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北师大版数学九（上）第二章 一元二次方程单元测试基础卷
一、选择题（每题5分，共50分）
1．（2023九上·麻城月考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3， B．3，，5 C．，， D．3，，4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程方程的二次项系数是，一次项系数、常数项，
故选：C．
【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可得到答案.
2．（2025九上·南山开学考）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物.小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）.已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人
由题意可得：x(x-1)=306
解得：x=18或x=-17(舍去)
故答案为：C
【分析】设该兴趣小组的人数为x人，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
3．（2025九上·宝安开学考）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2-2x+a2+a=0有一个根为x=0，则a的值为（　　）
A．0 B．0或-1 C．1 D．-1
【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵有一个根为x=0，
∴，
∴，
∴或.
故答案为：或.
【分析】根据有一个根为x=0得，解出即可.
4．（2025九上·长沙开学考） 已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．2022 B． C． D．2023
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴a+b=1，ab=-2024，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-2024，然后代入代数式计算解答即可.
5．（2024九上·石家庄月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴的取值范围为且．
故选：B．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
6．（2025九上·台州期末）某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设共有x支球队参加比赛，
根据题意得：．
故答案为：．
【分析】设有支球队参赛，根据“ 采取单循环赛制，共安排了28场比赛 ”列一元二次方程即可．
7．（2019九上·南丰期中）一元二次方程 配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-1=0，
x2-4x=1，
x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
故答案为：D．
【分析】根据移项，配方，即可得出选项．
8．（2024九上·锦江期中）对于实数，定义运算“”为：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵，
关于的方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A．
【分析】由新定义运算法则得出关于x的一元二次方程x2-8x=-12，移项，将方程整理成一般形式，算出根的判别式b2-4ac的值，结合一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，判断得出答案.
9．（2024九上·北京市开学考）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（　　）
A．或3 B． C．3 D．或7
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根，
根据韦达定理，可得，，
又因为，所以，
即，解得：，，
因为，解得，所以．
故选：C．
【分析】根据题意，利用一元二次方程的根与系数的关系，结合，列出方程，求得t的值，再根据，得出，即可求出结果.
10．（2023九上·孟州期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x 1）文，依题意得：3（x 1）x＝6210，
故答案为：A.
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x 1）文，根据单价乘以数量=总价列出方程即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2023九上·天桥期中）一元二次方程x2=x的根是　 　.
【答案】x1=1，x2=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵x2=x，
∴x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
解得：x1=0，x2=1，
故答案为：x1=0，x2=1.
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可.
12．（2024九上·岳阳期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程，
∴且，
解得：，
故答案为：.
【分析】由一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，据此即求出的值.
13．（2024九上·武侯期中）已知是方程的两个实数根，则的值是　 　．
【答案】2040
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则，，据此求出a+b的值，进而根据方程根的定义得出，从而整体代入待求式子后将待求式子变形为，然后再整体代入计算可得答案.
14．（2024九上·中山期中）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，依题意得，
，
故答案为：．
【分析】设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据 新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆． 即可得出方程。
15．（2024九上·凉州期中）非零实数满足，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴是方程的两根，
，
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程的根以及根与系数的关系可得，再将其代入计算即可.
三、解答题（共8题，共75分）
16．（2024九上·成都期中）解方程
（1） （2）2（x－3）=3x（x－3）
【答案】解：（1）x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
，
，
，；
（2）2（x－3）=3x（x－3），
3x（x－3）-2（x－3）=0，
，
，.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，利用配方法时，首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）把x-3看成一个整体，将方程右边整体移到方程的左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式等于零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
17．（2024九上·乐山期中）已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果满足不等式>且m为整数，求m的值．
【答案】（1）解： 是一元二次方程的两个实数根，
△，即，
解得．
故实数的取值范围是。
（2）解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
解得，
又且为整数，
的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，对应的判别式△，列式计算即可；
（2）由根与系数的关系，，代入求出m的取值范围，并结合（1）的m的范围，找到m的整数值即可。
（1）解：方程有两个实数根，
△，即，
解得．
故实数的取值范围是；
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
∴
，
解得，
又且为整数，
的值为．
18．（2023九上·沙依巴克月考）如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？
【答案】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，
，
解得：（不合题意，舍去）
答：每条道路的宽为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的实际应用， 涉及矩形面积公式以及通过平移转化图形来简化问题的思想，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法．设道路的宽为，将种植草坪的部分通过评平移，可以拼成一个新的矩形，这个新矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合“草坪的面积为570”可列出方程：，解得：，因为矩形的宽为20米，35＞20，不符合实际情况，所以舍去x=35，故道路的宽为1米，由此可得出答案.
