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湘教版（新课标）必修第一册第三章
一、单选题
1.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若函数的定义域，值域，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.已知偶函数的定义域为，当时，是减函数，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 单调递增且是偶函数 B. 单调递增且是奇函数
C. 单调递减且是偶函数 D. 单调递减且是奇函数
5.已知函数的定义域为，图象关于原点对称，部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. 的单调递增区间为 D.
6.如果奇函数在上是减函数，且最大值是，那么，在上是( )
A. 增函数，最大值为 B. 减函数，最大值为
C. 减函数，最小值为 D. 增函数，最小值为
7.已知奇函数在区间上是增函数，且最大值为，最小值为，则在区间上的最大值、最小值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. 不确定
8.已知，，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是 ．
A. B.
C. D.
9.设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
10.下面四组函数中，与表示的不是同一个函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.已知定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，则下列判断正确的是( )
A. 的周期是 B. 是函数的最大值
C. 的图象关于点对称 D. 在上是减函数
12.已知定义在上的奇函数满足为偶函数，且在区间上单调递增，则( )
A. 的周期为
B. 是函数的最小值
C. 函数的图象的一个对称中心为
D.
13.已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则下列说法正确的有( )
A. 这个函数有两个单调递增区间 B. 这个函数有三个单调递减区间
C. 这个函数在其定义域内有最大值 D. 这个函数在其定义域内有最小值
14.已知定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，则下列判断正确的是( )
A. 的周期是 B. 是函数的最大值
C. 的图象关于点对称 D. 在上是减函数
15.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，，，当时，都有则下列选项成立的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，，使得
16.给出以下四个判断，其中正确的是( )
A. 的定义域为
B. 函数与不是同一函数
C. 若的定义域为，则的定义域为
D. 若函数，则，
三、填空题
17.已知函数满足，当，则 ．
18.已知函数，若，则 ．
19.已知函数，则 ．
20.已知，则__________．
21.已知函数的对应关系如表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则的值为 ．
四、解答题
22.
已知函数，且．
判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．
证明函数在上是增函数．
求函数在区间上的最大值和最小值．
23.
已知函数．
求与；
用分段函数的形式表示函数；
画出函数的图象，并写出函数的值域．
24.
已知函数满足．
求的解析式
求函数在上的值域．
25.
已知函数的图象经过点，
求函数的解析式
判断函数在上的单调性并用定义证明
求在区间上的最值．
26.
已知函数对于任意，，总有，且时，．
求证： 在上是奇函数；
求证： 在上是减函数；
若 ，求 在区间上的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
对于，，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数
对于，，，定义域不同，故不为同一函数
对于，，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数
对于，，，，定义域不同，故不为同一函数．
故选C．
2.【答案】
【解析】
选项A，定义域为，与条件不符，故A错误；
选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确；
选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误；
选项D，值域与条件不符，故D错误．
综上所述，正确选项为．
故选：．
3.【答案】
【解析】因为偶函数的定义域为，
当时，是减函数，
所以，，
而，所以，
即．
故选D．
4.【答案】
【解析】因为，其定义域为，关于原点对称，
所以，
所以是奇函数．
又，
因为指数函数在上单调递增，且，那么在上单调递增，且，
所以在上单调递减，则在上单调递增，
那么在上单调递增．
