∴∠EAB+∠DBA=∠BAC+∠ABC=(∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠AOB=180°-（∠EAB+∠DBA）=135°，
即直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为135°.
故答案为：B.
【分析】利用直角三角形两锐角互余及角平分线的定义可得∠EAB+∠DBA=45°，再利用三角形内角和定理求出∠AOB的度数即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】此题应分两种情况说明：
（ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
=，
解得BD=9
在Rt△ACD中，
解得CD=5.
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=9，
在Rt△ACD中，CD=5，
∴BC=9-5=4.
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
综上所述，△ABC的周长是42或32.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=14，即可求出△ABC的周长 .②当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=4，即可求出△ABC的周长 .
4．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∵点M是的中点，
∴．
故答案为：D。
【分析】本题首先根据角平分线上的点到线段两边的距离相等，得出；30度角对应的直角边等于斜边的一半，得出，最后得出．
5．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴ ，
∵，
∴，，，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：C．
【分析】连接，根据30度角的直角三角形的性质可得，然后推理证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系的应用解题．
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形、为正方形，
，，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据等腰直角三角形可得出，，，，，即可得到，利用得到，即可得到，再根据勾股定理得到解题即可．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ，，，
∴，
∴，
即打通隧道后从A村到村比原来减少的路程为4km。
故答案为：C。
【分析】由勾股定理求出AB=10km，再求出。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
解：，，，，∴由勾股定理得，
∵将沿翻折，使得点C与点B重合．
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】由勾股定理可知，由翻转的性质知、、，则在中求DE长，需知道BD长，又中，，再次利用勾股定理即可算出BD。当然也可以使用面积法来求DE，因为前面用勾股定理能算出BC与BD的长，则AD长就知道了，此时利用就可求出DE长。
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，即可得到和，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，，过点作于点，求出的面积是，即可得到解题即可．
10．【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分交于点，，，
，，故①正确，符合题意；
在和中，
，
，
，故②正确，符合题意；
，
，
，
，故③正确，符合题意；
没有的条件，
不能得到，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有：①②③，
故选：A．
【分析】根据角平分线的性质可判断①正确；根据全等三角形判定定理可得，则，②正确；根据直线平行的判定定理判断③正确；根据全等三角形判定定理可判断④错误.
11．【答案】35
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°-55°＝35°.
故答案为：35.
【分析】首先利用HL判断Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB＝∠DFE＝55°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
12．【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，∠B=30°，
是 的高，，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而求出∠ACD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出再利用BD=AB-AD即可求出BD．
13．【答案】38
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
在中，，
同理可得到：，
，
在等腰三角形中，；
故答案为：38.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EA=EB=EC=DE，根据等边对等角得∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，根据三角形外角性质得∠DEC=2∠DAE，∠BEC=2∠BAE，进而根据角的和差及等量代换求出∠DEB的度数，最后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠EBD的度数.
14．【答案】45
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：45．
【分析】连接，然后根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可得到，然后根据两直线平行，内错角相等得出，，即可得到．
15．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解；在直角中，已知， ，则，
，
在直角中，，且为斜边，
，
梯足向外移动了．
故答案为：．
【分析】
在直角三角形中，根据勾股定理求出长，即可求除长，然后在直角三角形中，利用勾股定理求得的长度，然后利用线段的和差得到的长解题．
16．【答案】5
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】过点M作MH⊥BC于点H，如图所示：
∵PO平分∠AOC，
∴∠POC=∠POM，
∵PM//BC，
∴∠MPO=∠POC，
∴∠MPO=∠POM，
∴MO=MP=10cm，
∵∠MOH=30°，∠OHM=90°，
∴MH=MO=5cm，
∵PM//BC，PD⊥BC，MH⊥BC，
∴PD=MH=5cm，
故答案为：5cm.
【分析】过点M作MH⊥BC于点H，利用角平分线的定义及平行线的性质可得∠MPO=∠POM，再利用等角对等边的性质可得MO=MP=10cm，再利用含30°角的直角三角形的性质可得MH=MO=5cm，最后求出PD=MH=5cm即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，∴△BMC和△AMB都是直角三角形，
∵H点事BC中点，∴MH=，
∵N是AB中点，∴MN=，HN=，即MN=HN，
∵的周长是 ，∴MH+HN+MN=，即2MH+2=，解得MH=，
∴AB=，
AH=.
