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苏科版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷二(范围:1~3章)
一、选择题（每题3分，共24分））
1．（2024·惠东模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．－1 D．0
2．（2024八上·德阳月考）如图，若的面积为a，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含a的式子表示），（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·潮南月考）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七上·苍南期末）苍南因地处玉苍山之南，故取县名为苍南．其总面积为1079.34平方公里，数1079.34精确到个位，则近似值为（　　）
A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070
5．（2024八上·怀集期末）等腰的一条边为3cm，另一条边为7cm，则第三边的长为（　　）
A． B． C． D．或
6．（2024九上·新会开学考）如图，在中，为中点，在上，且，若，，则的长度是（　　）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
7．（2025八下·江海期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（2023八上·二七期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图.当输入x的值是64时，输出的y值是　 　.
10．（2023七上·苍南期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为　 　.
11．（2024·钦州模拟）最接近的整数是　 　．
12．如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，则∠MAC=　 　.
13．（2024八上·石家庄期中）若，则的立方根为　 　．
14．（2025八上·宁海期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是　 　．
15．（2025八上·丽水期末）如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是　 　；
（2）若，且，则　 　．
16．（2024八上·象山期中）已知在中，，，将绕点分别旋转，，得到，，连接，，分别交，，于点，，，若的面积为，则的面积是　 　．
三、解答题（共10题，共102分）
17．（2025七下·郴州期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025七下·通渭期中）求下列各式中的值．
（1）；
（2）．
19．（2024八上·成都期中）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）若的小数部分为c，求的平方根．
20．（2024八下·梁平月考）已知，b满足．
（1）求，的值；
（2）如果一个三角形的三边长分别是，，，请化简．
21．（2024八下·海安期中）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
（1）四边形的面积；
（2）点D到的距离．
22．（2023八上·平桂期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长.
23．（2022八上·宜丰月考）已知a、b均为正数，且、、是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积.
24．（2024八下·柳南期中）如图1，在矩形ABCD中，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）求证：＝；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
25．（2025·平湖二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上。
（1）求证：AD平分∠CAE。
（2）若BC=3，AC=4，求∠CAE的正弦值。
26．（2023七下·新都期末）学行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．
（1）若为等腰直角三角形，且；
①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么∠APF= ▲ 度；
②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；
（2）若为等腰三角形，已知．
丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，A不符合题意；
B、π是无理数，B符合题意；
C、-1是整数，属于有理数，C不符合题意；
D、0是整数，属于有理数，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有：π，，分数和整数统称为有理数即可求解.
2．【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
A，B，C分别是的中点，
，，
，
，，
同理可得：，，
，
故选：A．
【分析】由题意得，，结合已知，得，因此，同理可得：，，进而即可求出阴影部分的面积．
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：∵ 数1079.34精确到个位，
∴近似值是1079，
故答案为：C．
【分析】经过四舍五入得到的数为近似数，精确到个位，只需把十分位上的数字3进行四舍五入即可得到答案.．
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设等腰三角形的第三边长为，
∴，
解得，
等腰三角形的第三边长可能是．
故答案为：C
【分析】设等腰三角形的第三边长为，先根据三角形的三边关系得到，再解不等式组，从而根据等腰三角形的定义对比选项即可求解。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
又，
由勾股定理得：．
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB长，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出BE即可．
7．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：由题知AB=1，OA=2
在Rt△OAB中：OB===
∴OP=
∴P点表示的数为-
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求得OB的长度，再结合圆的性质可确定点P所表达的数。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BD，CD
∵DG是BC的垂直平分线
∴BD=CD
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE=CF
在Rt△ADE和Rt△ADF中
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE=AF
∵BE=CF
∴AB-BE=AC+CF
∴6-BE=4+BE
解得：BE=1
故答案为：A
【分析】连接BD，CD，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，再根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），则BE=CF，AE=AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．
故答案为．
【分析】根据流程图依次计算，不满足输出条件，循环计算解答即可．
10．【答案】
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a-4），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根为，
故答案为：.
【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个立方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为0，据此建立方程求出a的值，进而可求出b的值，计算出b与a的差，最后根据算术平方根的定义即可求解.