19．（2024九上·红塔月考）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？
【答案】解：设一个人每节课手把手教会了名同学，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：一个人每节课手把手教会了6名同学．
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】设一个人每节课手把手教会了名同学，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．（2024九上·黄岛月考）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)
（1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件．
（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗 若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
∴当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元；
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
∴，
∴该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得该纪念品的销售单价为45元时，当天销售量为 （件），
故答案为：230.
【分析】（1）根据当天销售量为280减去10乘以增加的销售单价，即可得到答案；
（2）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量件，根据产品的当天销售利润是2610元列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，列出一元二次方程，然后根据一元二次方程根的判别式判断即可．
（1）解：（件），
故答案为：230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
整理解得，，
答：当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
，
故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
21．（2025九上·肇庆期中）【知识技能】
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，
则．
【数学理解】
（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
【答案】解：（），
（）根据根与系数的关系得，，
∴
；
（）∵实数，满足，，且，
∴、可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（）根据根与系数的关系得，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据二次方程根与系数的关系可得，，由，整体代入即可求出答案.
22．（2024九上·岳阳期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“______倍根方程”；
（2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
（4）由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
【答案】（1）四
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
∴设，是方程的解，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：∵关于的方程是“倍根方程”，
∴设，是方程的解，
∴，
∴，
（4）1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”，
故答案为：四；
（4）∵（均为正数），
∴，
∴，
∴的最小值是1，
故答案为：1．
【分析】（1）先利用”因式分解法“解一元二次方程，然后根据“倍根方程”的定义得到答案；
（2）根据三倍根方程的定义设，是该方程的解，然后利用一元二次方程根与系数的关系得到方程组并解之即可；
（3）根据倍根方程的定义设与是该方程的解，然后利用一元二次方程根与系数的关系得到方程组并消去即可；
（4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案.
（1）解：，
，
解得和，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）解：由题意可设：与是方程的解，
∴，
解得：，
∴m的值为；
（3）解：∵关于x的方程是“n倍根方程”，
∴可设与是方程的解，
∴，
消去得：，
（4）解：由参考公式：（x、y均为正数）可得，
∴，
故答案为：1．
23．（2024九上·南山期中）【阅读理解】
若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数现规定为该“快乐方程”的“快乐数”例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称互为“开心数”．
（1） “快乐方程”的“快乐数”为　 　；
（2）若关于的一元二次方程为整数，且是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程均为整数都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：关于x的一元二次方程，△，
，即：，
或4m+13=36，
，（舍去），
方程变为：，
则，，，
故其“快乐数”数是；
（3）解：，或，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）方程：的“快乐数，，；
故答案为：；
（3），
△，
设△，
∴，
或2或或，
或4或或，
解得或，
方程变为：或；
，
△，
，，，
当时，，
解得：或（不合题意），
当时，，
解得：．
故，或，．
【分析】（1）参照题干中的定义及“快乐数”的定义列出算式求解即可；
（2）先求出一元二次方程根的判别式可得△，再结合，求出，可得或4m+13=36，再求出m的值，可得方程，再利用“快乐数”的定义列出算式求解即可；
（3）先利用“快乐方程”的定义求出m的值，可得方程或，再利用“快乐数”的定义及计算方法求出，，，再分类讨论：①当时，，②当时，，再求出n的值即可.