故答案为：。
【分析】本题多次利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求出MH的长度，然后在直角三角形ABH中，利用勾股定理即可求出AH的长度。
18．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵恰好平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作于，过点作于，先求出，然后在中计算出，的值，再利用得到的值，即可根据角平分线的性质得到，，然后设，既有，然后得到，建立方程，求出BH的值，然后在中运用勾股定理求出的值解题即可．
19．【答案】（1）解：如图①，取格点，连接、，
∵每个小正方形的边长均为，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形且，
则即为所作
（2）解：如图②，取格点，连接、，
∵每个小正方形的边长均为，
∴，
则即为所作
（3）解：如图③，取格点，连接、，
∵每个小正方形的边长均为，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴不是直角三角形且，
则即为所作
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理取格点C，连接、即可；
（2）根据三角形的面积取格点D，连接、即可解题；
（3）根据等腰三角形的定义取格点，连接、即可解题．
20．【答案】（1）证明：∵是边上的高线，是边上的中线，
∴，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线性质可得，即可得到，然后利用HL得到解题；
（2）由求出，然后根据勾股定理求出长，然后根据三角形面积公式求出，再根据中线分得的两个三角形面积相等解题．
（1）证明：∵是边上的高线，是边上的中线，
∴，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴．
21．【答案】小胡的证明方法：，
，
、、、分别是、、的中点，
，，，
，
，
．
小吴的证明方法：如图，连结，
，是的中点，
，即和为直角三角形，
、分别是、的中点，
∴，，
．
小明的证明方法：如图，连结，，和交于点，
，是的中点，
是的角平分线，
、分别是、的中点，
，，
，
是边的中垂线，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质与判定.小胡的方法：根据，利用等边对等角可得，由、、、分别是、、的中点，根据中点的性质可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明；
小吴的方法：连结，根据，是的中点，利用等腰三角形的性质可得和为直角三角形，再根据、分别是、的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明；
小明的方法：连结，，和交于点，根据，是的中点，利用等腰三角形的性质可证明是的角平分线，根据中点的性质可得，进而可得是边的中垂线，利用中垂线的性质可证明．
22．【答案】（1）解：学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝ ＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）解：当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝ =50（m），
∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间。
23．【答案】（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点D作于G，得到和，即可得到，，进而得到结论；
（2）过点D作于E，得到，即可得到，然后推理得到，，根据的直角三角形的性质求出，，，，然后解题即可．
（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
24．【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
度数为；
（2）解：①证明：过点作，垂足为，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
②解：，，
，
，点是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
的长为．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线
【解析】【分析】 (1)先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C=70°，再利用等腰三角形的性质可得∠HAD=∠ADH，然后利用等量代换可得∠HAD=∠ADH=∠C=70°，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
(2)①过点H作，垂足为E，根据垂直定义可得∠BAC=∠HED=90°，然后利用AAS证明，从而可得AC=DE，再根据等腰三角形的三线合一性质可得AD=2DE，从而可得AD=2AC，即可解答；
②利用①的结论可得AD=2a，再利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，从而可得BC=DH=4a，∠C=∠CAD，进而可得∠CAD=∠ADH，然后利用内错角相等，两直线平行可得AC//DK，从而可得点K是AB的中点，进而可得DK是△ABC的中位线，再利用三角形的中位线定理可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.
25．【答案】（1）解：“勾股定理”用文字叙述是：在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方；
（2）解：如图，连接，
∵点、、分别是、、的中点，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，∵，
∴，
解得，
∴小正方形的边长为．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的概念，直接写出勾股定理即的文字叙述，即可得到答案；
（2）连接，根据点、、分别是、、的中点，得到，求得，即可求解．
（3）根据图形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，结合，，得出二元一次方程组，求得和的值，即可得到答案.
