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3.5 《圆周角》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2023九上·东昌府期中）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）
A．55° B．65° C．75° D．130°
2．（2024九上·南宁月考）如图，是的直径，若，则的度数等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·潮州期末）如图，是的直径，，则（　　）
A．35° B．55° C．70° D．75°
4．（2025九上·嘉兴期末）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·临泉期末）如图，是的直径，点、在上，，则　 　度．
6．（2025九上·鹿城期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为　 　．
7．（2024九上·天台期末）如图，是的直径，内接于．若，则的度数为　 　．
8．（2024九上·广州期中）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，为弧的中点，与交于点．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
9．（2018九上·湖州期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40 时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明
二、能力提升
10．（2024九上·朝阳期中）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023九上·龙马潭月考）如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2024九上·郾城期末）如图，是的直径，垂直于弦于点D，的延长线交于点E．若，，则的长是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
13．（2024九上·哈尔滨月考）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
14．（2024九上·苏州工业园期中）如图，是的内接三角形，若，则　 　．
15．（2024九上·岱岳期末）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是　 　．
16．（2024九上·杭州期中）如图，内接于，是直径，若，则　 　．
17．（2024九上·鹿城期中）如图，是半圆的直径，且，，则的度数是 　 　．
18．（2024九上·苍南期中）如图，在中，直径交弦点E，，连接．若，则　 　度．
19．（2023九上·瑞安期末）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结 ．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20．（2024九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD，BD，
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
21．（2024九上·潮南月考）如图，是的直径，弦交于点．连接、．已知．
（1）求的度数；
（2）若点为的中点，求的度数．
三、综合拓展
22．（2024九上·浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
23．（2024九上·杭州期中）如图，AB是的直径，点是上一点，连接于，交于点.
（1）求证：OD∥AC；
（2）若BC=8，DE=2，求⊙O的半径，
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∠BOC＝130°，点A在上，
故答案为：B
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半，即可得出
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是的直径，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理得∠A=∠CDB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】圆心角的概念；圆周角的概念
【解析】【解答】∵∠D=35°，所以∠BOC=2∠D=70°
故答案为：C.
【分析】由于AB是圆的直径，∠D=35°根据圆周角的定理，可以求出圆心角∠BOC=70°
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠B=55°，最后根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数.
5．【答案】120
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=120°，
故答案为：120°.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC=60°，结合平角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=120°，即可得解．
6．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BD，由圆周角定理知得到的度数．
7．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接CO，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°．
【分析】连接CO，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得，再由等边对等角及三角形内角和定理计算即可得解．
8．【答案】（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，
∵为弧的中点，与交于点，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∵为弧的中点，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行线的判定；平行线的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得，即可解答；
（）连接，根据平行线的性质可得，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可解答．
（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，
∵为弧的中点，与交于点，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∵为弧的中点，
∴，
∴，
∴．
9．【答案】（1）解：连接OB，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=40°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=100°
∴∠ACB=∠AOB=50°
即β=50
（2）解：β=90 －α，理由如下：连接OB，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=α∴∠AOB=180 －2α
∵∠C=
∴β=90 －α
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=40°，根据三角形的内角和得出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案；
（2）连接OB，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=40°，根据三角形的内角和得出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，再整体代入即可。
10．【答案】C
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺轨作图的痕迹可得出BD平分∠ABC，
是半圆的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】首先根据尺规作图的痕迹可得出BD平分∠ABC，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ABC=40°，进而得出的度数。
11．【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据两锐角互余求出∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等解答即可．
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵是的直径，
∴∠C=90°，
∴，
∴解得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】设，则，从而可得，先根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后利用勾股定理计算可求出．
13．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到的度数，再根据三线合一得到，然后利用等边对等角解题即可．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理可求出的度数，再利用圆周角定理可求出∠A的度数.
15．【答案】90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴的度数为，
∵，
∴，
即：，
∴的度数为，
∴所对的圆周角的度数是；
故答案为：90°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及直径所对的弧是半圆得到的度数为，再根据等量加等量和相等可推出，得到的度数为，最后根据弧所对的圆周角度数等于弧的度数得一半即可得出结果．
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【解答】
解：如图所示，连接，
∵内接于，是直径，
∴，
∵，，
∴
∴，
故答案为：．
17．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”得∠BAD=∠BOD求得∠BAD的度数，在△AOE中，由三角形内角和定理求出的度数，根据平角定义求出，然后再根据圆周角定理得∠CAD=∠COD即可求解．
18．【答案】70
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵　
∴，
∵
∴，
∴
故答案为：70．
【分析】连接，利用直径所对的圆周角是直角可求出∠ADB的数，再求出∠ADC的度数，利用等边对等角可求出∠CAD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠C的度数.
