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3.4《 圆心角》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．如图，下列各角是圆心角的是(　　)
A．∠AOB B．∠CBD C．∠BCO D．∠DAO
【答案】A
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：由题意得∠AOB是圆心角，
故答案为：A
【分析】根据圆心角的定义（以圆心为顶点的角，两边是圆的半径）结合图形判断即可求解。
2．（2024九上·义乌月考）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；（4）三角形的外心到三角形各顶点距离相等.其中正确的个数共有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：① 不在同一条直线上的三点确定一个圆。如果三点在同一条直线上，是无法确定一个圆的。所以 “三点确定一个圆” 的说法错误。
② 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。如果没有 “同圆或等圆” 这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧也不一定相等。所以 “相等的圆心角所对的弧相等” 的说法错误。
③ 同圆或等圆中，等弦所对的弧有优弧和劣弧之分，一条弦对应两条弧，等弦所对的优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等，但优弧和劣弧不相等。所以 “同圆或等圆中，等弦所对的弧相等” 的说法错误。
④ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。所以三角形的外心到三角形各顶点距离相等，该说法正确。 综上，只有说法④正确，正确的个数是1个。
故答案为：A.
【分析】 本题需要根据圆的相关性质和三角形外心的定义，对每个说法逐一进行分析判断，从而确定正确说法的个数.
3．（2024九上·任丘期末）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵点D，C是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】本题考查弧长与圆心角的关系.根据，利用同弧或等弧所对的圆心角相等可得：，再利用平角的定义可得：，代入数据进行计算可求出答案．
4．（2024九上·南宁期中）如图，在中，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，，
．
故答案为：D
【分析】如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可求出答案.
5．（2024九上·昆明开学考）图中是圆心角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：对于A，为圆周角，故A错误；
对于B，是圆心角，故B正确；
对于C，不是圆心角，故C错误；
对于D，不是圆心角，故D错误；
故选：B
【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角．
6．顶点在　 　的角叫作圆心角．
【答案】圆心
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解： 顶点在圆心的角是圆心角.
故答案为：圆心.
【分析】 根据圆心角的定义来判断.
7．如图，MN为⊙O的弦，∠M=55°，则∠MON的度数是　 　
【答案】70°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OM与ON都是半径，
∴∠M=∠N.
∵MN为⊙O的弦，∠M=55°，
∴∠MON=180°-2∠M=70°.
故答案为：70°.
【分析】先说明∠M=∠N，再利用三角形的内角和求解.
8．（2021九上·灌云月考）如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，则AC　 　BD（填“＞”“＜”或“=”）
【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC=BD，
故答案为：=.
【分析】根据得出，即可得出AC=BD.
9．（2021九上·鹿城期中）已知：如图，⊙O中弦 .求证：AD=BC.
【答案】证明：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得，推出，据此可得结论.
10．（2022九上·瑞安期中）已知：如图，，是的直径，C是上一点，且．
求证： ．
【答案】证明：∵，
∴．
又∵（已知），
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可知，同圆中相等的圆心角所对的弦相等可得BE=AD，结合已知得AD=CE，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等即可得出结论.
二、能力提升
11．有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦。其中正确的是　 　
【答案】①③⑤
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①直径是圆中最长的弦，故直径是弦正确；
②弦不一定是直径，故该选项错误；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故正确；
④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误；
⑤直径是圆中最长的弦，正确，
故正确的有：①③⑤，
故答案为：①③⑤
【分析】根据圆的定义及性质逐一判断，进而即可求解。
12．（2020九上·大庆月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项符合题意；
C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；
D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据圆的弧、弦、圆心角定义逐项判定即可。
13．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为40°，则∠AOC等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵的度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=（180°-∠COE）=50°，
∵CE//AB，
∴∠AOC=∠OCE=50°，
故答案为：B.
【分析】连接OE，先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠OCE的度数，再利用平行线的性质可得∠AOC=∠OCE=50°，从而得解.