（1）“勾股定理”用文字叙述是：在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方；
（2）解：如图，连接，
∵点、、分别是、、的中点，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，
∵，
∴，
解得，
∴小正方形的边长为．
26．【答案】（1）证明：如图，延长至D，使，连接．
∵（已知），，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以；
（2）解：和都是等腰直角三角形，，，，，
即，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为3；
（3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，
，，
，，
，，
，
，
，
即，
同理，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
线段的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）延长至D，使，连接．可得，根据勾股定理得到，再根据SSS得到，解题即可；
（2）先得到，即可得到，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，然后在中运用勾股定理得到BD长解题；
（3）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，即可得到，，然后求出，即可得到，进而得到，再推理得到，根据等腰三角形的性质可得，最后根据含角的直角三角形性质和勾股定理解题即可．
（1）证明：如图，延长至D，使，连接．
∵（已知），，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以；
（2）解：和都是等腰直角三角形，，
，，，
即，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为3；
（3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，
，，
，，
，，
，
，
，
即，
同理，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
线段的长为．
1 / 1第五章《直角三角形》提升卷—湘教版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（　　）
A．AC=A′C′，∠B=∠B′
B．∠A=∠A′，∠B=∠B′
C．AB=A′B′，AC=A′C′
D．AB=A′B′，∠A=∠A′
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定△ABC≌△A′B′C′．故本选项不符合题意；
B、根据AAA不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项符合题意；
C、根据全等三角形的判定定理SAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；
D、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；
故选B．
【分析】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，HL等逐一检验．
2．（2024八上·老河口期末）直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为（　　）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AE、BD分别平分∠CAB、∠CBA，
∴∠EAB+∠DBA=∠BAC+∠ABC=(∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠AOB=180°-（∠EAB+∠DBA）=135°，
即直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为135°.
故答案为：B.
【分析】利用直角三角形两锐角互余及角平分线的定义可得∠EAB+∠DBA=45°，再利用三角形内角和定理求出∠AOB的度数即可.
3．（2019八上·宝鸡月考）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】此题应分两种情况说明：
（ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
=，
解得BD=9
在Rt△ACD中，
解得CD=5.
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=9，
在Rt△ACD中，CD=5，
∴BC=9-5=4.
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
综上所述，△ABC的周长是42或32.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=14，即可求出△ABC的周长 .②当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=4，即可求出△ABC的周长 .
4．（2024八上·鄞州期末）如图，已知平分，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，则的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∵点M是的中点，
∴．
故答案为：D。
【分析】本题首先根据角平分线上的点到线段两边的距离相等，得出；30度角对应的直角边等于斜边的一半，得出，最后得出．
5．（2025八上·红花岗期末）如图，在中，，且三点共线，点是线段上任意一点，连接，则的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴ ，
∵，
∴，，，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：C．
【分析】连接，根据30度角的直角三角形的性质可得，然后推理证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系的应用解题．
6．（2025八上·射洪期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点O、与相交于点P．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形、为正方形，
，，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据等腰直角三角形可得出，，，，，即可得到，利用得到，即可得到，再根据勾股定理得到解题即可．
7．（2024八上·长沙期末）如图，在A村与村之间有一座大山，原来从A村到村，需沿道路（）绕过村庄间的大山，打通A，间的隧道后，就可直接从A村到村．已知，，那么打通隧道后从A村到村比原来减少的路程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ，，，
∴，
∴，
即打通隧道后从A村到村比原来减少的路程为4km。
故答案为：C。
【分析】由勾股定理求出AB=10km，再求出。
8．（2025八上·慈溪期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
解：，，，，∴由勾股定理得，
∵将沿翻折，使得点C与点B重合．
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】由勾股定理可知，由翻转的性质知、、，则在中求DE长，需知道BD长，又中，，再次利用勾股定理即可算出BD。当然也可以使用面积法来求DE，因为前面用勾股定理能算出BC与BD的长，则AD长就知道了，此时利用就可求出DE长。
9．（2025八上·诸暨期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，即可得到和，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，，过点作于点，求出的面积是，即可得到解题即可．
10．（2024八上·道县期末）如图，在中，平分交于点，作，，垂足分别为、，若，则下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分交于点，，，
，，故①正确，符合题意；
在和中，
，
，
，故②正确，符合题意；
，
，
，
，故③正确，符合题意；
没有的条件，
不能得到，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有：①②③，
故选：A．
【分析】根据角平分线的性质可判断①正确；根据全等三角形判定定理可得，则，②正确；根据直线平行的判定定理判断③正确；根据全等三角形判定定理可判断④错误.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11．（2023八上·苍溪期末）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为　 　°.
【答案】35
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°-55°＝35°.
故答案为：35.
