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北师大版数学九（上）第一章 特殊平行四边形单元测试基础卷
一、选择题（每题5分，共50分）
1．（2023九上·金牛期末）下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
2．（2025九上·邛崃期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·武侯期中）已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（　　）
①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2025九上·南山开学考）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段AB的中点O，以下操作和判断不正确的是（　　）
A．过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD
B．过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD
C．分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD
D．在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，得到平行四边形ACBD
5．（2024九上·株洲开学考）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023九上·苏家屯月考）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2024九上·武侯期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（　　）
A．4.8 B． C．5 D．6
8．（2024九上·青岛月考）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（　　）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
9．（2023九上·金水期中）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
10．（2025九上·义乌开学考） 如图，正方形 ABCD 中，已知 ，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 为射线 OB 上的一个动点（不与点 B 重合），点 M 为线段 ED 的中点. 现将线段 OM 绕点 M 顺时针旋转 得到线段 MF，连结 AE， EF， AF， OF. 在点 E 的运动过程中，当 时，则线段 BE 的长为（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2024九上·南城期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为　 　．
12．（2025九上·兰州期中）如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离　 　．
13．（2024九上·顺德期中）如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则　 　．
14．（2024九上·城阳月考）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则　 　．
15．（2025九上·清新期末）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是　 　．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（2024九上·深圳开学考）如图，的对角线AC、BD相交于点O，，OE与AB交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；
（2）若，求的面积．
17．（2024九上·长沙开学考）如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
18．（2024九上·金堂期中）如图，在中，，E为CA延长线上一点，D为AB上一点，F为外一点且连接DF，BF.
(1)当的度数是多少时，四边形ADFE为菱形，请说明理由：
(2)当AB= 时，四边形ACBF为正方形(请直接写出)
19．（2024九上·南海期中）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由．
20．（2024九上·金堂期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点． 如：线段AB的两个端点都在格点上．
（1）在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD，点C、D在格点上，且平行四边形ABCD的面积为15；
（2）在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形ABEF的对角线AE＝________，BF＝________；
（3）在图3中画一个以AB为边的矩形ABMN（不是正方形），点M、N在格点上，则矩形ABMN的长宽比＝______．
21．（2024九上·新丰期中）已知：如图，点E是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合．．
（1）旋转中心是_________，旋转角为_________度；
（2）请你判断的形状，并说明理由．
22．（2024九上·涪城开学考）如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求直线所对应的函数关系式．
23．（2024九上·翁源期中）【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．
（1）根据以上信息，填空：
①_______°；
②线段之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，对边平行且相等，逐项进行判断即可求解.
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
当时，对边相等，无法证明平行四边形是菱形，①结论错误；
当时，平行四边形是菱形，②结论正确；
当时，平行四边形是矩形，③结论正确；
当时，对角线相等，平行四边形是矩形，④结论错误，
结论中正确的是②③，共2个.
故答案为：C．
【分析】有一个内角为90°的平行四边形是矩形， 对角线相等的平行四边形是矩形 ；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A：过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD，正确，不符合题意；
C：过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD，正确，不符合题意；
D：分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD，正确，不符合题意；
D：在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，不一定得到平行四边形ACBD，错误，符合题意
故答案为：D
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，∴，
过点作，
∵，∴，∴，
∴，
∵，∴；
故选：C．
【分析】过点作，得到，推出，进行求解即可．
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝，
∵S菱形ABCD＝AC BD＝AB EF，
即×6×8＝5EF，
∴EF＝4.8．
故答案为：A．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，然后根据勾股定理算出AB，最后根据等面积法建立方程可求出EF的长.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
【分析】根据正方形的性质可得，利用三角形外角的性质求出，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
∴△AEG≌△MDG（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝，
∴GH＝FM＝，
故选：C．
【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，根据正方形性质可得AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，则∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△MDG（AAS），则AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，再根据线段中点可得CF＝BC＝2，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
①在点E的运动过程中， 当AE=2OF时， 如图，
设OM=MF =a， 则
∵OD=OB=6， M为线段ED的中点，
∴DM=EM=6-a，
∴OE = EM-OM =6-2a，
∵AC⊥BD，
(负数不合题意，舍去)，
②在点E的运动过程中，当AE=2OF时，如图，
设OM=MF=a，则
M为线段ED的中点，
(负数不合题意，舍去)，
综上，线段BE的长为 或
故答案为：C.
