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2025~2026学年度第一学期高二年级第一次阶段测试联考试卷2025.10
数学
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷满分150分，考试时间为150分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2.答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置。 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效。 4.如需左图，必须用2B铅笔绘、写清楚。线条、符号等须加黑、加粗。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
3. 已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ）
A. B. C. D.
4. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．方程的化简结果是（　　）
A． B． C． D．
6. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C．7 D．
8. ．已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分）
A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为90°
C．若，则或 D．存在实数m使得
10. 已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．两圆相交 B．直线的方程为
C．两圆有两条公切线 D．线段的长为
11. 已知直线：，若，，能围成正三角形，则该正三角形的面积的值可能为( )
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 两条平行直线＝与＝的距离是 .
13. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为
14. 已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明和证明过程）
15. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.
(1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；
(2)若，的面积为4，求b的值.
16. 已知直线.
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
17. 已知圆C过，，且圆心C在x轴上.
(1)求圆C的周长；
(2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；
18. VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点.
(1)求成功点的轨迹方程；
(2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围.
19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”
(1)求点P所在曲线的方程.
(2)已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线的方程.
（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.B
5.C
6.C
7.D
8.B
9.ABD
10.ACD
11.AD
12.
13.1
14.
15.（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得.
又因为，，，所以.
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，.
由勾股定理可得.
又，即.
在椭圆中有，将变形为，即，解得.
16.（1）由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，
综上所述：所求直线方程为或.
17.（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
又圆C过，得 ，
解得，，所以圆的方程为，
其周长为；
（2）因为直线与圆C截得的弦长为，
所以圆心C到直线的距离为，
①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意；
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线，
综上所述，直线的方程为或；
18.（1）解：设，，机器人运动速度为，
由题意可得，化简得.
由于点在矩形场地内，则.
所以成功点的轨迹方程为.
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：，
直线与点的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得，解得.
则点纵坐标，
又因为，所以.
19.（1）因为点P为圆A的“黄金点”，
所以，即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，
故点P所在曲线的方程为
（2）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则
所以，即点P在圆上，
则P是圆和的交点.
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，
故直线的方程为.
( ii )设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为.
直线的方程为，得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，
则，所以圆H的方程为.
假设轴上存在点满足题意，设，.
若轴平分，则，即，
整理得
又，所以代入上式可得，
整理得①，
由可得，
所以，代入①并整理得，
此式对任意的都成立，所以.
故轴上存在点，使得轴平分.

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