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2025-2026学年四川省成都市浦江县高一上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设命题：，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设集合，，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知命题，，命题，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
4.若正实数，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若，则下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
6.设集合，若非空集合同时满足：；其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知，，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知，且，则的最小值为 ．
A. ． B. ． C. ． D. ．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.集合的关系如图所示，那么下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
10.若，，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知实数，满足，则下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，，集合，则 ．
13.已知，且，则的最小值是 ．
14.已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素，，满足，则符合要求的集合有 个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，．
若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知，．
若，求证：；
若，求的最小值；
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知集合及非空集合．
若，求的值；
是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在三角形中，设、、为其三边长，我们用表示循环求和，即：，，我们尝试证明如下不等式：在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”我们令，，，且，，均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解．
计算当时，的值；
证明如下不等式：；
证明如下不等式：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.当时，又，
所以，；
当时，由，解得，满足，符合题意；
当时，可得或，解得或．
综上，实数的取值范围是或．

16.由，得；
当时，由，得．
若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真，
当真假时，或，得；
当假真时，或，解得，
综上，实数的取值范围为或．
由，得．
因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为．

17.由，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
因为，所以，则，
则
，
当且仅当，即时取得等号，
故的最小值为．
因为，，所以，
则可化为恒成立，
又，当且仅当时取得等号，
所以，则．
故的取值范围为．

18.，且为非空集合，
，
即，则只有一个根为，
解得，；
由题意得，
由于，
且，
当时，，
只需要满足集合非空且即可，
则满足且当或时，，
即且；
当时，，
若，则，
此时只需要满足集合只有一个根为或一个根为，另一个根不为，
将代入得，
即满足题意；
若，则，
此时只需要满足集合只有一个根为或一个根为，另一个根不为，
将代入得，
令，解得或，
即满足题意；
综上：当，时满足题意；当时满足题意；当，时满足题意．

19.设，则，，，
所以．
设，，，
则．
因为，，均为正实数，所以，，，
当且仅当时取“”
所以．
即当且仅当时取“”．
设，，，
则，，．
则转化成：
．
因为，，当且仅当时取“”
各式相加得：．
所以成立当且仅当时取“”．

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