【分析】利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点E在线段OB上时，设OM=MF=a，则 利用勾股定理列出方程解答即可；②当点E在线段OB的延长线上时，设OM=MF=a，则 利用勾股定理列出方程解答即可.
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先由矩形的性质可得，根据旋转得到，，然后得到点B'的坐标解题．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形，
∴，，
∴，
∵菱形两对边的距离为，
∴
∴；
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积即可求出答案.
13．【答案】30
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质，可得AD=AB，，再根据是等边三角形，可得AE=AB，，然后再根据等腰三角形和三角形内角和公式，可求出，最后再根据，代入数据即可求解。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵菱形的面积为60，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∴，（舍去），
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质以及面积得，，，然后结合完全平方公式求出，从而在中利用勾股定理即可求出的长度，进而再根据直角三角形斜边上的中线性质得到.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据折叠得到，，然后利用矩形的性质，根据勾股定理列方程解题即可．
16．【答案】（1）解：添加AC⊥BD，理由如下：
∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AOBE是平行四边形
∵AC⊥DB
∴∠AOB=90°
∴四边形AOBE是矩形
（2）解：由（1）可知，四边形AOBE是矩形
∴AB=OE=10
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵AC⊥BD
∴
∴BD=12
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得AB=OE=10，再根据平行四边形性质可得，根据勾股定理可得BD，再根据平行四边形面积即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠FCO．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF
（2）解：如图，连接OB．
∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°．
∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAC＝∠ABO．
∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝30°．
∵BC＝，
∴AC＝2BC＝，
∴AB＝＝＝6
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE＝OF；
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质得到直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，接下来运用勾股定理即可求出AB的长．
18．【答案】解：（1）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，
理由如下：
∵AE=AF=AD
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥AB
∴∠AFE=∠DAF，∠AEF=∠CAB=60°，
又∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF=60°，
∴∠FAD=∠AFE=60°，
又∵，
∴△AEF，△AFD都是等边三角形，
∴AE=AF=AD=EF=FD，
∴四边形ADFE为菱形；
(2).
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：（2）∵若四边形ACBF为正方形，
∴AC=BC=1，∠ACB=90°
∴AB=
∴当AB=时，四边形ACBF为正方形
故答案为：.
【分析】（1）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；由平行线的性质可证∠AFE=∠DAF，∠AEF=∠CAB=60°，结合已知条件可推出△AEF，△AFD都是等边三角形，可得AE=AF=AD=EF=FD，再利用四边相等的四边形是菱形即可证明．
（2）由正方形的邻边相等且内角均为90°，再利用勾股定理即可求解．
19．【答案】解：BE=CF．理由如下：
在矩形ABCD中，OB=OC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°，
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF（AAS），
∴BE=CF．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明△OBE和△OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，由此解答即可．
20．【答案】解：（1）如图1中，平行四边形即为所求；
（2）如图2中，
菱形即为所求．
，
（3）如图3中，
矩形ABMN即为所求．
2
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2），，
故答案为：，；
（3）∵
∴；
故答案为：2．
【分析】（1）如图1中，利用格点的特点画出宽为5，高为3的平行四边形即可．
（2）利用格点的特点，如图2中，画出菱形，再利用勾股定理求出AE，BF的长.
（3）先画出符合题意的矩形，再根据勾股定理分别求出AN、AB的长，然后求出AN与AB的比值即可.
21．【答案】（1）点；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
在正方形中有：，
∴即
根据旋转得性质得：，
，，
∴即，
又∵
是等腰直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵逆时针旋转后能够与重合，
∴旋转后A与A重合，B与D重合，E与F重合，
∴旋转中心是点，旋转角为.
∴旋转中心是点，旋转角为.