1 / 1北师大版数学九（上）第二章 一元二次方程单元测试基础卷
一、选择题（每题5分，共50分）
1．（2023九上·麻城月考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3， B．3，，5 C．，， D．3，，4
2．（2025九上·南山开学考）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物.小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）.已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
3．（2025九上·宝安开学考）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2-2x+a2+a=0有一个根为x=0，则a的值为（　　）
A．0 B．0或-1 C．1 D．-1
4．（2025九上·长沙开学考） 已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．2022 B． C． D．2023
5．（2024九上·石家庄月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．
6．（2025九上·台州期末）某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2019九上·南丰期中）一元二次方程 配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·锦江期中）对于实数，定义运算“”为：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．（2024九上·北京市开学考）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（　　）
A．或3 B． C．3 D．或7
10．（2023九上·孟州期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2023九上·天桥期中）一元二次方程x2=x的根是　 　.
12．（2024九上·岳阳期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　．
13．（2024九上·武侯期中）已知是方程的两个实数根，则的值是　 　．
14．（2024九上·中山期中）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程　 　．
15．（2024九上·凉州期中）非零实数满足，，则的值是　 　．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（2024九上·成都期中）解方程
（1） （2）2（x－3）=3x（x－3）
17．（2024九上·乐山期中）已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果满足不等式>且m为整数，求m的值．
18．（2023九上·沙依巴克月考）如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？
19．（2024九上·红塔月考）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？
20．（2024九上·黄岛月考）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)
（1）若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件．
（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗 若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
21．（2025九上·肇庆期中）【知识技能】
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，
则．
【数学理解】
（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
22．（2024九上·岳阳期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“______倍根方程”；
（2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
（4）由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
23．（2024九上·南山期中）【阅读理解】
若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数现规定为该“快乐方程”的“快乐数”例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称互为“开心数”．
（1） “快乐方程”的“快乐数”为　 　；
（2）若关于的一元二次方程为整数，且是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程均为整数都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程方程的二次项系数是，一次项系数、常数项，
故选：C．
【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人
由题意可得：x(x-1)=306
解得：x=18或x=-17(舍去)
故答案为：C
【分析】设该兴趣小组的人数为x人，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵有一个根为x=0，
∴，
∴，
∴或.
故答案为：或.
【分析】根据有一个根为x=0得，解出即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴a+b=1，ab=-2024，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-2024，然后代入代数式计算解答即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴的取值范围为且．
故选：B．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设共有x支球队参加比赛，
根据题意得：．
故答案为：．
【分析】设有支球队参赛，根据“ 采取单循环赛制，共安排了28场比赛 ”列一元二次方程即可．
7．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-1=0，
x2-4x=1，
x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
故答案为：D．
【分析】根据移项，配方，即可得出选项．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵，
关于的方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A．
【分析】由新定义运算法则得出关于x的一元二次方程x2-8x=-12，移项，将方程整理成一般形式，算出根的判别式b2-4ac的值，结合一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，判断得出答案.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根，
根据韦达定理，可得，，
又因为，所以，
即，解得：，，
因为，解得，所以．
故选：C．
【分析】根据题意，利用一元二次方程的根与系数的关系，结合，列出方程，求得t的值，再根据，得出，即可求出结果.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x 1）文，依题意得：3（x 1）x＝6210，
故答案为：A.
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x 1）文，根据单价乘以数量=总价列出方程即可.
11．【答案】x1=1，x2=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵x2=x，
∴x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
解得：x1=0，x2=1，
故答案为：x1=0，x2=1.
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程，
∴且，
解得：，
故答案为：.
【分析】由一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，据此即求出的值.
13．【答案】2040
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则，，据此求出a+b的值，进而根据方程根的定义得出，从而整体代入待求式子后将待求式子变形为，然后再整体代入计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，依题意得，
，
故答案为：．
【分析】设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据 新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆． 即可得出方程。
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴是方程的两根，
，
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程的根以及根与系数的关系可得，再将其代入计算即可.
