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2025-2026学年湖南省长沙市明德中学高二上学期9月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，为中点，则( )
A. B. C. D.
5.若，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知空间四面体中，两两垂直且，那么四面体的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
7.若实数满足，则的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，当且时，都有，若，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据，，，，，将这组样本数据中的每一个数加，得到一组新样本数据，，，，，则( )
A. 两组样本数据的中位数相同 B. 两组样本数据的极差相同
C. 两组样本数据的标准差相同 D. 两组样本数据的平均数相同
10.已知的内角所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是( )
A. 在中，若，则
B. 若，，，则有两个解
C. 若，则是等腰三角形或直角三角形
D. 若，则角
11.在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为
C. 当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是
D. 当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数 ．
13.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 ．
14.在如图所示的长方形台球桌面示意图中，，桌面的六个网分别位于长方形的四个顶点及长边中点上．现有三个台球分别在三点所在的位置上，且三点共线．用球贴着桌面移动去击球不能碰到球，使得球沿球运动的方向径直落入三个网中之一．若球和网近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角．则球击中球前，球移动的最短路径的路程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，若．
求角；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．
求证：；
求点到平面的距离；
若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长．
17.本小题分
年月日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障．当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作．随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数；
若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任了本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
18.本小题分
新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供万元的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府万元补贴后，防护服产量将增加到万件，其中为工厂工人的复工率公司生产万件防护服还需投入成本万元．
将公司生产防护服的利润万元表示为补贴万元的函数；政府补贴万元计入公司收入
在复工率为时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？
对任意的万元，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？
精确到．
19.本小题分
已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对．
若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
若，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同；
若，且、均为函数的“平衡”数对当时，求的取值范围．
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.【详解】由，
根据正弦定理得，
又，则，
因为，所以．
在中，，，，
由余弦定理，，即，
解得或舍去，
故的面积为．

16.【详解】点在底面上的射影是与的交点，
平面，
平面，
，
四边形为菱形，
，
，平面，
平面，
平面，
；
由题意可得与都是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，
设点到平面的距离为，
由得，
即，解得．
故点到平面的距离为．
设直线与平面所成的角为，
，
到平面的距离即为到平面的距离．
过作垂线平面交于点，则，
此时，要使最大，则需使最小，此时．
由题意可知：，，
平面，且，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
，
由面积相等，
即，解得：，
，，
即点在线段上靠近点的分点处，此时，．

17.【详解】由图得，
解之可得；
根据题意知，
设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为
，，
且两组的频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为，
，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为．

18.【详解】由题意，
即；
因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立，
所以
故政府补贴为万元才能使公司的防护服利润达到最大，最大为万元．
对任意的万元，公司都不产生亏损，则在上恒成立
不等式整理得，
令，则，则
令
任取，且
则
，
即函数在上单调递增
可得
所以，即
所以当复工率达到时，对任意的万元，公司都不产生亏损．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

19.【详解】若，则，
，
要使得为“可平衡”函数，需使故对于任意实数均成立，只有，
此时，，故存在，所以是“可平衡”函数．
及的定义域均为，
根据题意可知，对于任意实数，，
即，即对于任意实数恒成立，
只有，，故函数的“平衡”数对为，
对于函数而言，，
所以，
，
即，故，只有，所以函数的“平衡”数对为，
综上可得函数与的“平衡”数对相同．
，所以，
，所以，
由于，所以，故，
，
由于，所以时，，
，所以．
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