【分析】首先利用HL判断Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB＝∠DFE＝55°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
12．（2024八上·广东期末）如图，在中，，，是高，若，则　 　．
【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，∠B=30°，
是 的高，，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而求出∠ACD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出，，求出再利用BD=AB-AD即可求出BD．
13．（2023八上·福州期末）如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，，，若，则　 　.
【答案】38
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
在中，，
同理可得到：，
，
在等腰三角形中，；
故答案为：38.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EA=EB=EC=DE，根据等边对等角得∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，根据三角形外角性质得∠DEC=2∠DAE，∠BEC=2∠BAE，进而根据角的和差及等量代换求出∠DEB的度数，最后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠EBD的度数.
14．（2024八上·义乌期末）如图，在的网格中，　 　．
【答案】45
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：45．
【分析】连接，然后根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可得到，然后根据两直线平行，内错角相等得出，，即可得到．
15．（2024八上·鄞州期末）如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移　 　米．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解；在直角中，已知， ，则，
，
在直角中，，且为斜边，
，
梯足向外移动了．
故答案为：．
【分析】
在直角三角形中，根据勾股定理求出长，即可求除长，然后在直角三角形中，利用勾股定理求得的长度，然后利用线段的和差得到的长解题．
16．（2024八上·宁乡市期末）如图，是直线上一点，，平分，交于点，，于点，则　 　．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】过点M作MH⊥BC于点H，如图所示：
∵PO平分∠AOC，
∴∠POC=∠POM，
∵PM//BC，
∴∠MPO=∠POC，
∴∠MPO=∠POM，
∴MO=MP=10cm，
∵∠MOH=30°，∠OHM=90°，
∴MH=MO=5cm，
∵PM//BC，PD⊥BC，MH⊥BC，
∴PD=MH=5cm，
故答案为：5cm.
【分析】过点M作MH⊥BC于点H，利用角平分线的定义及平行线的性质可得∠MPO=∠POM，再利用等角对等边的性质可得MO=MP=10cm，再利用含30°角的直角三角形的性质可得MH=MO=5cm，最后求出PD=MH=5cm即可.
17．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，∴△BMC和△AMB都是直角三角形，
∵H点事BC中点，∴MH=，
∵N是AB中点，∴MN=，HN=，即MN=HN，
∵的周长是 ，∴MH+HN+MN=，即2MH+2=，解得MH=，
∴AB=，
AH=.
故答案为：。
【分析】本题多次利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求出MH的长度，然后在直角三角形ABH中，利用勾股定理即可求出AH的长度。
18．（2024八上·瓯海期末）如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连接，恰好平分，则线段的长是 　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵恰好平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作于，过点作于，先求出，然后在中计算出，的值，再利用得到的值，即可根据角平分线的性质得到，，然后设，既有，然后得到，建立方程，求出BH的值，然后在中运用勾股定理求出的值解题即可．
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2024八上·镇海区期末）图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：
（1）在图①中画出，使三个顶点均在格点上且；
（2）在图②中画出，使三个顶点均在格点上且；
（3）在图③中画出，使三个顶点均在格点上且．
【答案】（1）解：如图①，取格点，连接、，
∵每个小正方形的边长均为，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形且，
则即为所作
（2）解：如图②，取格点，连接、，
∵每个小正方形的边长均为，
∴，
则即为所作
（3）解：如图③，取格点，连接、，
∵每个小正方形的边长均为，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴不是直角三角形且，
则即为所作
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理取格点C，连接、即可；
（2）根据三角形的面积取格点D，连接、即可解题；
（3）根据等腰三角形的定义取格点，连接、即可解题．
20．（2024八上·浙江期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，，连接．
（1）求证：；
（2）已知，求的面积．
【答案】（1）证明：∵是边上的高线，是边上的中线，
∴，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线性质可得，即可得到，然后利用HL得到解题；
（2）由求出，然后根据勾股定理求出长，然后根据三角形面积公式求出，再根据中线分得的两个三角形面积相等解题．
（1）证明：∵是边上的高线，是边上的中线，
∴，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴．
21．（2024八上·吴兴期末）如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，求证：．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论-- 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
【答案】小胡的证明方法：，
，
、、、分别是、、的中点，
，，，
，
，
．
小吴的证明方法：如图，连结，
，是的中点，
，即和为直角三角形，
、分别是、的中点，
∴，，
．
小明的证明方法：如图，连结，，和交于点，
，是的中点，
是的角平分线，
、分别是、的中点，
，，
，
是边的中垂线，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质与判定.小胡的方法：根据，利用等边对等角可得，由、、、分别是、、的中点，根据中点的性质可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明；
小吴的方法：连结，根据，是的中点，利用等腰三角形的性质可得和为直角三角形，再根据、分别是、的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明；
小明的方法：连结，，和交于点，根据，是的中点，利用等腰三角形的性质可证明是的角平分线，根据中点的性质可得，进而可得是边的中垂线，利用中垂线的性质可证明．
