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数学试卷
注意事项:
1.你拿到的试卷满分为 150分,考试时间为120分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的.
1.下列四个数中,最小的数是
A.0 B.-1 C.1 D.-2
2.计算:a5b3÷(ab)3=
A.b B.a2b C.a2 D.a8b6
3.数据显示,2023年上半年安徽省生产总值约23073亿元.数据23073亿用科学记数法表示为
A.23.073×1011 B.2.3073×1012
C.2.3073×1013 D.0.23073×1013
4.如图,这是一个几何体,它的俯视图是
5.如图,AB∥CD,∠A=48°,∠E=22°,则∠C的度数是
A.18° B.26°
C.30° D.32°
6.从“数学”的英文单词“mathematics”中随机抽取一个字母,抽中字母a的概率为
A. B. C. D.
7.已知a,b为实数,a-2b=3,b≠-1,则分式的值为
A.-3 B.3 C.-2 D.2
8.在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k≠0)的图象如图所示,则一次函数y=kx-k2的图象可能是
9.一次聚会中,每两个参加聚会的人互送一件不同的小礼物,有人统计一共送了72件小礼物,如果参加这次聚会的人数为x,根据题意可列方程
A.x(x-1)=72 B.x(x+1)=72
C.2x(x+1)=72 D.x(x-1)=72×2
10.如图,在正方形ABCD中,以BC为边在正方形内作等边△BPC,延长BP、CP分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H,则下列结论正确的是
A.∠ADP=20° B.△PDE∽△DBE
C.BC∶DF=3∶2 D.PF=PH
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.计算-的结果为　　　　.
12.若一元二次方程kx2-6x-2=0有实数根,则实数k的取值范围是　　　　.
13.如图,矩形OABC与反比例函数y1=(x>0)的图象交于点M,N,与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点B,连接OM,ON,则四边形OMBN的面积为　　　　.
14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线:y=ax2-2ax+4(a>0).
(1)该抛物线的对称轴是　　　　.
(2)若A(m-1,y1),B(m,y2),C(m+3,y3)为抛物线上三点,且总有y3>y1>y2,结合图象,则m的取值范围是　　　　.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.解不等式:3(2-x)+1<0.
16.如图,在12×8的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)将△ABC先向右平移5个单位长度,再向上平移1个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1.
(2)将△ABC以点C为位似中心放大为原来的2倍,得到△A2B2C,画出△A2B2C.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一根绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.问绳索长多少尺
18.观察下列等式:
第1个等式:1-6×1=22-9×12.
第2个等式:1-6×2=52-9×22.
第3个等式:1-6×3=82-9×32.
第4个等式:1-6×4=112-9×42.
……
根据上述规律解决下列问题:
(1)写出第5个等式:　　　　　　　　.
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆.已知小海家B在小亮家A的北偏西25°方向上,AB=5 km.两人到达革命烈士纪念馆C处后,发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西25°方向上,小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西70°方向上.求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离AC.(结果保留1位小数;参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19)
20.已知:四边形ABCD内接于☉O,对角线AC,BD交于点E,且OA⊥BD.
(1)如图1,求证:CA平分∠BCD.
(2)如图2,若☉O的直径BD的长为6,AE的长为2,求弦AC的长.
六、(本题满分12分)
21.2023年10月26日11时14分,搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭,在酒泉卫星发射中心点火发射,神十七乘组飞赴苍穹.为庆祝我国航天事业的蓬勃发展,某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛,现从中随机抽取部分参赛作品,对其份数和成绩(10分制)进行整理,制成了如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次随机抽取的作品数量为　　　　份;成绩为8分的人所在扇形的圆心角的度数是　　　　°;并补全条形统计图.
(2)求此次被抽取的参赛作品成绩的中位数和平均数.
(3)若该校共收到600份参赛作品,请估计此次大赛成绩不低于9分的作品的份数.
七、(本题满分12分)
22.某隧道的截面由抛物线和长方形OAB1B构成,若隧道宽度OA为12米,最高处离地面10米,长方形宽为4米.如图,现以O点为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求出抛物线的表达式(并写出自变量的取值范围).
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向车道,那么这辆货运汽车能否安全通过
(3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯,使路灯离地面的高度相同,如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少
八、(本题满分14分)
23.E为正方形ABCD内一点,AB=8,连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°,得到AF,连接FD,并延长FD与BE交于点G.
(1)如图1,猜想BE与FD之间的数量关系,并证明.
(2)如图2,若O为BD的中点,连接OG.
①求OG的长.
②若E为BG的中点,连接CE,求线段CE长的最小值.
