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2025-2026学年四川省华蓥中学高一上学期 9月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各对象可以组成集合的是( )
A.与 1 非常接近的全体实数
B.新学期 2025～2026 学年度第一学期全体高一学生
C.高一年级视力比较好的同学
D.高中学生中的游泳高手
2.设全集 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，集合 = {1,3,5,7}， = {6,7,8}，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A. {6,8} B. {6,7,8} C. {1,3,5} D. {1,2,3,4,5}
3.已知集合 = ( , )∣ = , = ( , )∣ = 3 6 ，则 ∩ =( )
A. B. 3
C. (3,3) D. (3,3), ( 3, 3)
4.满足 1,2 1,2,3,4,5 的集合 的个数为( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 16
5.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”(人在
阵地在，人不在阵地在不在不知道)，由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的( )
A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.充分不必要条件
6.下列六个关系式：① , , ；② , = , ；③ 0 = ；④0 ∈ 0 ；⑤ ∈ 0 ；⑥ 0 ，
其中正确的个数为( )
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
7.《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列 2025 年我国暑期档票房前三名．高一(1)班
共有 28 名同学，有 15 人观看了《南京照相馆》，有 8 人观看了《浪浪山小妖怪》，有 14 人观看了《长
安的荔枝》，有 3 人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有 3 人同时观看了《南京照相馆》
和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为( )
A. 6 人 B. 7 人 C. 8 人 D. 9 人
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8.已知 : ∈ , 2 + 2 3 = 0, : ∈ , 2 + 2 + > 0，若存在量词命题为真，全称量词命题为假，
则实数 的取值范围是( )
A. ∣ > 1 B. ≥ 13
C. 13 ≤ ≤ 1 D. ∣ ≤ 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)下列说法错误的是( )
A.在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 ( , ) > 0
B.方程 2 + | + 2| = 0 的解集为 2,2
C. < 8 ，且 > 5 中的元素个数为 0
D.若 = ∈ 1 ≤ ≤ 1 ，则 1.1 ∈
10.已知 > > > 0，则下列说法正确的有( )
A. 1 1 2 < 2 B.
> C. > D. > + +
11 .已知非空数集 具有如下性质：①若 , ∈ ，则 ∈ ；②若 , ∈ ，则 + ∈ .下列说法中正确的
有( )．
A. 1 ∈ ． B. 2025 ∈ ．
C.若 , ∈ ，则 ∈ ． D.若 , ∈ ，则 ∈ ．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.全称量词命题 : ≥ 1, 2 < 0，它的否定 ：
13.若关于 的不等式 2 2 + + < 0 的解集为(1,4)，则 的值为 ．
14.集合 = 1,2,3, , 2 ，非空集合 ，且满足：对任意 ∈ ，均存在 ∈ ，使 = 2 .记符合要求
的 的个数为 ( ).则 (2) = ； (2 + 1) = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
解下列二次不等式
(1)( 3)( + 2) > 0；
(2) 2 2 + 2 > 0；
(3) 2 + 2 1 < 0．
16.(本小题 15 分)
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(1)已知：设 = 1,2,3,4,5,6,7,8 , = 2,4,5 , = 3,4,5 ，求： ∩ , ∪ ；
(2) 已知 1 < < 3, 2 < < 1，求 2 + 3 , 3 , 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
设集合 = | + 1 < < 2 + 1 ， = | 2 3 10 ≤ 0 ．
(1)若 = 2，求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
设集合 = 2 8 + 12 = 0 ， = 2 + 2( + 1) + 2 13 = 0 ．
(1)若 ∩ = 2 ，求实数 的值；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围；
(3)若全集 = ， ∩ = ，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
某学校因为学生活动区域紧张，为了更好地为学生提供活动场地，决定在一块长 = 300 米，宽 = 200
米的矩形地块 上施工，规划建设占地如图中矩形 的学生活动中心，要求顶点 在地块的对角线
上， 、 分别在边 、 上，假设 长度为 米．
(1)记矩形面积为 ，试用 表示 ；
(2)要使矩形活动区域 的面积不小于 14400 平方米， 的长度应在什么范围？
(3)长度 和宽度 分别为多少米时矩形活动区域 的面积最大？最大值是多少平方米？
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参考答案
1.
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10.
11.