16．【答案】解：（1）x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
，
，
，；
（2）2（x－3）=3x（x－3），
3x（x－3）-2（x－3）=0，
，
，.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，利用配方法时，首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）把x-3看成一个整体，将方程右边整体移到方程的左边，然后将方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式等于零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
17．【答案】（1）解： 是一元二次方程的两个实数根，
△，即，
解得．
故实数的取值范围是。
（2）解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
解得，
又且为整数，
的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，对应的判别式△，列式计算即可；
（2）由根与系数的关系，，代入求出m的取值范围，并结合（1）的m的范围，找到m的整数值即可。
（1）解：方程有两个实数根，
△，即，
解得．
故实数的取值范围是；
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
∴
，
解得，
又且为整数，
的值为．
18．【答案】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，
，
解得：（不合题意，舍去）
答：每条道路的宽为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的实际应用， 涉及矩形面积公式以及通过平移转化图形来简化问题的思想，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法．设道路的宽为，将种植草坪的部分通过评平移，可以拼成一个新的矩形，这个新矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合“草坪的面积为570”可列出方程：，解得：，因为矩形的宽为20米，35＞20，不符合实际情况，所以舍去x=35，故道路的宽为1米，由此可得出答案.
19．【答案】解：设一个人每节课手把手教会了名同学，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：一个人每节课手把手教会了6名同学．
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】设一个人每节课手把手教会了名同学，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
∴当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元；
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得：，
∴，
∴该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得该纪念品的销售单价为45元时，当天销售量为 （件），
故答案为：230.
【分析】（1）根据当天销售量为280减去10乘以增加的销售单价，即可得到答案；
（2）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量件，根据产品的当天销售利润是2610元列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售量为件，列出一元二次方程，然后根据一元二次方程根的判别式判断即可．
（1）解：（件），
故答案为：230；
（2）解：设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
整理解得，，
答：当该纪念品的销售单价定价为元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）解：不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为元，则当天的销售利润为件，
依题意得，
整理得，
，
故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．
21．【答案】解：（），
（）根据根与系数的关系得，，
∴
；
（）∵实数，满足，，且，
∴、可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（）根据根与系数的关系得，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据二次方程根与系数的关系可得，，由，整体代入即可求出答案.
22．【答案】（1）四
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
∴设，是方程的解，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：∵关于的方程是“倍根方程”，
∴设，是方程的解，
∴，
∴，
（4）1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”，
故答案为：四；
（4）∵（均为正数），
∴，
∴，
∴的最小值是1，
故答案为：1．
【分析】（1）先利用”因式分解法“解一元二次方程，然后根据“倍根方程”的定义得到答案；
（2）根据三倍根方程的定义设，是该方程的解，然后利用一元二次方程根与系数的关系得到方程组并解之即可；
（3）根据倍根方程的定义设与是该方程的解，然后利用一元二次方程根与系数的关系得到方程组并消去即可；
（4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案.
（1）解：，
，
解得和，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）解：由题意可设：与是方程的解，
∴，
解得：，
∴m的值为；
（3）解：∵关于x的方程是“n倍根方程”，
∴可设与是方程的解，
∴，
消去得：，
（4）解：由参考公式：（x、y均为正数）可得，
∴，
故答案为：1．
23．【答案】（1）
（2）解：关于x的一元二次方程，△，
，即：，
或4m+13=36，
，（舍去），
方程变为：，
则，，，
故其“快乐数”数是；
（3）解：，或，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）方程：的“快乐数，，；
故答案为：；
（3），
△，
设△，
∴，
或2或或，
或4或或，
解得或，
方程变为：或；
，
△，
，，，
当时，，
解得：或（不合题意），
当时，，
解得：．
故，或，．
【分析】（1）参照题干中的定义及“快乐数”的定义列出算式求解即可；
（2）先求出一元二次方程根的判别式可得△，再结合，求出，可得或4m+13=36，再求出m的值，可得方程，再利用“快乐数”的定义列出算式求解即可；
（3）先利用“快乐方程”的定义求出m的值，可得方程或，再利用“快乐数”的定义及计算方法求出，，，再分类讨论：①当时，，②当时，，再求出n的值即可.
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