14．如图，在⊙O中，C是的中点，若∠A=50°，则∠BOC=(　　)
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180° 50° 50°＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC=∠AOB＝40°，
故答案为：A．
【分析】先利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求出∠AOB＝180° 50° 50°＝80°，再利用弧与圆心角的关系可得∠BOC=∠AOB＝40°.
15．如图，C，D为半圆的三等分点，则下列说法：
①；②∠AOD=∠DOC=∠BOC；③AD=CD=OC；④△AOD是等边三角形．其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵C，D为半圆的三等分点，
∴，
∴①正确；
∵，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC，
∴②正确；
∵ ∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，∠AOD=∠DOC=∠BOC；
∴ ∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵OA=OD=OC=OB，
∴△AOD，△OCD，△BOC均为等边三角形，
∴AD=CD=OC，
∴③和④正确，
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：A.
【分析】利用弧、弦和圆周角的关系可得，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，再证出△AOD，△OCD，△BOC均为等边三角形，从而得解.
16．如图，C是⊙O直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO，若所对圆心角的度数为40°，则所对圆心角的度数为(　　)
A．40° B．80° C．150° D．120°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OE，OD，如图所示，
∵所对圆心角度数为40°，
∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，
∴∠D＝∠COD＝40°，
∴∠OCE＝∠D＋∠COD＝80°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠D＝40°，
∴∠BOE＝∠OCE＋∠E＝120°．
即所对圆心角度数为120°．
故答案为：D．
【分析】连接OE，OD，先求出∠OCE＝∠D＋∠COD＝80°，再结合∠E＝∠D＝40°，求出∠BOE＝∠OCE＋∠E＝120°，即可得到所对圆心角度数为120°．
17．如图，在⊙O中，，则下列结论：
①AB=CD；
②AC=BD；
③∠AOC=∠BOD；
④．
其中正确的是　 　(填序号)．
【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①∵，∴AB=CD，∴①正确；
②∵，∴，∴，∴AC=BD，∴②正确；
③∵，∴∠AOC=∠BOD，∴③正确；
④∵，∴，∴，∴④正确；
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④.
【分析】利用弧、弦和圆周角的关系及弧的计算方法逐项分析判断即可.
18．如图，在OA中，弦DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则点A到弦BC的距离等于　 　
【答案】3
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连结BF，如图所示：
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6．
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
∵AC=AF，
∴AH=BF=3．
故答案为：3.
【分析】作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连结BF，先求出∠DAE=∠BAF，可得DE=BF=6，再利用垂径定理可得AH=BF=3．
19．（2021九上·孝义期中）如图，在⊙O中， ，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝　 　cm．
【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴OC⊥AB，
∴AD＝DB＝ AB＝4（cm），
∴ （cm），
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
【分析】先求出OC⊥AB，再求出AD=DB=4cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
20．（2024九上·瑞安期中）如图，在中，弦，于E，于H．
（1）求证：．
（2）若的半径为5，，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，，
即，
（2）解：连接，如图所示：
∵，
，
∵，
．
由勾股定理，得．
∵OH⊥BC，
∴BH=BC=2，∠OHB=90°，
．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用圆心角、弧、弦的关系可证得，由此可推出，然后利用圆心角、弧、弦的关系可证得结论.
（2）连接，可得到AB的长，利用垂径定理可求出EB的长，利用勾股定理求出OE的长；利用垂径定理可求出BH的长，再利用勾股定理求出OH的长，然后求出OE+OH的长.
