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13.3全等三角形的判定冀教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，直线过的中点，过点作于点，过点作于点若，，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
2.根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接延长线交于点若，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.下列说法中错误的是( )
A. 三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等
B. 斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等
C. 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D. 一边长相等的两个等腰直角三角形全等
5.如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定≌的依据是( )
A. B. C. D.
6.如图，中，，，，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，以下三个结论：；；其中结论正确的个数有个．
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，，平分，于点，则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点若，，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，已知菱形的面积是，，分别是菱形的边，的中点，连结，，与交于点，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，点从点出发向原点运动，已知点，以为斜边向右作等腰，与轴交于点，当时，点的坐标是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
12.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，垂足为，，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，点，，，在同一直线上，且，要使≌，则还需添加一个条件为 只填一个即可
14.如图，这是折叠凳及其侧面示意图已知，，，则 ．
15.如图，已知是的中线，，、相交于点，则 ．
16.如图，，平分，过点作的延长线于点，点为的中点，连接若，，则的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，，，，，垂足为．
求证：≌；
求证：．
18.本小题分
如图是一张“小孔成像”实验图片，图是它的简化示意图点代表小孔，代表蜡烛的火苗，代表火苗在光屏上所成的像，与互相平行，已知当小孔到蜡烛的距离物距等于小孔到光屏的距离像距时，所成像的大小与火苗的大小相等，请你用数学知识解释这种现象．
19.本小题分
如图，和是等边三角形，且≌．
填空：可以看成______以点______为旋转中心，______时针旋转______度得到；
若，求的度数．
20.本小题分
如图，在平行四边形中，点是对角线、的交点，过点且垂直于．
求证：；
若，，求．
21.本小题分
如图，已知，，，求证：．
22.本小题分
如图，在中，，点，分别在边，上，连结，，且．
求证：≌；
若，，求的长．
23.本小题分
如图，，，，，，，
求证：≌；
求的长度．
24.本小题分
如图，在中，，，分别过点，向过点的直线作垂线，垂足分别为，．
如图，当过点的直线与斜边不相交时，求证：；
如图，当过点的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求的长．
25.本小题分
如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接．
求证：≌；
与有何位置关系？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，如图，
又，
，
在直角三角形中，，，，
由定理定理得：，
直线过的中点，
，
，
≌，
，
当取最大值时，直线，如图，
此时，，
的最大值为，
故选：．
过点作，垂足为，构造并证明≌，可得，当取最大值时，直线，即的最大值为，由勾股定理求出的长即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
2.【答案】
【解析】根据尺规作图痕迹可得是的角平分线，是的垂直平分线，从而可以证明，得到，可证明，进而证明即可判断．
【详解】解：
根据尺规作图痕迹可得：是的角平分线，是的垂直平分线，
，故 A正确；，
，
，
，故 C正确；
，
，
，
，故 D正确；
根据条件无法判断；
故选：．
3.【答案】
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：和都是等腰直角三角形，，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】A、三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等，原说法正确，不符合题意；
B、斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等，原说法正确，不符合题意；
C、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，原说正确，不符合题意；
D、一边长相等的两个等腰直角三角形全等，无法判定两个三角形全等，符合题意．
故选：．
三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质进行解答即可．
本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和的定理，关键是掌握三角形内角和是．
首先证明，进而得到，再根据三角形内角和计算出的度数，进而得到的度数，然后可算出的度数．
【解答】
解：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
在和中，
，
≌，
，，结论正确；
如图，设与交于点，
，
，
，结论正确；
，
只有当时，才成立，则结论错误；
综上，结论正确的个数有个，
故选：．
先求出，再证出≌，根据全等三角形的性质可得，，由此可判断结论正确；设与交于点，根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，由此即可判断结论正确；只有当时，才成立，由此即可判断结论错误．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线的定义、垂直的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，根据题意作出辅助线是解题的关键．
延长、相交于点，先根据角平分线的定义、垂直的定义得出，，再根据证明，可得，，从而可得，再由求得的长，即可求得的值．
【解答】
解：如图，延长、相交于点．
平分，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
又，，
．
9.【答案】
【解析】解：连接、，
是的平分线，
角平分线的定义，
，，
，
在和中，
，
≌，
，全等三角形的对应边相等，
是的垂直平分线，
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
故选：．
连接、，由“”可证≌，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证≌，可得，即得到，据此即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，延长交延长线于点，
点是边的中点，
，
四边形是菱形，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
∽，
又点是中点，
：：：，
：：：，
菱形的面积为，
的面积为，
的面积为，
故选：．
延长交延长线于点，则≌，证明∽，即可得出：：：，根据菱形的面积，求出的面积，然后可得出的面积．
此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是正确的作出辅助线．
11.【答案】
【解析】解：作轴，轴，垂足分别为点，点，
为等腰直角三角形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
，，
四边形是正方形，
设，则，
，
，
，
，
，
，
∽，
相似三角形的对应边成比例，
，
整理得，
解得或，
或，
点的坐标是或，
故选：．
作轴，轴，证明≌，推出四边形是正方形，设，再证明∽，得到，据此求解即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质．
12.【答案】
【解析】解：过点，分别作轴，轴，垂足为，，则，
，，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在第二象限，
，
故选：．
过点，分别作轴，轴，垂足为，，证明≌即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系，直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：添加的条件为：，证明如下：
，
，即，
，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：．
添加的条件为，再根据平行的性质得出，进而根据边角边证明全等即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：折叠凳及其侧面示意图，已知，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
证明≌即可得解，
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
15.【答案】