12. 0 ≥ 1, 20 0 ≥ 0
13. 18
14.3；2 +1 1
15.解：(1)因为方程( 3)( + 2) = 0 的两根为 = 3, = 2，
所以不等式( 3)( + 2) > 0 的解集为 | < 2或 > 3 ；
(2)对于方程 2 2 + 2 = 0， = ( 2)2 4 × 2 = 4 < 0，
所以不等式 2 2 + 2 > 0 的解集为 ；
(3)原不等式 2 + 2 1 < 0 为 2 2 + 1 > 0，
即为( 1)2 > 0，解得 ≠ 1，
所以原不等式的解集为 | ≠ 1 ．
16.解：(1)由 = 1,2,3,4,5,6,7,8 , = 2,4,5 , = 3,4,5 ，
得 = 1,3,6,7,8 ，则 ∩ = 4,5 ， ∪ = 1,3,4,5,6,7,8 ；
(2)由于 1 < < 3, 2 < < 1，故 2 < 2 < 6, 6 < 3 < 3，
则 4 < 2 + 3 < 3；
又 3 < 3 < 9,1 < < 2，故 4 < 3 < 11；
又 1 < < 3, 1 < 1 <
1 1 1 1 1
2，则2 < < 1，故2 < < 3，则 3 < < 2．
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17.解：(1)当 = 2， = 3 < < 5 ， = 2 ≤ ≤ 5 ，
∴ ∪ = 2 ≤ ≤ 5 ，
∩ = { 2 ≤ ≤ 3 或 = 5}．
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
所以
①当 = 时，即 + 1 ≥ 2 + 1，解得 ≤ 0，
> 0
②当 ≠ 时，则{ +1 2 且等号不同时成立，
2 + 1 5
解得 0 < ≤ 2．
综上： ≤ 2．
18.解：(1) = 2 8 + 12 = 0 = 2,6 ， = 2 + 2( + 1) + 2 13 = 0 ．
∵ ∩ = 2 ，∴ 2 ∈ ，则22 + 2( + 1)2 + 2 13 = 0，
即 2 + 4 5 = 0，解得 = 1 或 5．
验证：当 = 1 时， = 2 + 4 12 = 0 = 6,2 ，
则 ∩ = 2 ，满足题意；
当 = 5 时， = 2 8 + 12 = 0 = ，
则 ∩ = 2,6 ，不满足题意．
综上可知，若 ∩ = 2 ，则 = 1．
(2)若 ∪ = ，则 ，又 = 2,6 ，
①当 = 时，则关于 的方程 2 + 2( + 1) + 2 13 = 0 没有实数根，
则 = 4( + 1)2 4( 2 13) = 8( + 7) < 0，解得 < 7，
故当 < 7 时， = 满足题意；
②当 ≠ ，即 ≥ 7 时，
若集合 中只有一个元素，则 = 8( + 7) = 0，
即当 = 7 时， = 2 12 + 36 = 0 = 6 2,6 ， ，满足题意；
若集合 中有两个元素，则 = 8( + 7) > 0，
即当 > 7 时，要使 ，则 = = 2,6 ，
所以 2 和 6 是方程 2 + 2( + 1) + 2 13 = 0 的两根，
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2 + 6 = 2( + 1)
则由韦达定理得 ，解得 = 5，满足条件 > 7．
2 × 6 = 2 13
综上所述， ≤ 7 或 = 5．
所以，若 ∪ = ，则实数 的取值范围为( ∞, 7] ∪ 5 ．
(3)若全集 = ， ∩ = ，则 ，即 ∩ = ．
= 2 8 + 12 = 0 = 2,6 ， = 2 + 2( + 1) + 2 13 = 0 ．
故 2 ，且 6 ，
则22 + 4( + 1) + 2 13 ≠ 0，且62 + 12( + 1) + 2 13 ≠ 0，
解得 ≠ 1 且 ≠ 5 且 ≠ 7．
若 ∩ = ，则实数 的取值范围为( ∞, 7) ∪ ( 7, 5) ∪ ( 5,1) ∪ (1, + ∞)．
19.解：(1)
∵四边形 , 为矩形， 为矩形 对角线上的点，
∴ ∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ △ ，
∴ = ，
又∵ = 300, = 200, = ，
∴ 300 200300 = ，
∴ = 23 (300 )，
∵ = ，
∴ = = 23 (300 ) =
2 23 + 200 (0 < < 300)．
(2)由(1)知， = ，矩形活动区域 的面积与 2的关系为： = 23 + 200 (0 < < 300)，
2
要使矩形活动区域 的面积不小于 14400 平方米，则 = 23 + 200 14400 ≥ 0，
原不等式化简得 2 300 + 21600 ≤ 0，解得 120 ≤ ≤ 180，
∴ 的长度为[120,180]米．
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(3) (1) = = 2由 知， ，矩形活动区域 的面积与 的关系为： 23 + 200 (0 < < 300)，
∵ = 23
2 + 200 = 23
2 300 + 1502 + 2 2 2 23 × 150 = 3 ( 150) + 15000 ≤ 15000，
∴当 = 150 时，函数取最大值 = 15000，
又∵ = ，
∴ = 150 米， = 100 米，最大面积为 15000 平方米．
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