（1）证明：，
，，
即，
．
（2）解：连接，如图所示：
，，
．
由勾股定理，得．
同理可得．
．
21．如图，在⊙O中，AB，DE为⊙O的直径，C是⊙O上一点，且．
（1）BE与CE有什么数量关系 为什么
（2）若∠BOE=60°，则四边形OACE是什么特殊的四边形 请说明理由．
【答案】（1）解：BE=CE．理由如下：
∵AB，DE是⊙O的直径，
∴∠AOD=∠BOE，
∴．
∵，
∴，
∴BE=CE．
（2）解：连接OC，如图所示，
∵∠BOE=60°，BE=CE，
∴∠COE=60°．
∵OC=OE，
∴△COE是等边三角形．
∵∠AOC=180°-60°-60°=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OE=CE=OA=AC=OC，
∴四边形OACE是菱形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AOD=∠BOE，再利用圆心角和弧的关系可得，再利用弧的运算求出，最后利用弧与弦的关系可得BE=CE；
（2）连接OC，先证出△COE是等边三角形，再结合∠AOC=180°-60°-60°=60°，OA=OC，证出△AOC是等边三角形，证出OE=CE=OA=AC=OC，从而可证出四边形OACE是菱形．
三、综合拓展
22．（2024九上·柯城期中）已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，．
（1）求证：．
（2）如果的半径为5，，．
①求的度数．
②求的长．
【答案】（1）证明：，
，即，
（2）解：①连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②过O作与F，
由①得：，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等弧和之间有公共弧，则，即；
（2）①连接，由圆周角定理和对顶角相等可证明，则，再利用SSS可证明，则有；
②过O作与，由垂径定理得到，设，则由①知，，再利用勾股定理即可．
（1）证明：，
，即，
；
（2）解：①连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②过O作与F，
由①得：，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴．
23．（2024九上·武汉期末）如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，即，
；
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据相等弦长所对弧长相等可得，再根据弧之间的关系可得，即AB=CD，即可求出答案.
（2）过点作于点，交于点F，连接，，根据垂径定理可得，，
根据得出，在中，根据勾股定理可得EF=8， 设的半径为，中， 根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案。
（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
1 / 13.4《 圆心角》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．如图，下列各角是圆心角的是(　　)
A．∠AOB B．∠CBD C．∠BCO D．∠DAO
2．（2024九上·义乌月考）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；（4）三角形的外心到三角形各顶点距离相等.其中正确的个数共有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024九上·任丘期末）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·南宁期中）如图，在中，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·昆明开学考）图中是圆心角的是（　　）
A． B．
C． D．
6．顶点在　 　的角叫作圆心角．
7．如图，MN为⊙O的弦，∠M=55°，则∠MON的度数是　 　
8．（2021九上·灌云月考）如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，则AC　 　BD（填“＞”“＜”或“=”）
9．（2021九上·鹿城期中）已知：如图，⊙O中弦 .求证：AD=BC.
10．（2022九上·瑞安期中）已知：如图，，是的直径，C是上一点，且．
求证： ．
二、能力提升
11．有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦。其中正确的是　 　
12．（2020九上·大庆月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
13．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为40°，则∠AOC等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
14．如图，在⊙O中，C是的中点，若∠A=50°，则∠BOC=(　　)
A．40° B．45° C．50° D．60°
15．如图，C，D为半圆的三等分点，则下列说法：
①；②∠AOD=∠DOC=∠BOC；③AD=CD=OC；④△AOD是等边三角形．其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
16．如图，C是⊙O直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO，若所对圆心角的度数为40°，则所对圆心角的度数为(　　)
A．40° B．80° C．150° D．120°
17．如图，在⊙O中，，则下列结论：
①AB=CD；
②AC=BD；
③∠AOC=∠BOD；
④．
其中正确的是　 　(填序号)．
18．如图，在OA中，弦DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则点A到弦BC的距离等于　 　
19．（2021九上·孝义期中）如图，在⊙O中， ，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝　 　cm．
20．（2024九上·瑞安期中）如图，在中，弦，于E，于H．
（1）求证：．
（2）若的半径为5，，，求的长．
21．如图，在⊙O中，AB，DE为⊙O的直径，C是⊙O上一点，且．
（1）BE与CE有什么数量关系 为什么
（2）若∠BOE=60°，则四边形OACE是什么特殊的四边形 请说明理由．
三、综合拓展
22．（2024九上·柯城期中）已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，．
（1）求证：．
（2）如果的半径为5，，．
①求的度数．
②求的长．
