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第21章一元二次方程高效训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化为一般形式为（　　）
A． B．
C． D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
6．已知，是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
7．若关于y的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
8．水果店用1500元进了一批水果，按的利润定价，无人购买．决定打折出售，仍然无人购买，结果又一次打折后全部售出．经结算，这批水果共盈利元，已知两次打折的折扣相同，求每次的折扣是（ ）
A．折 B．8折 C．折 D．9折
9．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
11．一元二次方程 化为一般形式为： ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
12．方程是关于的一元二次方程，则的值为 ．
13．已知关于的方程的一个根是2，则它的另一个根为 ．
14．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元．则我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为 ．
15．已知实数满足，，且，则的值为 ．
16．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．已知关于x的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．
19．小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
(2)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
20．如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动．设它们的运动时间为．当的面积等于三角形的面积的时，的值为多少秒．
21．水果店老板李叔叔准备到水果批发市场购进一种水果，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果的钱现在可以买．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)李叔叔在销售这些水果时，发现水果的销售量（）与销售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系式，请你帮李叔叔拿个主意，将这些水果的销售售价定为多少元时，能获取1100元的利润？
22．阅读材料，解决问题。
【材料1】为了解决方程，若我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们通常把以上这种解决问题的方程叫做换元法．
【材料2】已知实数满足，且，显然是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：方程的解为__________．
(2)间接应用：已知实数满足，且，求的值；
(3)拓展应用：已知实数满足，且，求的值．
《第21章一元二次方程高效训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C C B C C A C
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．，不是一元二次方程；
B．，是一元二次方程；
C．，不是一元二次方程；
D．，不是一元二次方程；
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，本题中把一元二次方程的各项都移到等号的同一侧，即可得到一元二次方程的一般形式．
【详解】解：把一元二次方程移项，
可得：．
故选：A．
3．C
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，求得，从而判断方程没有实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
【详解】解：，
∴方程没有实数根，
故选：．
4．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查的是配方法，注意在配方的时候要抓住二次项和一次项系数，去配平常数项．
分别对四个选项的式子进行配方即可．
【详解】解：A、化为；
B、化为；
C、化为；
D、化为；
故选项C错误；
故选：C．
6．B
【分析】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系．
由一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后将变形成，然后代入求解即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个根，
，
∴，
∴
，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及相反数的定义．根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及相反数的定义列出式子，求出未知数的值即可．
【详解】解：∵关于y的一元二次方程的两个实数根互为相反数，
∴，，
解得，；
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
设每次打了x折，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每次打了x折，根据题意得，
，
解得：（舍去），
∴每次打了折．
故选C．
9．A
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系．
设年平均增长率为x，可得出、年投入研发资金，结合到年累计三年共投入研发资金万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得，
．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移和长方形的面积公式，列出一元二次方程即可．
【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：；
故选C．
11． 3
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（，a，b，c为常数），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项，先把原方程化为一般形式，再写出结论即可．
【详解】解：，
，
一元二次方程 化为一般形式为：，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
故答案为：，3，，．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
利用一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，即可解出方程的另一个根．
【详解】解：设另一个根为m，
由根与系数的关系得，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，根据2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：，
解得：，（舍去），
∴我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为，
故答案为：．
15．10
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．根据题意可知实数是方程的两个根，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，即可求解．
【详解】解：实数满足，，且，
∴实数是方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：10 ．
16．13
【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，再根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解．
【详解】解：，
∴，
解得：，，
当时，三边为3，4，6，能组成三角形，
∴这个三角形的周长为；
当时，三边为2，3，6，不能组成三角形．
故答案为：13．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程的方法：
（1）直接开平方即可求解；
（2）采用配方法即可求解；
（3）采用求根公式求解即可；
（4）提公因式因式分解即可求解．
【详解】（1）
解：或
∴；
（2）
解：
；
（3）
解：，
∴；
（4）
解：
．
18．(1)见解析
(2)m的值为4，方程的另一个根为1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，通过根求系数，解一元二次方程等内容，解题的关键是掌握一元二次方程的求解．
（1）根据根的判别式列出代数式，利用完全平方公式进行整理，然后可得结论；
（2）将根代入原方程即可求出参数，然后利用因式分解法求一元二次方程的解即可．
【详解】（1）证明：由得，
∴这个方程总有两个实数根；
（2）解：将代入得，
，
解得，
∴
，
∴或
∴，，
∴m的值为4，方程的另一个根为1．
19．(1)1152元
(2)不能；理由见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决问题是解题的关键．
（1）根据题意，可表示出降价后的售价和每天的销售量，继而求得每天的利润；
（2）根据题意，可设出降低的价格，根据等量关系“利润销售价每天的销量”列出方程，继而利用利润率对求得的解进行检验，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，若降价8元，每天能多售出（件），
所以此时的销售价为元，销售量为（件），
所以每天销售T恤衫的利润为（元）．
即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．
（2）解：设每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润．
由题意可得，
去括号整理得，
因式分解得，
所以，
当时，每件利润为元，
利润率，不符合题意，
当时，每件利润为元，
利润率，不符合题意，
综上所述，为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．
20．的值为秒
【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及到了一元二次方程的求解，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据路程速度时间，表示出，，，根据的面积等于三角形的面积的时，列方程求解即可．
【详解】解：根据路程速度时间，可得：，，
则，
当的面积等于三角形的面积的时，则
即，
解得：．
∴当的面积等于三角形的面积的时，的值为秒．
21．(1)每千克20元
(2)销售售价定为元时，能获取1100元的利润
【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）设现在实际购进这种水果每千克元，则原来购进这种水果每千克元，根据“买这种水果的钱现在可以买”建立一元一次方程求解；
（2）先求出销售量（）与销售价（元/千克）的一次函数关系式，再根据利润=（销售价-进价）销售量建立一元二次方程求解．
【详解】（1）解：设现在实际购进这种水果每千克元，则原来购进这种水果每千克元，由题意得：，
解得：．
故现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）解：设与之间的函数关系式为，
将、代入，
得，解得，
∴与之间的函数关系式为，
∴由题意得：
整理得：，
解得：，
答：销售售价定为元时，能获取1100元的利润．
22．(1)，，，
(2)
(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题即可；
（2）模仿例题，利用一元二次方程，根与系数的关系，解决问题即可；
（3）令，，则，，再模仿例题，结合一元二次方程根与系数关系，解决问题即可．
【详解】（1）解：令，则有，
∴，
∴，，
∴或3，
∴，，，；
（2）解：令，，
∵，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
（3）解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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