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湘教版（新课标）必修第一册第二章
一、单选题
1.如果，那么下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.如果，则正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4. 若是正数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是( )
A. B. C. D.
8.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
9.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.若正实数，满足，不等式有解，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
12.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
13.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
14.已知，，，则( )
A. 最小值为 B. 最小值为
C. D. 最小值为
15.设，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
16.设，，，则的最小值为__________．
17.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
18.若，则的最小值是 ．
19.已知，，，则的最小值为 ．
四、解答题
20.
已知关于的不等式的解集为或
求，的值；
当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
21.
已知关于的不等式．
若的解集为，求实数的值；
求关于的不等式的解集．
22.
通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式即当，时有当且仅当时不等式取“”我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数这只是均值不等式的一个简化版本均值不等式的历史可以追溯到世纪，由在年发表的论文中首次提出均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系它表明：个正数，，的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当，，这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等．
写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件无需证明；
利用你写出的式子，求的最小值；
如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
23.
已知函数，．
当时，解不等式；
若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】对于，，
由不等式的可加性可得，，故A错误，
对于，，
，，
，即，故B正确，
对于，令，，满足，但，故C错误，
对于，令，，满足，但，故D错误．
故选：．
2.【答案】
【解析】，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是．
故选：．
3.【答案】
【解析】取，则，故A错误；
取，则，故B错误；
由于，所以，则，故C正确；
取，则，，故D错误；
故选：．
4.【答案】
【解析】当，“”不能得出“”；
当，“”能得出“”；
由于的取值不确定，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
5.【答案】
【解析】由题意，得，
当且仅当时，取等号，
故的最小值为．
故选D．
6.【答案】
【解析】因为不等式为一元二次不等式，所以，
若一元二次不等式恒成立，
则，可得，此时不等式恒成立．
故选：
7.【答案】
【解析】解：由题可知：对于任意，总存在，使得，
所以的取值范围是的子集即可，
由
注意到，
所以
因为，
所以
故的范围是．
故选：．
8.【答案】
【解析】对于，因为，故，即，故A错误；
对于，，无法判断，故B错误；
对于，因为，，故C正确；
对于，因为，故，即，故D错误．
故选C．
9.【答案】
【解析】对一切实数都成立，
时，恒成立，
时，，
解可得，
综上可得，
故选D．
10.【答案】
【解析】，，，
，当且仅当时取等号，
不等式恒成立，，
整理得，解得，即，
的取值范围为．
故选：．
11.【答案】
【解析】由
，
当且仅当 ，
即 时等号成立，
要使不等式 有解，
只需 ，
即，
所以 ．
故选：．
12.【答案】
【解析】当时，不等式不成立，故A是假命题；
B.若，则，，，故B是真命题；
C.若，则，，，故C是真命题；
D.由且，可知，，，故D为真命题．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】对于选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确；
对于选项，例如：，，，，
， ，但是 ，所以B错误；
对于选项，当 时， ，所以C错误；
对于选项，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以D正确．
故选：．
14.【答案】
【解析】解：选项A：因为，，，
所以，
当且仅当时取等号，故的最大值为，而非最小值，A错误；
选项B：，
因，故，
当且仅当时取等号， B正确；
选项C，由，得，
则，C错误；
选项D，因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号， D正确．
故选BD．
15.【答案】
【解析】对于选项A，当，异号时，即，有，因为，则，故A错误；
对于选项B，因为，，所以，故B正确；
对于选项C，令，，则，所以，故C错误；
对于选项D，因为，，所以，故D正确．
故选BD．
16.【答案】
【解析】，，，
则，
由基本不等式有：，
，，
故：，
当且仅当，即：，时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为．
17.【答案】
【解析】因为关于的不等式在上有解，的最大值为，所以，解得
18.【答案】
【解析】，
，
当且仅当即时取等号，
时取得最小值，
故答案为：．
19.【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号．
20.【解析】方法一：因为不等式 的解集为 或 ，
所以和是方程 的两个实数根且 ，
所以 ，解得 ；
方法二：因为不等式 的解集为 或 ，
所以和是方程 的两个实数根且 ，
由是 的根，有 ，
将 代入 ，
得 或 ，
；
由知 ，于是有 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立，
依题意有 ，即 ，
得 ，
所以的取值范围为 ．

21.【解析】当时，
因为的解集为，
所以方程的两个根为，
由根与系数关系得：，经验证，符合题意．
，
当时，不等式，不等式的解集为；
当时，不等式化为，不等式的解集为；
当时，方程的两个根分别为：．
时，，故不等式的解集为；
时，，不等式的解集为；
时，，不等式的解集为．
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
22.【解析】由题意，当时，若，，，可得，
即算术平均数与几何平均数的关系为，当且仅当时，等号成立．
时，，
当且仅当时，即时，等号成立，此时函数取得最小值为．
设小正方形的边长为，则盒子高为，底边边长为，
可得盒子的容积为，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为．
23.【解析】当时，，，
所以，解得或，
所以不等式的解集为．
若对任意，都有成立，即对任意恒成立，
不等式可化为，即对任意恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，解得，
所以的取值范围是
若对，，使得不等式成立，
即只需满足，，
，对称轴，在上单调递增，
，
，，对称轴，
，即时，在上单调递增，恒成立；
，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以，故；
，即时，在上单调递减，，，
所以，解得．
综上：．
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