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四川省威远县凤翔中学八年级 2025 年 10 月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题 4 分，共 48 分）
1． 的算术平方根是（ ）
A．4 B．2 C． D．
2．如图，边长为 a 的大正方形剪去一个边长为 b 的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据
图形可验证的等式为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．无限不循环小数是无理数 B．带根号的数都是无理数
C．无限小数都是无理数 D． 是无理数，但 是分数，也就是有理数
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若 可以用完全平方式来分解因式，则 的值为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
7．已知一个正数的平方根是 和 ，则这个数是（ ）
A． 1 B． C．16 D．64
8．已知 ，那么 （ ）
A． B．1 C．2 D．
9．下列各数： 、 、 、 、 、 ，其中无理数有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
10．如图，用四个完全一样的长、宽分别为 的长方形纸片围成一个大正方形 ，中间是空的小正
方形 ．若 ， ，判断以下关系式：① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
11．若 ， ，则 的值为（ ）
A．21 B．90 C．134 D．1125
12．已知单项式 与 的积与 是同类项，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题 4 分，共 16 分）
13．如图，正方形 的面积为 3，点 在数轴上，且表示的数为 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，
与数轴交于点 （点 在点 的右侧），则点 所表示的数为 ．
14．若 ，则 ．
15．已知 ， ， ，比较 a、b、c 的大小关系 （用“ ”连接）．
16．发现： ， ， ， ， ， ， ， ，依据上
述规律，通过计算判断 的结果的个位数字是 ．
三、解答题(6 个小题，共 56 分）
17．计算：
(1) (2)
18．已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，试求 的立方根．
19．先化简，再求值： ，其中 ．
20．【探究】如图①，从边长为 的大正方形中剪掉一个边长为 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼
成图②的长方形．
(1)由上面的拼图可以得到一个乘法公式：________；
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 的值为________；
②计算： ．
(3)计算： 的个位数字．
21．阅读材料，并解答问题．
例题：求多项式 的最小值．
解： ，
， ，
多项式 的最小值是 ．
(1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________；
当 取最小值 时， ______， ______．
(2)求多项式 的最大值．
22．（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应
公式的序号）公式①： ； 公式②： ；公式③：
公式④： ．图 1 对应公式 ，图 3 对应公式 ．
（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？
①已知 ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
（3）如图 5，在六边形 中，对角线 和 相交于点 ，当四边形 和四边形 都
为正方形时，若 ，正方形 和正方形 面积和为 ，直接写出阴影部分的面积 ．
（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是 90°）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D C D D A B B
题号 11 12
答案 D C
13． 14． 15． 16．6
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．解：∵ 是 的算术平方根， 是 的立方根，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的立方根为 ．
19．解：原式
，
，
，
原式 ．
20．（1）解：∵图①中大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b，
∴图①中阴影部分的面积为： ，
∵图②中阴影部分是一个长为 ，宽为 的长方形，
∴图②中阴影部分的面积为： ，
由拼图可知：图①中阴影部分的面积 图②中阴影部分的面积，
∴得到的一个乘法公式是： ，
故答案为： ；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
即 ，
由（1）中的乘法公式得： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4；
②
；
（3）解：
，
∵ ， ， ， ， ， ，…，
∴ 的个位数字为 6，
又∵ ，
∴ 的个位数字为 6，
∴ 的个位数字为 6．
21．（1）解：过程中使用了完全平方公式．
故答案为：完全平方公式．
原式 ，
当 ， 时，式子取到最小值，
此时， ， ， ；
（2）解：原式
，
， ，
，
即所求最大值为 ，当且仅当 时取到最大值．
22．解：（1）图 1，“整体”上看，是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，从“部分”
上看三个长方形的面积和为 ，
∴ ，故图 1 对应公式①；
图 2，“整体”上看，是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，从“部分”上看四个
长方形的面积和为 ，
∴ ，故图 2 对应公式②；
图 3，“整体”上看，是边长为 的正方形，因此面积为 ，从“部分”上看四个部分的面积和为
，
∴ ，故图 3 对应公式④；
图 4，“整体”上看，是边长为 的正方形，因此面积为 ，从“部分”上看四个部分的面积和为
，
∴ ，即 ，故图 4 对应公式③；
故答案为：①；④；
（2）①把 两边平方得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
②把 两边平方得： ，
∴ ，即 ，
∴ ；
（3）设 ， ，则有 ， ，
把 两边平方得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．

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