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2025-2026学年河南省南阳市某校高二上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点 (0,4)和点 (1,2)，则直线 的斜率为( )
A. 3 B. 2 C. 2 D.不存在
2 1.直线 = 的图象可能是( )
A. B. C. D.
3.已知 的三个顶点为 (1,2)， (3,6)， (5,2)， 为 的中点， 为 的中点，则中位线 所在直线
方程为
A. 2 + 8 = 0 B. 2 + 8 = 0 C. 2 + 12 = 0 D. 2 12 = 0
4.下列说法中不正确的是( )．
A.平面上任一条直线都可以用一个关于 ， 的二元一次方程 + + = 0( ， 不同时为 0)表示
B.当 = 0 时，方程 + + = 0( ， 不同时为 0)表示的直线过原点
C.当 = 0， ≠ 0， ≠ 0 时，方程 + + = 0 表示的直线与 轴平行
D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
5.两条直线 = 32 ，6 4 + 13 = 0 之间的距离为( )
A. 13 B. 132 C.
13
4 D. 13
6 1.已知椭圆的离心率为2，焦点是( 3,0)和(3,0)，则椭圆方程为( )
2 2 2
A. + = 1 B. +
2 2 2 2 2
36 27 6 3 = 1 C. 27 + 36 = 1 D. 9 + 6 = 1
7.已知向量 = (3,1), = (2,2)，则 cos + , =( )
A. 1 17 5 2 517 B. 17 C. 5 D. 5
8.在直三棱柱 1 1 1中， 1 = 2， = 1， = 3，∠ = 150°，该直三棱柱的外接球表面积
为( )
A. 16π B. 29π C. 32π D. 36π
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列结论，其中说法正确的是( )
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A.若(1, )是直线 的一个方向向量，则 是该直线的斜率
B.若直线 的斜率是 ，则(1, )是该直线的一个方向向量
C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
10.计算下列几个式子，结果为 3的是( )
A. tan25° + tan35° + 3tan25°tan35° B. 2 sin35°cos25° + sin55°cos65°
tanπ
C. 6 D. 1+tan15°1 tan2π6 1 tan15°
11.下列说法正确的有( )
A.直线 = 2 ( ∈ )必过定点(2,0)
B.直线 + 1 = 3 在 轴上的截距为 1
C. 2π直线 + 3 + 1 = 0 的倾斜角为 3
D.经过任意两个不同点 1 1, 1 , 2 2, 2 的直线都可用方程 2 1 1 = 2 1 1 表示
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若直线 的斜率 的取值范围是 0, 3 ，则该直线的倾斜角 的取值范围是 ．
13.设函数 ( ) = sin( + ) + cos( + )对任意的 ( ∈ R)均满足 ( ) = ( )，则 tan =
14.过点 (1,2)且在两坐标轴上截距的和为 0 的直线方程为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知点 (2,2)和直线 ：3 + 4 20 = 0．
(1)求过点 ，且和直线 平行的直线方程；
(2)求过点 ，且和直线 垂直的直线方程．
16.(本小题 12 分)
根据下列条件，求圆的方程．
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)经过点 ( 4, 5), (6, 1)，且以线段 为直径的圆的方程；
(3)已知 的三个顶点为 (1,4), ( 2,3), (4, 5)，求 的外接圆方程．
17.(本小题 12 分)
3π
已知函数 ( ) = 2sin π cos 2 3cos2 2 + 3．
(1)求 ( )的最小正周期及单调递减区间；
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(2)将 ( )图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，再将 ( ) π的图象向右平移12个单位后，再将纵坐标变为
1
原来的2，最终得到 = ( )的图象，若 ∈
π , π2 2 ，满足不等式 2 ( ) sin2 ≤ 2
2 3 ，求 的取
值范围．
18.(本小题 17 分)
锐角三角形 中，角 , , 的对边分别为 , , , = 3且 2 = 2 cos + ．
(1)求 ；
(2)求三角形 周长的取值范围；
(3)求三角形 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 2 的菱形，∠ = 60°， = ， = 3， = 3，
点 为棱 的中点．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0 ≤ < 60
13.1
14.2 = 0 或 + 1 = 0
15.【详解】(1)因为所求直线与 ：3 + 4 20 = 0 平行，
所以设所求直线方程为 3 + 4 + = 0．
又因为所求直线过点 (2,2)，所以 3 × 2 + 4 × 2 + = 0，
所以 = 14，
故所求直线方程为 3 + 4 14 = 0．
(2)因为所求直线与直线 ：3 + 4 20 = 0 垂直，
所以设所求直线方程为 4 3 + = 0．
又因为所求直线过点 (2,2)，所以 4 × 2 3 × 2 + = 0，