11．【答案】5
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则最接近的整数是，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
12．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵AB=BC，∠BAM=∠NAC，
∴∠BAC=∠BCA=∠BAM+∠NAC+∠MAN=2∠BAM+∠MAN．
∵MN=NA，
∴∠MAN=∠AMN=∠B+∠BAM，
∴∠BAC=∠BCA=2∠BAM+∠B+∠BAM=∠B+3∠BAM
∴∠B+2（∠B+3∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM=60°
又∵∠B+2（∠MAN+2∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM+2∠BAM+2∠MAN=180°，即2（∠BAM+∠MAN）=180°-60°=120°
∴∠MAC=∠NAC+∠MAN=∠BAM+∠MAN=60°．
故答案为：60．
【分析】 设∠BAM=∠CAN=x，∠MAN=y， 再由MN=NA得出∠AMN=∠MAN=y，故可得出∠B=y-x，同理可得∠C=∠BAC=2x+y，再由三角形内角和定理即可得出结论.本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键.
13．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，且，
∴
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴的立方根为，
故答案为：．
【分析】本题考查算术平方根的非负性，求一个数的立方根，已知字母的值求代数式的值.先利用算术平方根的非负性可列出方程，解方程可求出x、y的值，再计算，最后根据立方根的定义进行计算可求出答案．
14．【答案】47
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
，
，
即最大正方形E的面积为：．
故答案为：47．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，利用勾股定理可求出最大正方形E的面积.
15．【答案】（1）10
（2）6
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
【分析】（1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定可证，在由全等三角形的性质及勾股定理即可解答；
（2）由条件易证，由全等三角形的性质得到，所以，即可求解．
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过作于，延长交于，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，，
∴，，
同理：，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积∶，
故答案为：．
【分析】过作于，延长交于，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得OA=2AB，利用性质的性质可得到相关的角和边相等，利用SAS可证得，，由此可求出△DOF，△AOD、△AOF的面积，同时可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠FAD的度数；再利用直角三角形的性质和勾股定理可推出，由此可证得，利用全等三角形的性质可得到，
可得到△QRP是等边三角形，利用三角形的面积公式可求出OM2，OA的长，利用勾股定理求出QN的长，然后利用三角形的面积公式可求出△PQR的面积.
17．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先求立方根、算术平方根和化简绝对值，再进行加减计算；
（2）先求立方根、算术平方根，乘方运算，再计算乘法，最后进行加减计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，
移项，得，
两边同除以4，得，
开平方，得；
（2）解：，
移项，得，
两边同除以2，得，
开立方，得，
解得：．
【知识点】利用开平方求未知数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）按照求平方根的方法解方程即可；
（2）按照求立方根的方法解方程即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；开平方（求平方根）
【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数并结合互为相反数的两个数的和为0可得关于x的方程，解方程求出的值，通过估算可求出的值；
（2）由题意求出，再将a、b、c的值代入所求代数式计算即可求解．
（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
20．【答案】（1）解：∵ ，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵a、b、c为三角形的三边长，
∴，
∴，，
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）先利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）利用三角形三边的关系可得，， 再利用二次根式的性质及绝对值的性质化简可得答案.
21．【答案】（1）解：连结，
在中，∵，，
∴
在中，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴
答：四边形的面积为．
（2）解：过点D作于点E
∵
∴；
答：点D到的距离为．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用，结合三角形面积即可求出答案.
（2）过点D作于点E，根据三角面积即可求出答案.
22．【答案】解：连接AE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ （180°-∠BAC）＝30°，
∵直线ED是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC＝6，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC-∠EAC＝90°，
∴BE＝2AE＝12，
∴线段BE的长为12.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 连接AE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B＝∠C＝30°，根据垂直平分线的性质可得EA＝EC＝6，由等腰三角形的性质可得∠EAC＝∠C＝30°，则∠BAE＝∠BAC-∠EAC＝90°，由含30°角的直角三角形的性质可得BE＝2AE，据此求解.
23．【答案】解：如图，在矩形中，，分别是边，的中点，且，，连接，
∴，，，，，
∴，，，
∴，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】构造矩形，，分别是边，的中点，且，，连接，结合矩形的性质，利用勾股定理得的值，最后利用三角形面积求出的值即可.