故答案为：点；
【分析】（1）根据旋转的性质和已知条件可得答案.
（2）根据旋转得，根据全等三角形的性质得出，，求出，即可得出答案．
（1）解：从图形和已知可知：旋转中心是点，旋转角的度数等于的度数，即，
故答案为：点，
（2）解：等腰直角三角形，
理由是：四边形是正方形，
，
逆时针旋转后能够与重合，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
22．【答案】（1）过点A作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，点B的坐标是，
∴，
∴点A的坐标为，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）直线与x轴交于D，
∴取y=0，则，解得x=3.
∴点D的坐标为（3，0），
∴，
∵点A的坐标为，
∴点M的坐标为（1，0），
∴OM=1.
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【分析】（1）作于M，求出A的坐标，代入函数解析式求出k；
（2）先求出点D的坐标，可得OD的长，再求出点M的坐标，可得MO，再利用MD=OD-OM求得MD的长，再利用AAS证明，从而可求得DN，EN，再利用ON=OD+DN求出ON，从而可得点E的坐标，再根据EF//AD，设出直线EF的解析式，将点E的坐标代入求出解析式．
（1）解：作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，
∴，
∴，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）∵直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，
∴，
∴，
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
23．【答案】（1）①45；②；
解：．
证明如下：如图2，在上截取，连接，
在和中，，
，
，
，即，
，
，
在和中，，
，
，
，
∴。
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，
∵四边形是正方形，
，，
，
由旋转可得，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
则，，，，
∴G、B、E共线，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
∴，
故答案为：①45 ；②。
【分析】（1）如图1，根据正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可求出G、B、E共线，，易证，从而得到，最后再进行等量替换即可求解。
（2）如图2，在上截取，连接，易证，从而得到，从而得到，易证，从而得到，最后再进行等量替换即可证明。
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据正方形的基本性质，可得， ，根据勾股定理：，代入数据， 求出的值，据此可求出BM和DM的值，由旋转性质，易得，进而可得，易证，进而可得，设，则， 在中，利用勾股定理：，代入数据，即可求出x的值，从而可得MN的值。
1 / 1北师大版数学九（上）第一章 特殊平行四边形单元测试基础卷
一、选择题（每题5分，共50分）
1．（2023九上·金牛期末）下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．（2025九上·邛崃期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，对边平行且相等，逐项进行判断即可求解.
3．（2024九上·武侯期中）已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（　　）
①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
当时，对边相等，无法证明平行四边形是菱形，①结论错误；
当时，平行四边形是菱形，②结论正确；
当时，平行四边形是矩形，③结论正确；
当时，对角线相等，平行四边形是矩形，④结论错误，
结论中正确的是②③，共2个.
故答案为：C．
【分析】有一个内角为90°的平行四边形是矩形， 对角线相等的平行四边形是矩形 ；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此逐一判断得出答案.
4．（2025九上·南山开学考）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段AB的中点O，以下操作和判断不正确的是（　　）
A．过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD
B．过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD
C．分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD
D．在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，得到平行四边形ACBD
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A：过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD，正确，不符合题意；
C：过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD，正确，不符合题意；
D：分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD，正确，不符合题意；
D：在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，不一定得到平行四边形ACBD，错误，符合题意
故答案为：D
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024九上·株洲开学考）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，∴，
过点作，
∵，∴，∴，
∴，
∵，∴；
故选：C．
【分析】过点作，得到，推出，进行求解即可．
6．（2023九上·苏家屯月考）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
7．（2024九上·武侯期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（　　）
A．4.8 B． C．5 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝，
∵S菱形ABCD＝AC BD＝AB EF，
即×6×8＝5EF，
∴EF＝4.8．
故答案为：A．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，然后根据勾股定理算出AB，最后根据等面积法建立方程可求出EF的长.
