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2025-2026学年云南省昭通市市直中学高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，则是( )
A. B.
C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
4.“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.设集合，，且，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
7.若，，则( )
A. B. C. D.
8.为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生，家长和教师组成的群，已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数则该群教师人数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是( )
A. 每一个末位是的整数都是的倍数 B. 任意实数的平方大于
C. 有些菱形是正方形 D. 对任意的整数不是的倍数
10.下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
11.下列有关最值的结论中，正确的是( )
A. 已知，则函数的最大值为
B. 已知，，则的最小值为
C. 已知，，，则的最大值为
D. 已知，为实数，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，且，则的最小值是 ．
13.若，则 ．
14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出种商品，第二天售出种商品，第三天售出种商品；前两天都售出的商品有种，后两天都售出的商品有种，则该网店
第一天售出但第二天未售出的商品有 种；
这三天售出的商品最少有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，求
，；
．
16.本小题分
已知，，或．
若命题是真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知、、都是正数，求证：．
已知，求的最大值．
已知，求的最小值．
18.本小题分
已知，关于的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件．
19.本小题分
对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为平衡集．
判断集合是否为平衡集，并说明理由；
若集合是平衡集，并且为奇数，求证：集合中元素个数为奇数；
若集合是平衡集，并且为奇数，求证：集合中元素个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.；

15.因为，，
所以，．
由可得，
，
或．

16.因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根．
当时，方程有解，不符合题意；
当时，，解得．
故实数的取值范围是．
由知若命题是真命题，则，
因为命题是命题的充分不必要条件，所以或
则有，所以实数的取值范围是．

17.证明：因为、、都是正数，
所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当时等号成立．
由，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最大值为．
由，得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．

18.证明：充分性将代入方程，
得，即，
解得，为整数根；
将代入方程，
得，即，
解得或，为整数根；
所以是两个方程的根都是整数的充分条件；
必要性若方程有实根，
则，即，
若方程有实根，
则即，即，
所以上述两个方程都有实根等价于，
，，
当时，方程可化为，无整数根；
当时，方程可化为，无整数根；
当时，上述两个方程都有整数根，
所以上述两个方程都有整数根的必要条件是；
综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是．

19.不是，理由如下，
对于集合，去掉后，中的元素分成两个集合后，不满足两个集合的所有元素之和相等，
故集合不是平衡集．
证明：设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同
已知为奇数，则为奇数，易得为奇数，
所以，集合中元素个数为奇数．
证明：由知若集合是平衡集，并且为奇数，集合中元素个数为奇数，
显然时，集合不是平衡集，
当时，不妨设，若集合为平衡集，
去掉后，得，去掉后，得，
两式矛盾，故时，集合不是平衡集，
当，设集合，
去掉后，，
去掉后，，
去掉后，，
去掉后，，
去掉后，，
去掉后，，
去掉后，，
故集合是平衡集，
所以，集合中元素个数．

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