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山东省德州市第十中学2025-2026学年第一学期10月份阶段性测试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共40分）
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、是分式方程，故本选项错误；
B、是一元一次方程，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、当时是一元一次方程，故本选项错误．
故选：C．
2．将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线，即可作答．
【详解】解：将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，
得，
故选：C．
3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为 B．顶点坐标为
C．顶点坐标为 D．顶点坐标为
【答案】C
【详解】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【解答】解：二次函数二次函数的顶点坐标为，
故选：．
4．将一元二次方程配方后，可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
先把常数项移到方程右侧，再将二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴，
则，
故，
∴．
故选：B．
5．如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
6．对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论：
甲：这个方程有两个不相等的实数根；
乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，，
丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为；
丁：这个方程的解为，
老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，，故乙错误；
∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确；
∴，
∴，，故丁正确，丙错误；
故选：C．
7．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022 B．2025 C．2023 D．2024
【答案】B
【分析】本题考查了方程的根，求整式的值，由方程的根得，化简整式，代入计算，即可求解；理解方程的根的定义，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
；
故选：B．
8．已知点，和都在抛物线（）上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得对称轴为直线，由可得抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，据此解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，
∵，
∴，
故选：．
9．二次函数（）图象上部分点的坐标满足下表：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是关于x的一元二次方程（）的一个根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据当和时，函数值相等，求出对称轴，判断②，得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，判断①，得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，判断③，根据和时，，判定④，进而可得出答案．
【详解】解：∵当和时，
∴函数图象抛物线对称轴为，则为最低点，故②错误，
∴抛物线的开口向上，故①正确，
∵，
∴的对称点为，
又∵抛物线的开口向上，
∴当时，，故③正确，
∵和时，，
∴是方程，即方程的一个根，故④正确，
综上所述，正确的是①③④，共3个，
故选：C．
10．已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（ ）
A．或10 B．10或2 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解题的关键是运用分类讨论思想．首先根据待定系数法得到n与m的关系，再根据二次函数的对称轴位置分情况讨论，求出m的值．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
代入，得，即，
二次函数对称轴为直线，
然后分情况讨论：
①对称轴为直线，即，
此时在上，y随x的增大而增大，
当时，y有最小值0，不符合题意，舍去；
②对称轴为直线满足时，即，
此时二次函数的顶点在范围内，顶点的纵坐标为最小值，
二次函数顶点纵坐标公式为，将代入，
可得，
解得或，
，
；
③对称轴为直线，即，
此时在上y随x的增大而减小，
当时，y有最小值，
令，解得，不符合题意，舍去；
故答案为，
故选：C．
二、填空题（共20分）
11．写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，进行作答即可．
【详解】解：由题意，可得方程为：；
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
【答案】x1＝1，x2＝3/x1＝3，x2＝1
【分析】根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x
由题意得：（x+1）÷2=2
解得x=3
所以方程ax2+bx+c＝0的解为：x1＝1，x2＝3
故答案为：x1＝1，x2＝3
【点睛】主要考查二次函数与方程之间的转换，熟练运用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
13．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是，爆竹点燃后升空的最大高度是 米．
【答案】45
【分析】本题主要考查二次函数的性质，将已知解析式化简为顶点式即可求得答案．
【详解】解：，
依据顶点式可知顶点坐坐标为，则最大值为45．
故答案为：45．
14．若x1，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
，
∴，
∴，
故答案为：1．
15．把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是 填序号．
①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点．
【答案】②④/④②
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据过，，，得到，则，，，即可判断前3个，由与有个交点，相当于抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点，则将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，即可求解．
【详解】解：由图象可得：过，，，
∴设函数，
将点代入可得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴①错误；
，②正确；
，③错误；
∵与有个交点，即抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点，
将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，故④正确；
故答案为：②④．
三、解答题（共90分）
16．（本题8分）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元 二次方程的方法是解题的关键．
（1）移项，提公因式分解因式解答；
（2）用二次三项式的因式分解方法分解因式解答．
【详解】（1）解：，
移项，得，
提公因式，得，
∴，，
∴．
（2）解：，
分解因式，得，
∴，
∴．
17．（本题10分）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】(1)
(2)二次项系数是10，一次项系数是0，常数项是
【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键．
（1）根据二次函数的定义列式求解即可；
（2）根据二次函数一般式判定即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的定义得，
由①得，由②得，
∴．
（2）解：由（1）得：二次函数解析式为，故二次项系数是10，一次项系数是0，常数项是．
18．（本题10分）已知关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为，，求代数式的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
∴方程总有实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
19．（本题12分）已知关于的二次函数的图象过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当时，的最大值与最小值．
【答案】(1)；
(2)；．
【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意将代入即可得到答案；
（2）根据对称轴得到函数增减性即可计算．
【详解】（1）解：将代入
，解得
；
（2）解：对称轴，
时，
，
，故时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
当时，
．
20．（本题12分）已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
(3)当时，结合图象，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．
（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；
（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可；
（3）根据函数图象确定当时对应的x的取值范围即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：列表如下：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 0 0 ……
如图，
（3）解：由图象知：当时，.