24．【答案】解：（1）如图1，
四边形是矩形，点在的延长线上，
，
又，，
，
，
，
∴，
∴；
（2）如图1，四边形是矩形，点在的延长线上，
．
由（1）知，．
，
．
．
∵在中，．
，
∴．
，
；
（3）如图2，在线段上取点，使得，
∴在与中
，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据矩形的性质：四个角都是90°可知：，结合题中条件：AD=AE，AF=AB，通过全等三角形的判定方法SAS可证明，再由全等三角形的性质：对应角相等可知：∠AEF=∠ADB，根据角的和差运算可知：∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，再根据三角形内角和定理可知：∠BGE=90°，由垂直的定义可知：BD⊥EC，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质：四个角都是90°，对边相等可知：∠CBA=90°，BC=AD=AE，再利用等面积法得到：，化简得：，变形为；再根据勾股定理可知： 在中， ，结合分式的计算化简得：，再结合，等量代换即可得出：，即可证得结论；
（3）在线段EG上取点P，使得EP=DG，由全等三角形的判定方法SAS可证得：，再由全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知：AP=AG，∠EAP=∠DAG，再结合角的和差运算可得： ∠ PAG= ∠ PAD+ ∠ DAG= ∠ DAE=90°，由此可知：为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形三边关系和线段的和差运算可知：，即可证得结论．
25．【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAE，
而∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠CAD(三线合一)，
又∠DAE=∠CAD，
即AD平分∠CAE.
（2）解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，
由(1)可知∠BAC=∠CAD=∠DAE
即∠BAD=∠CAE，
而AB=AD，∠ACB=90°
∴BD=2BC=6(三线合一)，
过点B作AD的垂线，垂足为点H，
∴，
∴，
在Rt△ABH中，，.
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)通过旋转的性质和等腰三角形的性质证明角平分线；
(2)利用勾股定理和正弦的倍角公式求解正弦值.
26．【答案】（1）解：①105；②②∵，
∴，
如图2，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由②得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）①在中，，
∴∠DCF=30°，
∴∠PCA=∠ACB-∠DCF=90°-30°=60°，
∴∠APF=∠PCA+∠A=60°+45°=105°，
故答案为：105.
【分析】（1）①由三角形内角和求出∠DCF=30°，继而求∠PCA=∠ACB-∠DCF=60°，利用三角形外角的性质可得∠APF=∠PCA+∠A，据此计算即可；
②由三角形内角和求出∠B=45°，∠E=30°， 过点P作 ，则，利用平行线的性质可得，根据即可求解；
（2）由平行线的性质可得，利用等腰三角形的性质及三角形内角和可得，再根据三角形外角的性质即可求解.
1 / 1苏科版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷二(范围:1~3章)
一、选择题（每题3分，共24分））
1．（2024·惠东模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．－1 D．0
【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，A不符合题意；
B、π是无理数，B符合题意；
C、-1是整数，属于有理数，C不符合题意；
D、0是整数，属于有理数，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有：π，，分数和整数统称为有理数即可求解.
2．（2024八上·德阳月考）如图，若的面积为a，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含a的式子表示），（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
A，B，C分别是的中点，
，，
，
，，
同理可得：，，
，
故选：A．
【分析】由题意得，，结合已知，得，因此，同理可得：，，进而即可求出阴影部分的面积．
3．（2024八上·潮南月考）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024七上·苍南期末）苍南因地处玉苍山之南，故取县名为苍南．其总面积为1079.34平方公里，数1079.34精确到个位，则近似值为（　　）
A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070
【答案】C
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：∵ 数1079.34精确到个位，
∴近似值是1079，
故答案为：C．
【分析】经过四舍五入得到的数为近似数，精确到个位，只需把十分位上的数字3进行四舍五入即可得到答案.．
5．（2024八上·怀集期末）等腰的一条边为3cm，另一条边为7cm，则第三边的长为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设等腰三角形的第三边长为，
∴，
解得，
等腰三角形的第三边长可能是．
故答案为：C
【分析】设等腰三角形的第三边长为，先根据三角形的三边关系得到，再解不等式组，从而根据等腰三角形的定义对比选项即可求解。
6．（2024九上·新会开学考）如图，在中，为中点，在上，且，若，，则的长度是（　　）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
又，
由勾股定理得：．
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB长，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出BE即可．
7．（2025八下·江海期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：由题知AB=1，OA=2
在Rt△OAB中：OB===
∴OP=
∴P点表示的数为-
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求得OB的长度，再结合圆的性质可确定点P所表达的数。
8．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接BD，CD
∵DG是BC的垂直平分线
∴BD=CD
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE=CF
在Rt△ADE和Rt△ADF中
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE=AF
∵BE=CF
∴AB-BE=AC+CF
∴6-BE=4+BE
解得：BE=1
故答案为：A
【分析】连接BD，CD，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，再根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），则BE=CF，AE=AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（2023八上·二七期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图.当输入x的值是64时，输出的y值是　 　.