19．【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）解：∵的直径垂直弦，且，
∴，
设，
∴，，
在中，，即，
解得（负值已舍），即，
在中，
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理的推论得到，然后根据推理得到，即可得到结论；
（2）设，，，在中，利用勾股定理求得，再在中，根据勾股定理解题即可．
（1）证明：∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵的直径垂直弦，且，
∴，
设，
∴，，
在中，，即，
解得（负值已舍），即，
在中，．
20．【答案】解：（1）
在中，
（2） 证明：，
，
，
，
，
.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）先根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，再根据等腰三角形等边对等角得到两底角相等，最后利用三角形的内角和求出的度数；
（2）根据等边对等角，由AB=AC得到，再利用三角形一个外角等于不相邻两个内角的和进行等量代换，即可求证.
21．【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠BOC=2∠BAC=70°，进而根据邻补角求出∠AOC=110°，最后再根据，再根据 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求出∠D的度数；
（2）先根据“弧，弦，圆心角”之间的关系得AC=CD，由等边对等角得出∠DAC=∠CDA=55°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACD=70°，最后根据三角形外角的性质得出答案．
（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
22．【答案】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴AD⊥BD，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：连接OD、OE，
∵弧DE＝50°，
∴∠EOD＝50°．
∴∠DAE＝∠DOE＝25°，
∵由（1）知，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABD＝65°．
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，得到AD⊥BC，再利用等腰三角形三线合一，得到BD=CD；
（2）利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半，得到∠DAE＝∠DOE＝25°，再利用三角形内角和即可求出∠C＝65°．
23．【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
（2）解：令⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：
由勾股定理得：
解得：
所以⊙O的直径为10.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由圆周角定理得出 再由垂径定理得出 即可得出结论；
(2)令⊙O的半径为r，由垂径定理得出 由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出⊙O的直径.
1 / 13.5 《圆周角》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础夯实
1．（2023九上·东昌府期中）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∠BOC＝130°，点A在上，
故答案为：B
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半，即可得出
2．（2024九上·南宁月考）如图，是的直径，若，则的度数等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是的直径，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理得∠A=∠CDB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出答案.
3．（2024九上·潮州期末）如图，是的直径，，则（　　）
A．35° B．55° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】圆心角的概念；圆周角的概念
【解析】【解答】∵∠D=35°，所以∠BOC=2∠D=70°
故答案为：C.
【分析】由于AB是圆的直径，∠D=35°根据圆周角的定理，可以求出圆心角∠BOC=70°
4．（2025九上·嘉兴期末）如图，是的直径，是的弦，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠B=55°，最后根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数.
5．（2024九上·临泉期末）如图，是的直径，点、在上，，则　 　度．
【答案】120
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=120°，
故答案为：120°.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC=60°，结合平角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=120°，即可得解．
6．（2025九上·鹿城期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BD，由圆周角定理知得到的度数．
7．（2024九上·天台期末）如图，是的直径，内接于．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接CO，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°．
【分析】连接CO，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得，再由等边对等角及三角形内角和定理计算即可得解．
8．（2024九上·广州期中）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，为弧的中点，与交于点．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，
∵为弧的中点，与交于点，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∵为弧的中点，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行线的判定；平行线的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得，即可解答；
（）连接，根据平行线的性质可得，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可解答．
（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，
∵为弧的中点，与交于点，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∵为弧的中点，
∴，
∴，
∴．
9．（2018九上·湖州期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40 时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明
【答案】（1）解：连接OB，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=40°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=100°
∴∠ACB=∠AOB=50°
即β=50
（2）解：β=90 －α，理由如下：连接OB，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=α∴∠AOB=180 －2α
∵∠C=
∴β=90 －α
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=40°，根据三角形的内角和得出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案；
（2）连接OB，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=40°，根据三角形的内角和得出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，再整体代入即可。
二、能力提升
10．（2024九上·朝阳期中）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺轨作图的痕迹可得出BD平分∠ABC，
是半圆的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】首先根据尺规作图的痕迹可得出BD平分∠ABC，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ABC=40°，进而得出的度数。
11．（2023九上·龙马潭月考）如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据两锐角互余求出∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等解答即可．
12．（2024九上·郾城期末）如图，是的直径，垂直于弦于点D，的延长线交于点E．若，，则的长是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵是的直径，
∴∠C=90°，
∴，
∴解得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】设，则，从而可得，先根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后利用勾股定理计算可求出．
13．（2024九上·哈尔滨月考）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到的度数，再根据三线合一得到，然后利用等边对等角解题即可．
14．（2024九上·苏州工业园期中）如图，是的内接三角形，若，则　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理可求出的度数，再利用圆周角定理可求出∠A的度数.
