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2025-2026学年浙江省平湖市当湖高级中学高二上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3 = 0 的倾斜角为( )
A. π B. π C. π D. 2π3 6 4 3
2.已知向量 = (2,4, )， = (2, , 2)，若 = 6， ⊥ ，则 + 的值是( )
A. 3 或 1 B. 3 或 1 C. 3 D. 1
3.过点 (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A. 4 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 1 条
4.圆 1: 2 + 2 = 4 与圆 2: ( 2)2 + ( 3)2 = 9 的位置关系是( )
A.内含 B.内切 C.外离 D.相交
5.已知从点( 1,5)发出的一束光线，经过直线 2 + 2 = 0 反射，反射光线恰好过点(2,7)，则反射光线
所在的直线方程为( )
A. 2 + 11 = 0 B. 4 1 = 0 C. 4 + 15 = 0 D. + 9 = 0
6.在平行六面体 1 1 1 1中， = = 1 = 1，∠ = ∠ 1 = ∠ 1 = 60 ，则 1的长
为( )
A. 3 B. 6 C. 3 D. 6
7.若直线 = ( 3) 1 与曲线 ： = 2 2有两个不同的公共点，则 的取值范围是( )
A. 1, 17 B.
3+ 2
7 ,
1
7
C. 1, 3+ 2 D. ( ∞, 1) ∪ 3+ 27 7
8.已知在边长为 的正方体 1 1 1 1中， , 分别为 , 上的动点，且 = .当 1 的体
积取最大值时，平面 1 与平面 的夹角的正切值为( )
A. 2 B. 33 C.
6
3 D. 2 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知直线 ： + (2 3) 3 = 0 与 ：( + 2) + 6 = 0，则下列选项正确的是( )
A.当 = 2 时， // B. 1当 = 3时， ⊥
C.若 // ，则 ， 10间的距离为 2 D.原点到 的距离的最大值为 5
10.下列结论正确的是( )
A.若直线 ： + = 1 与圆 ： 2 + 2 = 14相交，则点( , )在圆 的外部
B.直线 3 + 1 = 0 被圆( 2)2 + ( 2)2 = 4 所截得的最长弦长为 2 2
C.若圆 2 + 2 = 2上有 4 个不同的点到直线 2 = 0 的距离为 1，则有 > 2 + 1
D.若过点 1, 3 作圆 ： 2 + 2 = 2的切线只有一条，则切线方程为 + 3 4 = 0
11.如图，点 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1的侧面 1 1上的一个动点(包含边界)，则下列结论
正确的是( )
A.当 ⊥ 1时，点 一定在线段 1 上
B.当 为 1 的中点时，三棱锥 的外接球的表面积为 2π
C.当点 在棱 1上运动时，| | + 1 的最小值为 3 + 1
D. 3线段 1上存在点 ，使异面直线 1与 所成角的正切值为4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.点 ( 1,2)到直线 ：2 + 5 = 0 的距离为 ．
13.过点( 2,3)与圆( + 1)2 + 2 = 1 相切的直线方程为 ．
14.已知矩形 ， = 20， = 15，沿对角线 将 折起，使得 = 481，则 与平面
所成角的正弦值是
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知两点 (2, 5), ( 4,3)，直线 : 2 4 = 0．
(1)若直线 1经过点 ，且 1 ⊥ ，求直线 1的方程；
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(2)若圆 的圆心在直线 上，且 ， 两点在圆 上，求圆 的方程．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ⊥底面 ， = 2， 为 的中点，
为 的中点，解答以下问题：
(1)证明：直线 //平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，底面 是以 为斜边的等腰直角三角形，侧面 1 1为菱形，∠ 1 =
60°， 1 = 1 = 2．
(1)证明：平面 1 1 ⊥平面 ；
(2)若 为棱 1 1中点，求直线 与平面 1 1所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
如图 1，在边长为 2 的菱形 中，∠ = 60°, ⊥ 于点 ，将 沿 折起到 1 的位置，
使 1 ⊥ ，如图 2．
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(1)求多面体 1 的体积；
(2)求二面角 1 的余弦值；
(3) 在线段 上是否存在点 ，使平面 1 ⊥平面 1 ？若存在，求出 的值；若不存请说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知圆 : ( 2)2 + 2 = 16， 是圆 上动点， 为圆 与 轴负半轴交点， 是 中点．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)过点 (1,0)的直线与点 的轨迹交于 ， 两点( 在 轴上方)，问在 轴正半轴上是否存在定点 ，使得
轴平分∠ ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12. 5
13. = 2 或 4 + 3 1 = 0
14.6 1443481
15.(1)解：直线 : 2 4 = 0 的斜率为 2，
设直线 11的斜率为 ，由 1 ⊥ ，得 2 = 1，解得 = 2，
又直线 1经过点 (2, 5)，
所以直线 1的方程为 ( 5) =
1
2 ( 2)，即 + 2 + 8 = 0．
(2)方法一： 3+5 4 3 = 4 2 = 3，所以 的中垂线的斜率为4，
又 的中点为( 1, 1)，所以 的中垂线的方程为 + 1 = 34 ( + 1)
3 1
，即 = 4 4．
因为 , 两点在圆 上，所以圆心 在 的中垂线上，
= 3 1 = 3,
又圆心 在直线 上，由 4 4 ,得 即圆心 的坐标为(3,2)，
2 4 = 0, = 2,
又圆 的半径 = | | = (3 2)2 + (2 + 5)2 = 5 2，
所以圆 的方程为( 3)2 + ( 2)2 = 50．
方法二：因为圆 的圆心在直线 上，所以可设圆心 的坐标为( , 2 4)，半径为 ，
所以圆 的方程为( )2 + ( 2 + 4)2 = 2，
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又 ， 两点在圆 上，
(2 )2 + ( 5 2 + 4)2 = 2 = 3,
所以 ，解得
( 4 )2 + (3 2 + 4)2 = 2 = 5 2.
所以圆 的方程为( 3)2 + ( 2)2 = 50．
16.(1)因为四棱锥 中， ⊥底面 ， , 底面 ，且底面 是正方形，
所以 , , 两两垂直，
以 为原点， , , 分别为 , , 轴建立如图所示坐标系，
则由题意可得 (0,0,1)， (2,1,0)， (0,0,2)， (2,2,0)， (0,2,0)，
所以 = (2,1, 1)， = (2,2, 2)， = (0,2, 2)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
= 2 + 2 2 = 0
则