【解析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线；过作交于，由平行线分线段成比例可得，再根据相似三角形的判定和性质可得，再根据全等三角形的判定和性质得，再根据三角形面积关系求解即可．
【详解】解：过作交于，
是的中线，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，延长，交于点，
平分，
，
，
，
，
≌，
，，
是的中点，
是边的中点，
是的中位线，
三角形的中位线定理，
，
，
．
故答案为：．
如图，延长，交于点，根据角平分线和垂线证得≌，进而得到，，再利用中位线的性质得到，即可求得答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．
17.【答案】【小题】
证明：，，在和中，≌；
【小题】
如图，延长至，使，连接，，，在和中，≌，，由知≌，，，，，，，，，，，在和中，≌，，，．

【解析】 略
略
18.【答案】解：如图，过点作于点，延长交于点．
所以因为，
所以，，，．
在和中，因为，，，
所以所以．
在和中，因为，，，
所以所以．
所以当物距等于像距时，所成像的大小与火苗的大小相等．

【解析】略
19.【答案】，，逆，；

【解析】是等边三角形，
．
≌，
可以看成以点为旋转中心，逆时针旋转度得到，
故答案为：，，逆，；
≌，，，
，，
．
由等边三角形的性质得，然后根据旋转的性质即可求解；
根据，即可求解．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．
20.【答案】四边形是平行四边形，是与的交点，
，，
，，
≌，
；

【解析】证明：四边形是平行四边形，是与的交点，
，，
，，
≌，
；
解：由中结论可得，
，，
，
．
先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明≌得到；
由中结论可得，用勾股定理求出，再利用正切函数的定义即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，正切函数等，解题的关键是证明≌．
21.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
欲证明，只要证明≌即可．
22.【答案】，，，
，
在和中，
，
≌；

【解析】证明：，，，
，
在和中，
，
≌；
解：由知：≌，，，
，，
在中，，
，
．
先证出，再根据定理即可得证；
先根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段的和差求解即可得．
本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
23.【答案】：，，，
在中，，
，，
，
，
在和中，
，
≌；

【解析】证明：，，
，
在中，，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
，
，，
．
根据，得，证明，进而可依据“”判定和全等；
根据和全等得，，然后根据即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
24.【答案】证明：，，
，
，，
，
，
≌．
，．
．
解：，，
，
，，
，
，
≌．
，．
．
【解析】根据全等三角形的判定证明≌，再由其性质结合图形等量代换即可证明；
根据知道≌仍然成立，再根据对应边相等即可求解．
此题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
25.【答案】是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
，理由如下：
由 得：≌，
，
，
，

【解析】证明：是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，理由如下：
由得：≌，
，
，
，
．
根据等腰直角三角形的性质得到，，然后利用“”可判断≌即可；
由全等三角形的性质得出，由，根据三角形内角和定理得出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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