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14.2 三角形全等的判定
第十四章 全等三角形
第一课时
三角形全等的判定方法——边角边
1. 经历画图探索三角形是否全等的过程，理解“边角边”的判定方法.
2. 会应用全等三角形的判定方法“边角边”证明三角形全等.
3. 学会在探索过程中发现题设中的隐含条件，熟悉证明两个三角形全等的方法及步骤.
重点：运用“边角边”判定两个三角形全等.
难点：区分“边角边”与“边边角”，明确“角”必须是两边的夹角.
1.全等三角形的判定方法“边角边”或“SAS”的具体内容是_________________________________________.
2.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形会全等吗？
不一定.
3.三个角分别相等的两个三角形会全等吗？
不一定.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
我们知道，如果△ABC△A'B'C'，那么它们的对应边相等，对应角相等.反过来，根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A'B'C'满足三条边分别相等，三个角分别相等，即 AB＝A'B'，BC＝B'C'，CA＝C'A'，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，就能判定△ABC≌△A'B'C'，如图.
除了比较两个三角形是否能完全重合来判定它们全等外，还有其他的判定方法吗？
这节课我们就来一起探索两个三角形的边或角满足什么条件时这两个三角形才会全等.
【探究1】先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗？
请思考探索下列问题：
(1) 两个三角形只有一条边分别相等，它们会全等吗？
(2) 两个三角形只有一个角分别相等，它们会全等吗？
(3) 两个三角形只有两条边分别相等，它们会全等吗？
(4) 两个三角形只有两个角分别相等，它们会全等吗？
(5) 两个三角形只有一条边和一个角分别相等，它们会全等吗？
(1)~(5)的两个三角形都不一定会全等，即只给定两个三角形中的一个或两个元素分别相等，那么，这两个三角形不一定会全等.
【探究2】如图，直观上，如果∠A，AB，AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说，在△A'B'C'与△ABC中，如果∠A' ＝ ∠A，A'B' ＝ AB，A'C' ＝ AC，那么△A'B'C' ≌ △ABC.这个判断正确吗？
如图，由∠A' ＝ ∠A可知，如果使点A'与点A重合，并且使射线A'B'与射线AB重合，那么射线A'C'与射线AC重合.再由A'B' ＝ AB，A'C' ＝ AC，可知点B'，C'分别与点B，C重合，这样，△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B'C'与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C' ≌ △ABC.
小结：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
【例 1 】如图.AC＝AD，AB平分∠CAD，求证∠C＝∠D.
【分析】如果能证明△ABC≌△ABD，就可以得出∠C＝∠D.由题意可知，△ABC与△ABD具备“边角边”的条件.
【例 1 】如图.AC＝AD，AB平分∠CAD，求证∠C＝∠D.
【证明】∵AB平分∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB.
在△ABC和△ABD 中，
AC＝AD，
∠CAB＝∠DAB，
AB＝AB，
∴△ABC≌△ABD (SAS)，∴∠C＝∠D.
【提示】AB是△ABC的边又是△ABD的边，称它为两个三角形的公共边.
【练习1】 如右图，AD∥BC，AD＝CB，
求证：△ADC≌△CBA.
【解析】在△ADC和△CBA中，已经有一边分别相等(AD＝CB)，还缺两个条件，能发现题设中隐含的相等关系吗？从条件AD∥BC出发，可以得出∠DAC＝∠BCA，还有一个条件就是AC＝CA(公共边).这样，在△ADC和△CBA中，就满足“边角边”判定的条件.
【练习1】 如右图，AD∥BC，AD＝CB，求证△ADC≌△CBA.
【证明】∵AD//BC(已知)，
∴∠DAC＝∠BCA(两直线平行，内错角相等).
在△ADC和△CBA中，
AD＝CB(已知)，
∠DAC＝∠BCA(已证)，
AC＝CA(公共边)，
∴△ADC≌△CBA(SAS).
【练习2】如右图，AB＝AC，AD＝AE，求证∠B＝∠C.
【解析】在哪一对三角形中证明∠B＝∠C较容易？
将已知条件标在图形上，你会发现什么？
在△ABD和△ACE中，已经有两边分别相等：AB＝AC，AD＝AE，还缺一个条件，你还能发现吗？
(公共角：∠A＝∠A) .
【练习2】如右图，AB＝AC，AD＝AE，求证∠B＝∠C.
【证明】在△ABD和△ACE中，
AB＝AC(已知)，
∠A＝∠A(公共角)，
AD＝AE(已知)，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴ ∠B＝∠C.
通过本节课的学习，你有什么收获？
本节课主要学习了：
1. 借助画图的方法进行初步判断，培养了图形意识.
2. 用三角形全等的判定方法“边角边”来证明三角形全等.
3. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
谢谢！

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