8．（2024九上·青岛月考）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（　　）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
【分析】根据正方形的性质可得，利用三角形外角的性质求出，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
9．（2023九上·金水期中）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
∴△AEG≌△MDG（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝，
∴GH＝FM＝，
故选：C．
【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，根据正方形性质可得AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，则∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△MDG（AAS），则AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，再根据线段中点可得CF＝BC＝2，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025九上·义乌开学考） 如图，正方形 ABCD 中，已知 ，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 为射线 OB 上的一个动点（不与点 B 重合），点 M 为线段 ED 的中点. 现将线段 OM 绕点 M 顺时针旋转 得到线段 MF，连结 AE， EF， AF， OF. 在点 E 的运动过程中，当 时，则线段 BE 的长为（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
①在点E的运动过程中， 当AE=2OF时， 如图，
设OM=MF =a， 则
∵OD=OB=6， M为线段ED的中点，
∴DM=EM=6-a，
∴OE = EM-OM =6-2a，
∵AC⊥BD，
(负数不合题意，舍去)，
②在点E的运动过程中，当AE=2OF时，如图，
设OM=MF=a，则
M为线段ED的中点，
(负数不合题意，舍去)，
综上，线段BE的长为 或
故答案为：C.
【分析】利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点E在线段OB上时，设OM=MF=a，则 利用勾股定理列出方程解答即可；②当点E在线段OB的延长线上时，设OM=MF=a，则 利用勾股定理列出方程解答即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2024九上·南城期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先由矩形的性质可得，根据旋转得到，，然后得到点B'的坐标解题．
12．（2025九上·兰州期中）如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形，
∴，，
∴，
∵菱形两对边的距离为，
∴
∴；
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积即可求出答案.
13．（2024九上·顺德期中）如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则　 　．
【答案】30
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质，可得AD=AB，，再根据是等边三角形，可得AE=AB，，然后再根据等腰三角形和三角形内角和公式，可求出，最后再根据，代入数据即可求解。
14．（2024九上·城阳月考）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵菱形的面积为60，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∴，（舍去），
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质以及面积得，，，然后结合完全平方公式求出，从而在中利用勾股定理即可求出的长度，进而再根据直角三角形斜边上的中线性质得到.
15．（2025九上·清新期末）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据折叠得到，，然后利用矩形的性质，根据勾股定理列方程解题即可．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（2024九上·深圳开学考）如图，的对角线AC、BD相交于点O，，OE与AB交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：添加AC⊥BD，理由如下：
∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AOBE是平行四边形
∵AC⊥DB
∴∠AOB=90°
∴四边形AOBE是矩形
（2）解：由（1）可知，四边形AOBE是矩形
∴AB=OE=10
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵AC⊥BD
∴
∴BD=12
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得AB=OE=10，再根据平行四边形性质可得，根据勾股定理可得BD，再根据平行四边形面积即可求出答案.
17．（2024九上·长沙开学考）如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠FCO．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF
（2）解：如图，连接OB．
∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°．
∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAC＝∠ABO．
∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝30°．
∵BC＝，
∴AC＝2BC＝，
∴AB＝＝＝6
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE＝OF；
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质得到直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，接下来运用勾股定理即可求出AB的长．
18．（2024九上·金堂期中）如图，在中，，E为CA延长线上一点，D为AB上一点，F为外一点且连接DF，BF.
(1)当的度数是多少时，四边形ADFE为菱形，请说明理由：
(2)当AB= 时，四边形ACBF为正方形(请直接写出)
【答案】解：（1）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，
理由如下：
∵AE=AF=AD
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥AB
∴∠AFE=∠DAF，∠AEF=∠CAB=60°，
又∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF=60°，
∴∠FAD=∠AFE=60°，
又∵，
∴△AEF，△AFD都是等边三角形，
∴AE=AF=AD=EF=FD，
∴四边形ADFE为菱形；
(2).
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：（2）∵若四边形ACBF为正方形，
∴AC=BC=1，∠ACB=90°
∴AB=
∴当AB=时，四边形ACBF为正方形
故答案为：.