所以 = 2，
故所求直线方程为 4 3 2 = 0．
16.【详解】(1)所求圆的标准方程为：( 4)2 + ( 0)2 = (4 2)2 + (0 2)2，
即( 4)2 + 2 = 8．
(2)所求圆的直径式方程为：( + 4)( 6) + ( + 5)( + 1) = 0，
即( 1)2 + ( + 3)2 = 29．
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(3)设所求圆的方程为 2 + 2 + + + = 0．
1 + 16 + + 4 + = 0 = 2
由题意得： 4 + 9 2 + 3 + = 0，解得 = 2．
16 + 25 + 4 5 + = 0 = 23
所以所求圆的一般方程为 2 + 2 2 + 2 23 = 0．
17.【详解】(1) ( ) = 2sin π cos 2 3cos2 3π2 + 3
= 2sin cos + 3 1 2sin2 = sin2 + 3cos2 ，
所以 ( ) = 2sin 2 + π3 ，
2π
所以 ( )的周期为 2 = π，
2 π + π ≤ 2 + π ≤ 2 π + 3π由 2 3 2 , ∈ Z 得 π +
π
12 ≤ ≤ π +
7π
12 , ∈ Z，
所以 ( ) π的单调递减区间为 π + 12 , π +
7π
12 , ∈ Z．
(2) π将 ( )图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，即可得到 = 2sin + 3 ，
π π π π
再将 ( )的图象向右平移12个单位，得到 = 2sin + 3 12 = 2sin + 4 ，
1 ( ) = sin + π再将纵坐标变为原来的2，即可得到 4 ，
∈ π因为 2 ,
π
2 ， 2sin +
π
4 sin2 ≤ 2
2 3 ，
π π
所以当 ∈ 2 , 2 ，时， 2sin +
π 2
4 sin2 ≤ 2 3 min
π
= 2sin + 4 sin2 = sin + cos 2sin cos
= sin + cos + 1 sin + cos 2，
令 = sin + cos ， ∈ π2 ,
π
2 ，则 = 2sin +
π
4 ∈ 1, 2
2
= + 1 2 = 12 +
5
4，所以当 = 1 时， =
2 + + 1 取得最小值，最小值为 1
所以 1 ≤ 2 2 3 1，解得 ≥ 1 或 ≤ 2，
故 1的取值范围为 ∞, 2 ∪ [1, + ∞)．
18.【详解】(1)由正弦定理：2sin( + ) = 2sin = 2sin cos + sin ，
则 2sin cos + 2sin cos = 2sin cos + sin ，
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所以 cos = 1 π π2，根据 0 < < 2得： = 3．
(2) 由正弦定理：sin = sin = sin = 2，所以 = 2sin , = 2sin ，
+ = 2sin + 2sin = 2sin + 2sin 2π3 = 3sin + 3cos = 2 3sin +
π
6 ，
π 2π
注意到 0 < < 2 , 0 < 3 <
π π
2，所以6 < <
π
2，
所以 + π6 ∈
π , 2π3 3 , sin +
π ∈ 36 2 , 1 ,
所以 + ∈ 3,2 3 ,
所以周长的取值范围是 3 + 3, 3 3 ．
(3)余弦定理：3 = 2 = 2 + 2 ≥ 2 = ，
1 π 3 3
所以三角形 面积为2 sin 3 ≤ 4 ，
当且仅当 = = 3 3 3时，即 为等边三角形时，三角形 面积取最大值 4 ．
19.【详解】(1)证明：连接 交 于点 ，再连接 ，如图所示．
在 中， = ， 是 的中点，所以 ⊥ ，
又四边形 是边长为 2 的菱形，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)因为四边形 是边长为 2 的菱形，∠ = 60°，
所以可求得 = cos30° = 3，所以 = 2 = 2 3．
因为 = 3， = 3， = 2 3，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，且∠ = 30°，
所以 = 12 = 3，又 ⊥ ，所以 = =
2 + 2 = 2．
取 的中点 ，连接 ， ，如图所示．
在 中， = 2， = 2， = 3，点 是 的中点，
2
所以 ⊥ 13，且 = 2 2 = 2 ．
同理可得 ⊥ ， = 132 ，所以二面角 的平面角为∠ ，
在 中， = 132 ， =
13
2 ， = 2，
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2 2 2 13+13 4
cos∠ = + 4 4 5 5由余弦定理得 2 = = ，即二面角 的余弦值为 ．2× 13× 13 13 132 2
(3)由(2)知 = = = 3，取 的中点 ，连接 ．
在 中， ⊥ 3，所以根据勾股定理得 = 2．
1 1 13 39
由(2)知 的面积 = 2 = 2 × 3 × 2 = 4 ．
因为点 是 的中点，所以 =
1 = 1 = 1 × 1 × 1 × 2 × 2sin120° × 3 = 32 2 2 3 2 2 4 ，
1 1 39 39 3设点 到平面 的距离为 ，所以 = 3 = 3 × 4 = 12 = = 4 ，
3 13
解得 = 13 ，
3 13
又 = 2 + 2 = 21 2 2732 ，设直线 与平面 所成角为 ，所以 sin = =
13
21 = 91 ，
2
2 273
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 91 ．
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