21．（本题12分）某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？
【答案】(1)
(2)花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中
【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的应用，理解题意是关键．
（1）根据题意可设抛物线解析式为，再将代入求解即可；
（2）令，求出x的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线最高点坐标为，
∴设抛物线解析式为．
∵，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，则，
解得：，，
∴花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中．
22．（本题12分）根据以下素材，完成下列任务．
背景素材
背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．
素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．
问题解决
任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价.
【答案】任务1：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；任务2：下调后每辆汽车的售价为万元
【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,根据某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，3月份的销售量达到万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，根据使平均每周的销售利润为万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】任务1：解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；
任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，
根据题意得：，
解得：，，
∵此次销售尽量让利于顾客，
∴，
答：下调后每辆汽车的售价为万元．
23．（本题14分）已知二次函数，其中．
(1)若二次函数的图象经过，求二次函数表达式；
(2)若该二次函数图象开口向上，当时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标；
(3)在二次函数图象上任取两点，当时，总有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)当时，；当时，
【分析】（1）把点代入二次函数解析式中，求得m的值，即可求得二次函数表达式；
（2）由可求得抛物线的对称轴与顶点坐标，当时，函数在取得最大值，从而可求得m的值，进而得到M的坐标；在顶点取得最小值，即可求得其坐标；
（3）分两种情况讨论，利用二次函数图象的增减性质即可求解．
【详解】（1）解：把点代入中，得：，
解得：，
故二次函数表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
当时，
∵，
∴当时，函数值随自变量的增大而增加，当时，函数值随自变量的增大而减小，
∴图象最低点N为抛物线的顶点，即在顶点取得最小值，最小值为；
∵，
∴函数在左端点的函数值大于函数在右端点的函数值，
∴函数在取得最大值；
当时，，
由题意得：，
则，
∴， ；
（3）解：抛物线的对称轴为直线；
①当时，抛物线开口向上，
当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大；
∵当时，总有，
∴，
∴；
②当时，抛物线开口向下，
当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小；
∵当时，总有，
∴，
∴；
综上，当时，；当时，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，待定系数法求函数解析式，分类讨论思想；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页山东省德州市第十中学2025-2026学年第一学期10月份阶段性测试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共40分）
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为 B．顶点坐标为
C．顶点坐标为 D．顶点坐标为
4．将一元二次方程配方后，可化为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为( )
A． B．
C． D．
6．对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论：
甲：这个方程有两个不相等的实数根；
乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，，
丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为；
丁：这个方程的解为，
老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁
7．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2022 B．2025 C．2023 D．2024
8．已知点，和都在抛物线（）上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．二次函数（）图象上部分点的坐标满足下表：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是关于x的一元二次方程（）的一个根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（ ）
A．或10 B．10或2 C．2 D．
二、填空题（共20分）
11．写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
13．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是，爆竹点燃后升空的最大高度是 米．
14．若x1，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ．
15．把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是 填序号．
①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点．
三、解答题（共90分）
16．（本题8分）解方程：
(1)
(2)
17．（本题10分）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
18．（本题10分）已知关于的方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为，，求代数式的值．
19．（本题12分）已知关于的二次函数的图象过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求当时，的最大值与最小值．
20．（本题12分）已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
(3)当时，结合图象，直接写出x的取值范围．
21．（本题12分）某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？
22．（本题12分）根据以下素材，完成下列任务．
背景素材
背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．
素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．
问题解决
任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价.
23．（本题14分）已知二次函数，其中．
(1)若二次函数的图象经过，求二次函数表达式；
(2)若该二次函数图象开口向上，当时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标；
(3)在二次函数图象上任取两点，当时，总有，求的取值范围．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页

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