，取 = 1 可得平面 的一个法向量 = (0,1,1)，
= 2 2 = 0
因为 = 2 × 0 + 1 × 1 + ( 1) × 1 = 0，又 平面 ，
所以直线 //平面 ．
(2)由(1)得 = (0,1,0)，平面 的一个法向量 = (0,1,1)，
1 2
所以点 到平面 的距离 = = 2 = 2 ．
17.(1)取 中点 ，连结 1 ， 1 ， ，
由题意，在 1 中， 1 = = 2，∠ 1 = 60°，
所以 1 为等边三角形，所以 1 ⊥ ，
因为底面 是以 为斜边的等腰直角三角形，所以 ⊥ ，
所以，∠ 1 为二面角 1 的平面角，
在 1 中， 1 = 3， = 1， 1 = 2，
所以 1 2 + 2 = 21 ，
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可得 1 ⊥ ，所以∠ 1 = 90°，
所以，平面 1 1 ⊥平面 ．
(2)以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立如图空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (1,0,0)， 1 0,0, 3 ， (0, 1,0)， (0,1,0)．
所以 = (1,1,0)， 1 = 0,1, 3 ，
由于 为棱 1 1中点，故 1 =
1
2 1 1，
所以 = 1 +
1 1
1 = 1+ 1 1 = 1 + =
1 , 1 , 3 ， = 1 , 12 2 2 2 2 2 , 3 ，
设平面 1 1 的法向量为 = ( , , )，
= + = 0
所以

，令 = 1， = 3, 3, 1 ，
1 = + 3 = 0
设直线 与平面 1 1 所成角为 ，则
1 1
sin = cos ,
, 3×2 3× 2 + 3= 2 6

= = ，
7× 14+
1
4+3
7
所以 cos = 1 sin2 = 57，
5
所以，直线 与平面 1 1 所成角的余弦值为7．
18.(1)因为 ⊥ ，即 ⊥ ，
又 ⊥ 1 , ∩ 1 = ， , 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ， 1 平面 1 ，所以 1 ⊥ ．
又 1 ⊥ , ∩ = ， , 平面 ，所以 1 ⊥平面 ，
1 1 1 3所以 1 = 3 × × 1 = 3 × 2 × 2 × 2 × sin60° × 1 = 3 ．
(2)因为 1 ⊥平面 ， ⊥ ，以 为原点， , , 1为 , , 轴，建立空间直角坐标系，
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则 (1,0,0), 0, 3, 0 , 1(0,0,1)，所以 1 = ( 1,0,1), = 1, 3, 0 ，

= ( , , ) 1 = + = 0设平面 1 的法向量 ，由 ，得 = 3, 1, 3 ， = + 3 = 0

因为 ⊥平面 3 211 ，所以平面 1 的法向量 = (1,0,0)，所以 cos , = = = ． 7 7
21
因为所求二面角为锐角，所以二面角 1 的余弦值为 7 ．
(3)假设存在线段 上存在一点 ，使得平面 1 ⊥平面 1 ，
设 1, 1, 1 ， = (0 ≤ ≤ 1)，则 1 1, 1, 1 = 1, 3, 0 ．
所以 1 , 3 , 0 ，设平面 1 的法向量 = ( , , )，

由 1
= = 0
，令 = 3 ，得 = 3 , 1,0 ，
= (1 ) + 3 = 0
因为平面 1 ⊥平面 1
1
，所以 = 3 + 1 = 0，解得 = 4 ∈ [0,1]，
⊥ 1所以在线段 上存在点 ，使得平面 1 平面 1 ，且 = 4．
19.(1)设 0, 0 ，因为 是圆 上动点，所以 0 2 2 + 02 = 16，
因为 为圆 与 轴负半轴交点，所以 ( 2,0)，
= 0 2 = 2 + 2
设 ( , )，因为 是 中点，所以 2 ，即
0
= 2 , = 0 02
所以(2 + 2 2)2 + (2 )2 = 16，即 2 + 2 = 4，
所以点 的轨迹方程为 2 + 2 = 4．
(2)当直线 ⊥ 轴时， 轴平分∠ ．
当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 = ( 1)， ( , 0)， 1, 1 ， 2, 2 ，
2 + 2 = 4
由 2 2 2 2 = ( 1)，得 + 1 2 + 4 = 0，
2 2 2 4
所以 1 + 2 = 2+1， 1 2 = 2+1．
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若 轴平分∠ ，则 = ，
∴ 1 +
2 = 0 ∴ ， 1 1 2 1
1 2 1
+ 2
= 0，
∴ 2 1 2 ( + 1) 1 + 2 + 2 = 0，
2 2
∴ 2 4 2 ( +1) 2+1 2+1 + 2 = 0 = 4，
所以当点 为(4,0)时，能使得 轴平分∠ 总成立
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