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2025-2026学年河南省许昌市禹州市第三高级中学菁华校区高二上学期第一次阶段性考试（9月）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行六面体中，为的中点，若则( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是( )
A. B. 或 C. D. 或
5.已知空间向量，则在上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，直线与所成角为，则三棱锥外接球表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则( )
A. B.
C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A. B. 向量与所成角的余弦值为
C. 平面的一个法向量是 D. 点到平面的距离为
11.如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是( )
A. 长为
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，若、、三向量共面，则实数等于
13.在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则 ．
14.在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，，，，，，为空间的个点如图所示，并且，，，，求证：
，，，四点共面，，，，四点共面；
；
三点共线．
16.本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，平面，，点为的中点，点在上，且．

求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知空间中三点，，．
设，且，求的坐标；
若四边形是平行四边形，求顶点的坐标；
求的面积．
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，，，．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
若为线段上的动点，求到直线距离的最小值．
19.本小题分
已知是棱长为的正方体表面上一动点，，分别是线段和的中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形．
证明：为平行四边形；
是否存在，使得和底面的夹角为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
证明：点和形成的多面体的体积为定值．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.【详解】由，，
知，，，四点共面，，，，四点共面；
由，，，
得
，
所以；
由知，
所以
，
所以，
即，又与有一个公共点，所以三点共线．

16.【详解】证明：因为平面平面，因为，可得，
又因为平面平面，且平面，所以平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，，
所以，，
则，所以，所以．
解：由已知得平面的一个法向量为，
因为，又由，
设平面的法向量，则
取，可得，所以，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

17.【详解】由已知得．
因为，所以可设，
所以，解得，
所以或．
设，因为是平行四边形，所以，
由，，，
得，，
所以，故．
由题可得，，
所以，，
所以，
又，所以，
所以的面积．

18.【详解】证明：由直四棱柱知底面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，，，
所以，，
所以∽，所以，
因为，所以，所以，
又，，平面，所以平面．
解：因为底面，平面，
所以，
因为，所以，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
由知，为平面的一个法向量．
设为平面的一个法向量，
因为，，
所以，即，令，可得．
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
解：设，，
则，，
设到直线的距离为，则
，
所以当时，，即到直线距离的最小值为．

19.【详解】，截面，
当在点处时，在平面内的射影为，
当在点时，在平面内的射影为，
令分别为的中点，过的截面与和均垂直，即与垂直，即截面为，
当在点处时，在平面内的射影为，在平面内的射影为，
过的截面为与和均垂直，即与垂直，即截面为，
当在上移动时，截面绕转动，
当在点时，在面射影为，
由面面平等的性质可知截面总为平行四边形；
不存在
理由：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
过作于，由题意得平面，
是平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，为和底面的夹角，
，
存在，使得和底面的夹角大于；
不否存在，使得和底面的夹角为．
设截面与交于点，与交于，
四棱锥被平面分成两个三棱锥为三棱锥，三棱锥，
两个三棱锥底面无论截面变化，底面面积均不变，两个三棱锥的高均为正方体的棱长，
三棱锥，三棱锥的体积为定值，
点和形成的多面体为定值．

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