22．（2021八上·高州月考）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【答案】（1）解：学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝ ＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）解：当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝ =50（m），
∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间。
23．（2024八上·红花岗期末）在中，平分交于．
（1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：；
（2）如图2，若，，，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点D作于G，得到和，即可得到，，进而得到结论；
（2）过点D作于E，得到，即可得到，然后推理得到，，根据的直角三角形的性质求出，，，，然后解题即可．
（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
24．（2024八上·上城期末）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点，
（1）若，求度数；
（2）若．
①求证：；
②设，求的长（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
度数为；
（2）解：①证明：过点作，垂足为，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
②解：，，
，
，点是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
的长为．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线
【解析】【分析】 (1)先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C=70°，再利用等腰三角形的性质可得∠HAD=∠ADH，然后利用等量代换可得∠HAD=∠ADH=∠C=70°，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
(2)①过点H作，垂足为E，根据垂直定义可得∠BAC=∠HED=90°，然后利用AAS证明，从而可得AC=DE，再根据等腰三角形的三线合一性质可得AD=2DE，从而可得AD=2AC，即可解答；
②利用①的结论可得AD=2a，再利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，从而可得BC=DH=4a，∠C=∠CAD，进而可得∠CAD=∠ADH，然后利用内错角相等，两直线平行可得AC//DK，从而可得点K是AB的中点，进而可得DK是△ABC的中位线，再利用三角形的中位线定理可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.
25．（2024八上·禅城期末）赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理．弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．
（1）“勾股定理”用文字叙述是__________________；
（2）类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的是等边三角形．点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为2，求的面积；
（3）在长方形内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”（如图3），其中点M、N、P、Q分别在长方形的边、、、上，当，时，求小正方形的边的长度；
【答案】（1）解：“勾股定理”用文字叙述是：在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方；
（2）解：如图，连接，
∵点、、分别是、、的中点，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，∵，
∴，
解得，
∴小正方形的边长为．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的概念，直接写出勾股定理即的文字叙述，即可得到答案；
（2）连接，根据点、、分别是、、的中点，得到，求得，即可求解．
（3）根据图形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，结合，，得出二元一次方程组，求得和的值，即可得到答案.
（1）“勾股定理”用文字叙述是：在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方；
（2）解：如图，连接，
∵点、、分别是、、的中点，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，
∵，
∴，
解得，
∴小正方形的边长为．
26．（2025八上·嵊州期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究．
【情景再现】
已知，如图1，在和中，，，．
下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程．
证明：如图1，延长至D，使，连接．
因为（已知），，
所以
所以（全等三角形的对应边相等）．
…
所以
所以
【实践解决】
（1）请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整；
（2）小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长；
（3）小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长．
【答案】（1）证明：如图，延长至D，使，连接．
∵（已知），，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以；
（2）解：和都是等腰直角三角形，，，，，
即，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为3；
（3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，
，，
，，
，，
，
，
，
即，
同理，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
线段的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）延长至D，使，连接．可得，根据勾股定理得到，再根据SSS得到，解题即可；
（2）先得到，即可得到，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，然后在中运用勾股定理得到BD长解题；
（3）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，即可得到，，然后求出，即可得到，进而得到，再推理得到，根据等腰三角形的性质可得，最后根据含角的直角三角形性质和勾股定理解题即可．
（1）证明：如图，延长至D，使，连接．
∵（已知），，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以；
（2）解：和都是等腰直角三角形，，
，，，
即，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为3；
（3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，
，，
，，
，，
，
，
，
即，
同理，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
线段的长为．
1 / 1

展开更多......

收起↑