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2025-2026学年山东省聊城市某校高一上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3}, = { | ≤ 0, ∈ }，则 ∩ =( )
A. | 1 < < 0 B. 0,1,2,3 C. |0 < < 3 D. 1,0
2.若 , , ∈ ，则下列命题正确的是( )
A.若 < ，则 + > B.若 2 > 2，则 >
C. +1 若 > , > ，那么 + > + D.若 > > 0，则 +1 <
3.设 , ∈ R，则“ > ”是“| | > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.命题“ ∈ Z， Z”的否定是( )
A. ∈ Z， Z B. ∈ Z， Z C. ∈ Z， ∈ Z D. Z， ∈ Z
5.若 1 < < < 1，则下面各式中恒成立的是( )．
A. 2 < < 0 B. 2 < < 1
C. 1 < < 0 D. 1 < < 1
6.已知不等式 2 + + 4 < 0 的解集非空，则 的取值范围是( )
A. { | 4 < < 4} B. { | < 4 或 > 4}
C. { | < 2 或 > 2} D. { | 2 < < 2}
7.已知集合 = 2 2 < 0 ， = 2 1 < < + 3 ，若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要
条件，则 的取值范围为( )
A. [ 1,0] B. ( 1,0) C. [4, + ∞) D. (4, + ∞)
8 > 0, > 0 + = 2 1+ 2 .已知 ，且 ，则 + 2 的最小值为( )
A. 9 B. 2 52 9 C. 2 D. 5
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合 = {1,2, 2}， = {1, + 2}，若 ∪ = ，则 的取值可以是( )
A. 1 B. 0 C. 2 D. 2
10.已知关于 的不等式 2 + + > 0 的解集为 | < 2或 > 4 ，则( )
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A. > 0
B.不等式 + > 0 的解集为 < 4
C. + + > 0
D.不等式 2 + < 0 1 1的解集为 < 4或 > 2
11.已知 > 0, > 0，且 + = 2，则下列结论中错误的是( )
A. 2+ 2 有最小值 4 B. 有最小值 1
C. 2 + 2 有最大值 4 D. + 有最小值 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知集合 = 1,2 ， = 2,3 ，若 = { | ∈ 且 }，则 =
13.若关于 的不等式 2 + + 2 > 0 的解集是( 2,3)，则 + = ．
14 2 .若对任意 > 0, ≥ 2+ +1恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知关于 的不等式 2 3 + 2 > 0 的解集为( ∞,1) ∪ (2, + ∞)．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求关于 的不等式 2 ( + 2) + 2 < 0 的解集．
16.(本小题 15 分)
求下列函数的最值
2
(1)求函数 = +2 1 ( > 1)的最小值．
(2)若正数 , 满足 + 3 = 5 ，求 3 + 4 的最小值．
17.(本小题 15 分)
已知 : 2 ≤ ≤ 10, : 1 ≤ ≤ 1 + ( > 0)．
(1)若 是 的必要条件，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的充分条件，求实数 取值范围；
(3)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在① R ，② R ∪ = R，③ ∩ = 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
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已知集合 = 1 < < 4 , = + 1 < < 2 1 ，是否存在实数 ，使得_____________？若存在，
求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
南京某学校设计如图所示的环状田径场，该田径场的内圈由两条平行线段(图中的 ， )和两个半圆构成，
设 为 m，且 ≥ 80．
(1) 16200若图中矩形 的面积为 m2 ，则当 取何值时，内圈周长最小？
(2)若内圈的周长为 400m，则当 取何值时，矩形 的面积最大？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.0
14.[ 23 , + ∞)
15.解：(1)由题意可知， 2 3 + 2 = 0 的根是 1 和 2，
1 + 2 = 3
所以 2，解得： = 1， = 4；1 × 2 =
(2)由(1)知， = 1， = 4，
所以不等式为 2 ( + 2) + 2 < 0，即( 2)( ) < 0，
当 = 2 时，不等式的解集为 ，
当 > 2 时，不等式的解集为 2 < < ，
当 < 2 时，不等式的解集为 < < 2 ．
16.解：(1)因为 > 1，即 1 > 0，
= ( 1)
2+2( 1)+3
所以 1 = ( 1) +
3 3
1 + 2 ≥ 2 3 + 2，当且仅当 1 = 1即 = 3 + 1 时等号成立，
故函数 的最小值为 2 + 2 3．
(2)由 + 3 = 5 1 3得5 + 5 = 1，
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则 3 + 4 = (3 + 4 ) 15 +
3 3 12 13 13 36
5 = 5 + 5 + 5 ≥ 5 + 2 25 = 5，
12 3
当且仅当 5 = 5 ，结合 + 3 = 5 ，解得 =
1
2 , = 1 时等号成立，
故 3 + 4 的最小值为 5．
> 0
17.解：(1)因为 是 的必要条件，所以 1 ≥ 2 0 < ≤ 3．
1 + ≤ 10
所以实数 的取值范围为(0,3]．
> 0
(2)因为 是 的充分条件，所以 1 ≤ 2 ≥ 9．
1 + ≥ 10
所以实数 的取值范围为[9, + ∞)．
(3)因为 是 的充分不必要条件，
所以命题 所表示的集合[ 2,10]是命题 所表示的集合[1 ,1 + ]的真子集．
由(2)可知，当 ≥ 9 时，集合[ 2,10] [1 ,1 + ]．
又因为 1 = 2 与 1 + = 10 不能同时成立(前者解得 = 3，后者解得 = 9)，
所以两个集合不可能相等.故 是 的充分不必要条件的充要条件与 是 的充分条件等价，
所以实数 的取值范围为[9, + ∞)．
18.解：选①：因为 = 1 < < 4 ，所以 R = ≥ 4 或 ≤ 1 ，
当 + 1 ≥ 2 1 时，即当 ≤ 2 时， = ，符合 R ；
当 + 1 < 2 1 时，即当 > 2 时，要想 R ，
只需 2 1 ≤ 1，或 + 1 ≥ 4，解得 ≤ 1，或 ≥ 3，而 > 2，
所以 ≥ 3，
综上所述：实数 的取值范围为 ≥ 3 ，或 ≤ 2 ；
选②：因为 = 1 < < 4 ，所以 R = ≥ 4 ∪ ≤ 1 ，
因为 R ∪ = R，
+ 1 < 2 1
所以有 + 1 ≤ 1 ∈ ，故不存在实数 ，使 ∪ = R 成立；
2 1 ≥ 4
选③：若 ∩ = ，所以
当 + 1 ≥ 2 1 时，即当 ≤ 2 时， = ，符合 ，
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当 + 1 < 2 1 时，即当 > 2 时，因为 ，
1 ≤ + 1
所以 2 1 ≤ 4 0 ≤ ≤
5 5
2，而 > 2，所以 2 < ≤ 2，
5
综上所述：实数 的取值范围为 ≤ 2 ．
19. (1) = 16200解： 2矩形 m ，
16200
= = 16200则 m，
16200
则内圈周长为 2 + = 2 +
16200
≥ 2 2
16200
= 360 米，
16200
当且仅当 2 = ,
> 0
即 = 90 时，取到最小值 360 米．
(2)内圈周长为 400 米，
= 400 2 则 ，
则 矩形 =
400 2
=
= 2( 100)
2+20000
，
故当 = 100 20000时，取最大值 平方米．
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