23．（2024九上·武汉期末）如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆心角的概念
【解析】【解答】解：由题意得∠AOB是圆心角，
故答案为：A
【分析】根据圆心角的定义（以圆心为顶点的角，两边是圆的半径）结合图形判断即可求解。
2．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：① 不在同一条直线上的三点确定一个圆。如果三点在同一条直线上，是无法确定一个圆的。所以 “三点确定一个圆” 的说法错误。
② 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。如果没有 “同圆或等圆” 这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧也不一定相等。所以 “相等的圆心角所对的弧相等” 的说法错误。
③ 同圆或等圆中，等弦所对的弧有优弧和劣弧之分，一条弦对应两条弧，等弦所对的优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等，但优弧和劣弧不相等。所以 “同圆或等圆中，等弦所对的弧相等” 的说法错误。
④ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。所以三角形的外心到三角形各顶点距离相等，该说法正确。 综上，只有说法④正确，正确的个数是1个。
故答案为：A.
【分析】 本题需要根据圆的相关性质和三角形外心的定义，对每个说法逐一进行分析判断，从而确定正确说法的个数.
3．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵点D，C是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】本题考查弧长与圆心角的关系.根据，利用同弧或等弧所对的圆心角相等可得：，再利用平角的定义可得：，代入数据进行计算可求出答案．
4．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，，
．
故答案为：D
【分析】如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：对于A，为圆周角，故A错误；
对于B，是圆心角，故B正确；
对于C，不是圆心角，故C错误；
对于D，不是圆心角，故D错误；
故选：B
【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角．
6．【答案】圆心
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解： 顶点在圆心的角是圆心角.
故答案为：圆心.
【分析】 根据圆心角的定义来判断.
7．【答案】70°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OM与ON都是半径，
∴∠M=∠N.
∵MN为⊙O的弦，∠M=55°，
∴∠MON=180°-2∠M=70°.
故答案为：70°.
【分析】先说明∠M=∠N，再利用三角形的内角和求解.
8．【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC=BD，
故答案为：=.
【分析】根据得出，即可得出AC=BD.
9．【答案】证明：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得，推出，据此可得结论.
10．【答案】证明：∵，
∴．
又∵（已知），
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可知，同圆中相等的圆心角所对的弦相等可得BE=AD，结合已知得AD=CE，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等即可得出结论.
11．【答案】①③⑤
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①直径是圆中最长的弦，故直径是弦正确；
②弦不一定是直径，故该选项错误；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故正确；
④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误；
⑤直径是圆中最长的弦，正确，
故正确的有：①③⑤，
故答案为：①③⑤
【分析】根据圆的定义及性质逐一判断，进而即可求解。
12．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项符合题意；
C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；
D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据圆的弧、弦、圆心角定义逐项判定即可。
13．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵的度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=（180°-∠COE）=50°，
∵CE//AB，
∴∠AOC=∠OCE=50°，
故答案为：B.
【分析】连接OE，先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠OCE的度数，再利用平行线的性质可得∠AOC=∠OCE=50°，从而得解.
14．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180° 50° 50°＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC=∠AOB＝40°，
故答案为：A．
【分析】先利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求出∠AOB＝180° 50° 50°＝80°，再利用弧与圆心角的关系可得∠BOC=∠AOB＝40°.
15．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵C，D为半圆的三等分点，
∴，
∴①正确；
∵，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC，
∴②正确；
∵ ∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，∠AOD=∠DOC=∠BOC；
∴ ∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵OA=OD=OC=OB，
∴△AOD，△OCD，△BOC均为等边三角形，
∴AD=CD=OC，
∴③和④正确，
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：A.