【分析】（1）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；由平行线的性质可证∠AFE=∠DAF，∠AEF=∠CAB=60°，结合已知条件可推出△AEF，△AFD都是等边三角形，可得AE=AF=AD=EF=FD，再利用四边相等的四边形是菱形即可证明．
（2）由正方形的邻边相等且内角均为90°，再利用勾股定理即可求解．
19．（2024九上·南海期中）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由．
【答案】解：BE=CF．理由如下：
在矩形ABCD中，OB=OC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°，
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF（AAS），
∴BE=CF．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明△OBE和△OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证，由此解答即可．
20．（2024九上·金堂期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点． 如：线段AB的两个端点都在格点上．
（1）在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD，点C、D在格点上，且平行四边形ABCD的面积为15；
（2）在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形ABEF的对角线AE＝________，BF＝________；
（3）在图3中画一个以AB为边的矩形ABMN（不是正方形），点M、N在格点上，则矩形ABMN的长宽比＝______．
【答案】解：（1）如图1中，平行四边形即为所求；
（2）如图2中，
菱形即为所求．
，
（3）如图3中，
矩形ABMN即为所求．
2
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2），，
故答案为：，；
（3）∵
∴；
故答案为：2．
【分析】（1）如图1中，利用格点的特点画出宽为5，高为3的平行四边形即可．
（2）利用格点的特点，如图2中，画出菱形，再利用勾股定理求出AE，BF的长.
（3）先画出符合题意的矩形，再根据勾股定理分别求出AN、AB的长，然后求出AN与AB的比值即可.
21．（2024九上·新丰期中）已知：如图，点E是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合．．
（1）旋转中心是_________，旋转角为_________度；
（2）请你判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）点；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
在正方形中有：，
∴即
根据旋转得性质得：，
，，
∴即，
又∵
是等腰直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵逆时针旋转后能够与重合，
∴旋转后A与A重合，B与D重合，E与F重合，
∴旋转中心是点，旋转角为.
∴旋转中心是点，旋转角为.
故答案为：点；
【分析】（1）根据旋转的性质和已知条件可得答案.
（2）根据旋转得，根据全等三角形的性质得出，，求出，即可得出答案．
（1）解：从图形和已知可知：旋转中心是点，旋转角的度数等于的度数，即，
故答案为：点，
（2）解：等腰直角三角形，
理由是：四边形是正方形，
，
逆时针旋转后能够与重合，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
22．（2024九上·涪城开学考）如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求直线所对应的函数关系式．
【答案】（1）过点A作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，点B的坐标是，
∴，
∴点A的坐标为，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）直线与x轴交于D，
∴取y=0，则，解得x=3.
∴点D的坐标为（3，0），
∴，
∵点A的坐标为，
∴点M的坐标为（1，0），
∴OM=1.
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【分析】（1）作于M，求出A的坐标，代入函数解析式求出k；
（2）先求出点D的坐标，可得OD的长，再求出点M的坐标，可得MO，再利用MD=OD-OM求得MD的长，再利用AAS证明，从而可求得DN，EN，再利用ON=OD+DN求出ON，从而可得点E的坐标，再根据EF//AD，设出直线EF的解析式，将点E的坐标代入求出解析式．
（1）解：作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，
∴，
∴，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
（2）∵直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，
∴，
∴，
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
23．（2024九上·翁源期中）【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：．
（1）根据以上信息，填空：
①_______°；
②线段之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长．
【答案】（1）①45；②；
解：．
证明如下：如图2，在上截取，连接，
在和中，，
，
，
，即，
，
，
在和中，，
，
，
，
∴。
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，
∵四边形是正方形，
，，
，
由旋转可得，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
。
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
则，，，，
∴G、B、E共线，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
∴，
故答案为：①45 ；②。
【分析】（1）如图1，根据正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可求出G、B、E共线，，易证，从而得到，最后再进行等量替换即可求解。
（2）如图2，在上截取，连接，易证，从而得到，从而得到，易证，从而得到，最后再进行等量替换即可证明。
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据正方形的基本性质，可得， ，根据勾股定理：，代入数据， 求出的值，据此可求出BM和DM的值，由旋转性质，易得，进而可得，易证，进而可得，设，则， 在中，利用勾股定理：，代入数据，即可求出x的值，从而可得MN的值。
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