故单调递增且是奇函数．
故选：．
5.【答案】
【解析】
对于，由函数为奇函数，且在上单调递增，故有，则A正确；
对于，由函数为奇函数以及图象得为最小值，则B错误；
对于，由函数为奇函数以及函数图象得其上单调递增，则C错误；
对于，由函数为奇函数则，则D错误．
故选A．
6.【答案】
【解析】
奇函数的图象关于原点对称，
故奇函数在对称区间上单调性相同，
若函数在上是减函数且最大值是，
则在上是减函数且最小值是，
故选C．
7.【答案】
【解析】
奇函数在区间是增函数，且最大值为，最小值为，
根据奇函数图象关于原点对称，
在也为增函数，
在上的最大值、最小值分别是，，
故选A．
8.【答案】
【解析】
是函数图象，其值域为，故不符合题意；
是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；
是函数图象，值域为，故不符合题意；
是函数图象，值域为，故不符合题意．
故选B．
9.【答案】
【解析】
函数为奇函数，故，
又函数定义在上，且在上单调递减，
故
函数在上单调递增，故，
故选D．
10.【答案】
【解析】
函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
，，定义域均为，对应法则也相同，两函数为同一函数；
的定义域为，的定义域为，定义域不同，对应法则不同，不是同一函数．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】
对于，，，
又为奇函数，，
则，即，
，
，即的周期是，故A错误；
对于，因为是上的奇函数，且在上是增函数，
所以在上是增函数；
又由，可得关于直线对称，
所以在上是减函数，
所以当时，是函数在上的最大值，
又因为的周期是，所以是函数在上的最大值，故B正确；
对于，因为是上的奇函数，所以关于原点对称，
又因为关于直线对称，所以关于直线对称，故C错误；
对于，由选项B可得，在上是减函数，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】
因为定义在上的奇函数满足为偶函数，
所以，．
进一步有，
所以函数的周期不是，故A错误；
再进一步有，所以是的周期，
又在区间上单调递增，
所以在区间上也单调递增，
所以不是函数的最小值，故B错误；
因为是奇函数，图象关于原点对称，并且周期，
所以它的图象也关于点对称，
即函数的图象的一个对称中心为，故C正确；
因为的周期为，
所以，故D正确．
故选CD．
13.【答案】
【解析】
根据偶函数的对称性画出函数的完整图象：
由图象可知，这个函数有三个单调增区间，三个单调减区间，
这个函数在其定义域内有最大值，最小值不是；
故选BC．
14.【答案】
【解析】
对于，，，
又为奇函数，，
则，即，
，
，即的周期是，故A错误；
对于，因为是上的奇函数，且在上是增函数，
所以在上是增函数；
又由，可得关于直线对称，
所以在上是减函数，
所以当时，是函数在上的最大值，
又因为的周期是，所以是函数在上的最大值，故B正确；
对于，因为是上的奇函数，所以关于原点对称，
又因为关于直线对称，所以关于直线对称，故C错误；
对于，由选项B可得，在上是减函数，故D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】
由条件得是偶函数，条件得在上单调递增，
所以，故A对，
若，则，得，故B错，
若，则或，因为，
所以或，故C正确，
因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，
所以，所以对，只需即可，故D正确，
故选：．
16.【答案】
【解析】对于，由得且，
所以函数的定义域为，故A正确
对于，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数，故B正确
对于，由于的定义域为，
所以中：，解得
，所以的定义域为，故C错误
对于，令，，则，所以，故，，故D正确．
故选ABD
17.【答案】
【解析】
因为，且，
所以．
故答案为．
18.【答案】
令，得，
则．
因为，所以，
解得．
19.【答案】
【解析】
因此
故答案为．
20.【答案】
【解析】令，
则．
故答案为．
21.【答案】
【解析】由的表格知，，
由函数的图像可知，，
，
故答案为．
22.【解析】 在其定义域上为奇函数，
，定义域为，，
，，，
在定义域上为奇函数．
任取，，且，
，
，，，．
，，
在上为增函数．
在上单调递增，
在上的最小值和最大值为，．
23.【答案】， ；
；
函数的大致图象如图详见解答过程；函数的值域为
【解析】因为，
所以，；
；
函数的大致图象如图所示：
结合函数图象可知，函数的值域为．
24.【解析】由 可得
，
通过消元可得 ．
由题意可得 ，
因为 的图象的对称轴为 ，
又因为，函数在上单调递增，
所以 ，
，
所以 在 上的值域为 ．
25.【解析】的图象过，，
，解得，
函数在上为减函数，证明如下：
设任意，，且，
则
由，得，，．
由得，，
，即，
函数在上为减函数．
由知，函数在上为减函数，
，，
的值域是．
26.【解析】证明：函数 对于任意，总有 ，
令得 ，
令得 ，
在上是奇函数．
证明：在上任取，
则， ，
时， ， ，
， 在上是减函数．
解： 是上的减函数，
在上也是减函数，
在上的最大值和最小值分别为 和 ，
而 ， ，
在上的最大值为，最小值为．
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