【分析】利用弧、弦和圆周角的关系可得，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，再证出△AOD，△OCD，△BOC均为等边三角形，从而得解.
16．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OE，OD，如图所示，
∵所对圆心角度数为40°，
∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，
∴∠D＝∠COD＝40°，
∴∠OCE＝∠D＋∠COD＝80°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠D＝40°，
∴∠BOE＝∠OCE＋∠E＝120°．
即所对圆心角度数为120°．
故答案为：D．
【分析】连接OE，OD，先求出∠OCE＝∠D＋∠COD＝80°，再结合∠E＝∠D＝40°，求出∠BOE＝∠OCE＋∠E＝120°，即可得到所对圆心角度数为120°．
17．【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①∵，∴AB=CD，∴①正确；
②∵，∴，∴，∴AC=BD，∴②正确；
③∵，∴∠AOC=∠BOD，∴③正确；
④∵，∴，∴，∴④正确；
综上，正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④.
【分析】利用弧、弦和圆周角的关系及弧的计算方法逐项分析判断即可.
18．【答案】3
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连结BF，如图所示：
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6．
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
∵AC=AF，
∴AH=BF=3．
故答案为：3.
【分析】作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连结BF，先求出∠DAE=∠BAF，可得DE=BF=6，再利用垂径定理可得AH=BF=3．
19．【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴OC⊥AB，
∴AD＝DB＝ AB＝4（cm），
∴ （cm），
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
【分析】先求出OC⊥AB，再求出AD=DB=4cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
20．【答案】（1）证明：，
，，
即，
（2）解：连接，如图所示：
∵，
，
∵，
．
由勾股定理，得．
∵OH⊥BC，
∴BH=BC=2，∠OHB=90°，
．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用圆心角、弧、弦的关系可证得，由此可推出，然后利用圆心角、弧、弦的关系可证得结论.
（2）连接，可得到AB的长，利用垂径定理可求出EB的长，利用勾股定理求出OE的长；利用垂径定理可求出BH的长，再利用勾股定理求出OH的长，然后求出OE+OH的长.
（1）证明：，
，，
即，
．
（2）解：连接，如图所示：
，，
．
由勾股定理，得．
同理可得．
．
21．【答案】（1）解：BE=CE．理由如下：
∵AB，DE是⊙O的直径，
∴∠AOD=∠BOE，
∴．
∵，
∴，
∴BE=CE．
（2）解：连接OC，如图所示，
∵∠BOE=60°，BE=CE，
∴∠COE=60°．
∵OC=OE，
∴△COE是等边三角形．
∵∠AOC=180°-60°-60°=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OE=CE=OA=AC=OC，
∴四边形OACE是菱形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AOD=∠BOE，再利用圆心角和弧的关系可得，再利用弧的运算求出，最后利用弧与弦的关系可得BE=CE；
（2）连接OC，先证出△COE是等边三角形，再结合∠AOC=180°-60°-60°=60°，OA=OC，证出△AOC是等边三角形，证出OE=CE=OA=AC=OC，从而可证出四边形OACE是菱形．
22．【答案】（1）证明：，
，即，
（2）解：①连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②过O作与F，
由①得：，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等弧和之间有公共弧，则，即；
（2）①连接，由圆周角定理和对顶角相等可证明，则，再利用SSS可证明，则有；
②过O作与，由垂径定理得到，设，则由①知，，再利用勾股定理即可．
（1）证明：，
，即，
；
（2）解：①连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②过O作与F，
由①得：，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴．
23．【答案】（1）证明：，
，
，即，
；
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据相等弦长所对弧长相等可得，再根据弧之间的关系可得，即AB=CD，即可求出答案.
（2）过点作于点，交于点F，连接，，根据垂径定理可得，，
根据得出，在中，根据勾股定理可得EF=8， 设的半径为，中， 根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案。
（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
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