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2025-2026学年河北省保定市五校高一（3 1班）上学期9月考试检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：“，则的否定是( )
A. B.
C. D.
3.已知平行四边形中，是的中点，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知向量满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则( )
A. B. C. D.
7.当，函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.函数的值域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的定义域为且 B. 为偶函数
C. 在上单调递增 D. 在内有最小值
11.如图，函数的部分图象，则( )
A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.请写出一个幂函数满足以下两个条件：定义域为；为减函数，则 ．
13. ．
14.已知函数的零点为，的零点为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量满足，且．
求；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知正数，满足．
求的最小值；
求的最小值．
18.本小题分
已知函数的图象经过点，．
证明：函数的图象是轴对称图形；
求关于的不等式的解集；
若函数有且只有一个零点，求实数的值．
19.本小题分
我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且．
是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不存在，请说明理由；
已知是“伴随函数”，且当时，．
求当时，的解析式；
若为方程在上的根，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.【详解】，整理得．
，，
．

16.解：由题意，得，则，
即，即，解得；
由知，又，所以，
所以．

17.【详解】由，得．
因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为．
由，得，即．
令，则当且仅当，即时取等号．
由，得，故．
整理得，解得或．
又由，得当且仅当，时取等号，
故的最小值为．

18.解：证明：由题意可知，，解得，；
所以，易知的定义域为，
因为，
所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形；
不等式可化为，即，
解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为；
由可知，，
由题意可知，令，即只有一个根，得，即，
令，则，又知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得．

19.解：存在正常数，使得是“伴随函数”．
因为，所以，
因为，所以，
所以存在一个的值为．
由，得，
所以是周期为的函数．
由，得，所以为图象的一条对称轴，
当时，，所以．
所以当．
易知在上的图象如图所示，
根据周期性结合图象，
当时，，；
当，或，或时，，；
当时，，；
当或时，，．

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