15．（2024九上·岱岳期末）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是　 　．
【答案】90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴的度数为，
∵，
∴，
即：，
∴的度数为，
∴所对的圆周角的度数是；
故答案为：90°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及直径所对的弧是半圆得到的度数为，再根据等量加等量和相等可推出，得到的度数为，最后根据弧所对的圆周角度数等于弧的度数得一半即可得出结果．
16．（2024九上·杭州期中）如图，内接于，是直径，若，则　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【解答】
解：如图所示，连接，
∵内接于，是直径，
∴，
∵，，
∴
∴，
故答案为：．
17．（2024九上·鹿城期中）如图，是半圆的直径，且，，则的度数是 　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”得∠BAD=∠BOD求得∠BAD的度数，在△AOE中，由三角形内角和定理求出的度数，根据平角定义求出，然后再根据圆周角定理得∠CAD=∠COD即可求解．
18．（2024九上·苍南期中）如图，在中，直径交弦点E，，连接．若，则　 　度．
【答案】70
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵　
∴，
∵
∴，
∴
故答案为：70．
【分析】连接，利用直径所对的圆周角是直角可求出∠ADB的数，再求出∠ADC的度数，利用等边对等角可求出∠CAD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠C的度数.
19．（2023九上·瑞安期末）如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结 ．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）解：∵的直径垂直弦，且，
∴，
设，
∴，，
在中，，即，
解得（负值已舍），即，
在中，
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理的推论得到，然后根据推理得到，即可得到结论；
（2）设，，，在中，利用勾股定理求得，再在中，根据勾股定理解题即可．
（1）证明：∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵的直径垂直弦，且，
∴，
设，
∴，，
在中，，即，
解得（负值已舍），即，
在中，．
20．（2024九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD，BD，
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
【答案】解：（1）
在中，
（2） 证明：，
，
，
，
，
.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）先根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，再根据等腰三角形等边对等角得到两底角相等，最后利用三角形的内角和求出的度数；
（2）根据等边对等角，由AB=AC得到，再利用三角形一个外角等于不相邻两个内角的和进行等量代换，即可求证.
21．（2024九上·潮南月考）如图，是的直径，弦交于点．连接、．已知．
（1）求的度数；
（2）若点为的中点，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠BOC=2∠BAC=70°，进而根据邻补角求出∠AOC=110°，最后再根据，再根据 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求出∠D的度数；
（2）先根据“弧，弦，圆心角”之间的关系得AC=CD，由等边对等角得出∠DAC=∠CDA=55°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACD=70°，最后根据三角形外角的性质得出答案．
（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
三、综合拓展
22．（2024九上·浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴AD⊥BD，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：连接OD、OE，
∵弧DE＝50°，
∴∠EOD＝50°．
∴∠DAE＝∠DOE＝25°，
∵由（1）知，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABD＝65°．
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，得到AD⊥BC，再利用等腰三角形三线合一，得到BD=CD；
（2）利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半，得到∠DAE＝∠DOE＝25°，再利用三角形内角和即可求出∠C＝65°．
23．（2024九上·杭州期中）如图，AB是的直径，点是上一点，连接于，交于点.
（1）求证：OD∥AC；
（2）若BC=8，DE=2，求⊙O的半径，
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
（2）解：令⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：
由勾股定理得：
解得：
所以⊙O的直径为10.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由圆周角定理得出 再由垂径定理得出 即可得出结论；
(2)令⊙O的半径为r，由垂径定理得出 由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出⊙O的直径.
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