【答案】
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．
故答案为．
【分析】根据流程图依次计算，不满足输出条件，循环计算解答即可．
10．（2023七上·苍南期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为　 　.
【答案】
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a-4），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根为，
故答案为：.
【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个立方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为0，据此建立方程求出a的值，进而可求出b的值，计算出b与a的差，最后根据算术平方根的定义即可求解.
11．（2024·钦州模拟）最接近的整数是　 　．
【答案】5
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则最接近的整数是，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
12．如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，则∠MAC=　 　.
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵AB=BC，∠BAM=∠NAC，
∴∠BAC=∠BCA=∠BAM+∠NAC+∠MAN=2∠BAM+∠MAN．
∵MN=NA，
∴∠MAN=∠AMN=∠B+∠BAM，
∴∠BAC=∠BCA=2∠BAM+∠B+∠BAM=∠B+3∠BAM
∴∠B+2（∠B+3∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM=60°
又∵∠B+2（∠MAN+2∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM+2∠BAM+2∠MAN=180°，即2（∠BAM+∠MAN）=180°-60°=120°
∴∠MAC=∠NAC+∠MAN=∠BAM+∠MAN=60°．
故答案为：60．
【分析】 设∠BAM=∠CAN=x，∠MAN=y， 再由MN=NA得出∠AMN=∠MAN=y，故可得出∠B=y-x，同理可得∠C=∠BAC=2x+y，再由三角形内角和定理即可得出结论.本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键.
13．（2024八上·石家庄期中）若，则的立方根为　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，且，
∴
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴的立方根为，
故答案为：．
【分析】本题考查算术平方根的非负性，求一个数的立方根，已知字母的值求代数式的值.先利用算术平方根的非负性可列出方程，解方程可求出x、y的值，再计算，最后根据立方根的定义进行计算可求出答案．
14．（2025八上·宁海期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是　 　．
【答案】47
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
，
，
即最大正方形E的面积为：．
故答案为：47．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，利用勾股定理可求出最大正方形E的面积.
15．（2025八上·丽水期末）如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是　 　；
（2）若，且，则　 　．
【答案】（1）10
（2）6
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
【分析】（1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定可证，在由全等三角形的性质及勾股定理即可解答；
（2）由条件易证，由全等三角形的性质得到，所以，即可求解．
16．（2024八上·象山期中）已知在中，，，将绕点分别旋转，，得到，，连接，，分别交，，于点，，，若的面积为，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过作于，延长交于，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，，
∴，，
同理：，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积∶，
故答案为：．
【分析】过作于，延长交于，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得OA=2AB，利用性质的性质可得到相关的角和边相等，利用SAS可证得，，由此可求出△DOF，△AOD、△AOF的面积，同时可证得△ADF是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠FAD的度数；再利用直角三角形的性质和勾股定理可推出，由此可证得，利用全等三角形的性质可得到，
可得到△QRP是等边三角形，利用三角形的面积公式可求出OM2，OA的长，利用勾股定理求出QN的长，然后利用三角形的面积公式可求出△PQR的面积.
三、解答题（共10题，共102分）
17．（2025七下·郴州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先求立方根、算术平方根和化简绝对值，再进行加减计算；
（2）先求立方根、算术平方根，乘方运算，再计算乘法，最后进行加减计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·通渭期中）求下列各式中的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
移项，得，
两边同除以4，得，
开平方，得；
（2）解：，
移项，得，
两边同除以2，得，
开立方，得，
解得：．
【知识点】利用开平方求未知数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）按照求平方根的方法解方程即可；
（2）按照求立方根的方法解方程即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（2024八上·成都期中）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）若的小数部分为c，求的平方根．
【答案】（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；开平方（求平方根）
【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数并结合互为相反数的两个数的和为0可得关于x的方程，解方程求出的值，通过估算可求出的值；
（2）由题意求出，再将a、b、c的值代入所求代数式计算即可求解．
（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
20．（2024八下·梁平月考）已知，b满足．
（1）求，的值；
（2）如果一个三角形的三边长分别是，，，请化简．
【答案】（1）解：∵ ，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵a、b、c为三角形的三边长，
∴，
∴，，
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）先利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）利用三角形三边的关系可得，， 再利用二次根式的性质及绝对值的性质化简可得答案.