参考答案
1.D　2.C　3.B　4.C　5.B　6.D　7.B　8.A　9.A
10.B　提示:∵△BPC是等边三角形,∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD,∠A=∠ABC=∠BCD=90°,∴∠ABE=∠DCF=30°,∴∠CPD=∠CDP=75°,∴∠ADP=90°-75°=15°,故A错误;
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°,∴∠EBD=∠EDP.∵∠DEP=∠DEB,
∴△PDE∽△DBE,故B正确;
∵∠DCF=30°,∴=tan 30°=,∴BC∶DF=CD∶DF=3∶=∶1,故C错误;
∵∠EPD=∠BDE=45°,∠BPC=∠EPF=60°,∴∠FPD=105°.∵∠BHP=∠BCH+∠HBC=105°,∴∠DPF=∠BHP.又∵∠PDF=∠DBP=15°,∴△BHP∽△DPF,
∴=,∴====,故D错误.故选B.
11.-　12.k≥-且k≠0　13.3
14.(1)直线x=1　(2)0提示:(2)∵抛物线对称轴为直线x=1,抛物线开口向上,y3>y1,
∴>1,
即>1,
解得m>0.
∵y1>y2,
∴<1,
解得m<,
∴015.解:3(2-x)+1<0,
6-3x+1<0, 3分
-3x<-1-6,
-3x<-7, 6分
x>. 8分
16.解:(1)如图,△A1B1C1即所求. 4分
(2)如图,△A2B2C即所求. 8分
17.解:设竿长x尺,则绳索长(x+5)尺,
依题意得x-(x+5)=5,
解得x=15,
所以x+5=20.
答:绳索长20尺. 8分
18.解:(1)1-6×5=142-9×52. 2分
(2)第n个等式:1-6n=(3n-1)2-9n2. 5分
证明:∵右边=9n2-6n+1-9n2=-6n+1=左边,
∴1-6n=(3n-1)2-9n2. 8分
19.解:如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D,
由题意得∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°-25°=45°.
在Rt△ABD中,AB=5 km, 2分
∴BD=AB·sin 50°≈5×0.77=3.85(km), 4分
AD=AB·cos 50°≈5×0.64=3.2(km), 6分
在Rt△BDC中,CD==3.85(km),
∴AC=AD+CD=3.2+3.85≈7.1(km), 9分
∴小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离AC约为7.1 km. 10分
20.解:(1)证明:∵OA⊥BD,
∴=,
∴∠ACB=∠ACD,
即CA平分∠BCD. 4分
(2)∵BD为☉O的直径,
∴∠BAD=90°,
由(1)可知=,
∴AB=AD,
∴△ABD是等腰直角三角形,
则AD=BD=3, 6分
∠ABD=∠ADB=45°.
∵∠ACD=∠ABD,
∴∠ACD=∠ADB,即∠ACD=∠ADE,
又∵∠CAD=∠DAE,
∴△ADE∽△ACD,
∴=.
∵AD=3,AE=2,
∴AC==3. 10分
21.解:(1)100;144. 2分
补全条形统计图如图所示:
4分
(2)将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后,处在中间位置的两个数都是8分,因此成绩的中位数是8分, 6分
平均数:×(7×30+8×40+9×25+10×5)=8.05(分).
答:此次被抽取的参赛作品成绩的中位数是8分,平均数是8.05分. 9分
(3)600×=180(份).
答:估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有180份. 12分
22.解:(1)由题意知,抛物线的顶点为(6,10),
∴设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+10,
又∵抛物线经过点B(0,4),∴4=36a+10,∴a=-,
∴抛物线的表达式为y=-(x-6)2+10,
即该抛物线的表达式为y=-x2+2x+4(0≤x≤12). 4分
(2)根据题意,得货运汽车靠路面中心线行驶时,其另一侧与地面交点的横坐标为2或10,所以当x=2或x=10时,y=-×16+10=>6,∴这辆货运汽车能安全通过. 8分
(3)令y=8,则-x2+2x+4=8,∴x2-12x+24=0,
解得x1=6+2,x2=6-2,则x1-x2=6+2-(6-2)=4.
所以两排灯的水平距离最小是4 m. 12分
23.解:(1)BE=FD. 1分
证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°.
由旋转得AE=AF,∠EAF=90°,∴∠BAD=∠EAF. 2分
∵∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD,即∠BAE=∠DAF,
∴△BAE≌△DAF,∴BE=DF. 5分
(2)①由(1)得△BAE≌△DAF,∠AEB=∠AFD.
∵∠AEB+∠AEG=180°,∴∠AFD+∠AEG=180°.
在四边形AEGF中,∠AFD+∠AEG=180°,∠EAF=90°,
∴∠EGF=90°,∴△DGB是直角三角形.
∵O是斜边BD的中点,∴OG=BD.
在正方形ABCD中,AB=8,∴BD=8,∴OG=BD=4. 9分
②如图,取OB的中点H,连接HE,当点H、E、C三点共线时,线段EC的长最小.
∵E为BG中点,∴HE是△OGB的中位线,∴EH=OG=2.
过点H作HK⊥BC于点K,则△HBK是等腰直角三角形,BH=2,
∴BK=HK=2.
在Rt△HKC中,HK=2,KC=6,
∴CH=2,∴EC=CH-EH=2-2,
∴线段CE长的最小值为2-2. 14分

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