21．（2024八下·海安期中）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
（1）四边形的面积；
（2）点D到的距离．
【答案】（1）解：连结，
在中，∵，，
∴
在中，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴
答：四边形的面积为．
（2）解：过点D作于点E
∵
∴；
答：点D到的距离为．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用，结合三角形面积即可求出答案.
（2）过点D作于点E，根据三角面积即可求出答案.
22．（2023八上·平桂期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长.
【答案】解：连接AE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ （180°-∠BAC）＝30°，
∵直线ED是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC＝6，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC-∠EAC＝90°，
∴BE＝2AE＝12，
∴线段BE的长为12.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 连接AE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B＝∠C＝30°，根据垂直平分线的性质可得EA＝EC＝6，由等腰三角形的性质可得∠EAC＝∠C＝30°，则∠BAE＝∠BAC-∠EAC＝90°，由含30°角的直角三角形的性质可得BE＝2AE，据此求解.
23．（2022八上·宜丰月考）已知a、b均为正数，且、、是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积.
【答案】解：如图，在矩形中，，分别是边，的中点，且，，连接，
∴，，，，，
∴，，，
∴，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】构造矩形，，分别是边，的中点，且，，连接，结合矩形的性质，利用勾股定理得的值，最后利用三角形面积求出的值即可.
24．（2024八下·柳南期中）如图1，在矩形ABCD中，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）求证：＝；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
【答案】解：（1）如图1，
四边形是矩形，点在的延长线上，
，
又，，
，
，
，
∴，
∴；
（2）如图1，四边形是矩形，点在的延长线上，
．
由（1）知，．
，
．
．
∵在中，．
，
∴．
，
；
（3）如图2，在线段上取点，使得，
∴在与中
，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据矩形的性质：四个角都是90°可知：，结合题中条件：AD=AE，AF=AB，通过全等三角形的判定方法SAS可证明，再由全等三角形的性质：对应角相等可知：∠AEF=∠ADB，根据角的和差运算可知：∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，再根据三角形内角和定理可知：∠BGE=90°，由垂直的定义可知：BD⊥EC，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质：四个角都是90°，对边相等可知：∠CBA=90°，BC=AD=AE，再利用等面积法得到：，化简得：，变形为；再根据勾股定理可知： 在中， ，结合分式的计算化简得：，再结合，等量代换即可得出：，即可证得结论；
（3）在线段EG上取点P，使得EP=DG，由全等三角形的判定方法SAS可证得：，再由全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知：AP=AG，∠EAP=∠DAG，再结合角的和差运算可得： ∠ PAG= ∠ PAD+ ∠ DAG= ∠ DAE=90°，由此可知：为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形三边关系和线段的和差运算可知：，即可证得结论．
25．（2025·平湖二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上。
（1）求证：AD平分∠CAE。
（2）若BC=3，AC=4，求∠CAE的正弦值。
【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAE，
而∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠CAD(三线合一)，
又∠DAE=∠CAD，
即AD平分∠CAE.
（2）解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，
由(1)可知∠BAC=∠CAD=∠DAE
即∠BAD=∠CAE，
而AB=AD，∠ACB=90°
∴BD=2BC=6(三线合一)，
过点B作AD的垂线，垂足为点H，
∴，
∴，
在Rt△ABH中，，.
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)通过旋转的性质和等腰三角形的性质证明角平分线；
(2)利用勾股定理和正弦的倍角公式求解正弦值.
26．（2023七下·新都期末）学行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．
（1）若为等腰直角三角形，且；
①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么∠APF= ▲ 度；
②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；
（2）若为等腰三角形，已知．
丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程．
【答案】（1）解：①105；②②∵，
∴，
如图2，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由②得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）①在中，，
∴∠DCF=30°，
∴∠PCA=∠ACB-∠DCF=90°-30°=60°，
∴∠APF=∠PCA+∠A=60°+45°=105°，
故答案为：105.
【分析】（1）①由三角形内角和求出∠DCF=30°，继而求∠PCA=∠ACB-∠DCF=60°，利用三角形外角的性质可得∠APF=∠PCA+∠A，据此计算即可；
②由三角形内角和求出∠B=45°，∠E=30°， 过点P作 ，则，利用平行线的性质可得，根据即可求解；
（2）由平行线的性质可得，利用等腰三角形的性质及三角形内角和可得，再根据三角形外角的性质即可求解.
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