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第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
学习 目标 1. 使学生理解集合的含义，知道常用集合及其记法． 2. 使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义． 3. 使学生初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合．
新知初探基础落实
问题1：在小学或初中，我们有没有接触过集合？
有．代数方面：自然数集合、有理数集合、实数集合、方程解的集合、不等式解的集合；几何方面：点的集合等．
问题2：在初中学习中，我们用集合描述过什么吗？
有．例如，圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．
一、 生成概念
观察下列问题：
(1) 1～10以内的所有偶数；
(2) 立德中学今年入学的全体高一学生；
(3) 所有正方形；
(4) 到直线l的距离等于定长d的所有的点；
(5) 方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；
(6) 地球上的四大洋．
问题(1)中，我们把1～10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，问题(2)中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合．
思考： 上面的问题(3)到问题(6)也都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？
略．
请同学阅读课本P2—P4，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 元素与集合的含义
(1) 定义
①元素：一般地，我们把研究__对象__统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
②集合：把一些元素组成的__总体__叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(2) 集合相等：指构成两个集合的元素是__一样__的．
(3) 集合中元素的特性：__确定性__、__互异性__和__无序性__．
2. 元素与集合的关系
(1) 如果a是集合A中的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作__a∈A__；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作__a A__.
(2) 常用数集及其记法
名称 非负 整数集 (或自然 数集) 正整数 集 整数 集 有理数 集 实数 集
符号 __N__ __N*或N＋__ __Z__ __Q__ __R__
3. 集合的表示方法
(1) 列举法：把集合的所有元素__一一列举__出来，并用__{__}__括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2) 描述法：
①一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有__共同特征__ P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
②具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__一般符号__及取值(或变化)范围，再画__一条竖线__，在__竖线__后写出这个集合中元素所具有的__共同特征__.
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 某班的所有高个子同学可以组成一个集合．(　×　)
(2) 分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．(　√　)
(3) 由－1，1，1组成的集合中有3个元素．(　×　)
(4) 集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．(　×　)
(5) 集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　集合的概念及元素的三个特性
例1　(1) ①某单位的大胖子；②某公司身高超过1.80 m的高个子；③北京冬奥会中的比赛项目；④接近0的数的全体．其中不能组成集合的是__①④__．(填序号)
【解析】因为未规定大胖子的标准，所以①不能组成集合．因为④中的元素不确定，所以④不能组成集合．由于②③中的对象具备确定性，因此只有②③才能组成集合．
(2) 若x∈R，则集合{3，x，x2}中元素x应满足的条件是__x≠3，0，1，±__．
【解析】由集合中元素的互异性，知集合中的元素应满足条件即解得所以x应满足的条件是x≠3，0，1，±.
判断一组对象是否为集合的三个依据：(1) 确定性：判断这组元素是否构成集合．(2) 互异性：判断构成集合的元素是否重复．(3) 无序性：若一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
变式　下列说法正确的是(　D　)
A. 某服装店里出售的好看的衣服组成一个集合
B. 高一(6)班个子高的男生组成一个集合
C. 1，，，，这些数组成的集合有5个元素
D. 由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合
【解析】对于A，好看的衣服无法确定，故A错误；对于B，个子高的标准不确定，故B错误；对于C，有相同元素：与，与|－|，这些数组成的集合中只有3个元素，故C错误；对于D，符合集合中元素的无序性，故D正确．
探究2　集合的表示方法
例2-1　(课本P3例1改编)用列举法表示下列集合：
(1) 满足不等式0<2x<19的质数组成的集合；
【解答】不等式即为0(2) 一次函数y＝2x与y＝x＋1的图象的交点组成的集合．
【解答】联立方程组解得故图象的交点为(1，2)，用列举法表示为{(1，2)}．
用列举法表示集合时应注意：弄清集合中的元素是什么，是数、点，还是其他元素．若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
例2-2　(课本P4例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1) 方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；
【解答】设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0.因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
方程x2－2＝0有两个实数根，－，因此，用列举法表示为A＝{，－}．
(2) 由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
【解答】设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．
(1) 用描述法表示集合时，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素．
(2) 用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围．
变式　用描述法表示下列集合：
(1) 所有能被3整除的整数组成的集合；
【解答】集合的元素是实数x，能被3整除的整数可以表示为3k，k∈Z，故用描述法表示为{x|x＝3k，k∈Z}．
(2) 抛物线y＝－x2＋3x－6上所有点组成的集合．
【解答】集合的元素为点(x，y)，其坐标要满足函数y＝－x2＋3x－6的解析式，故用描述法表示为{(x，y)|y＝－x2＋3x－6}．
探究3　元素与集合的关系
例3　(1) (多选)下列关系正确的有(　BD　)
A. ∈Q　 B. －1 N　　　　
C. π R　 D. |－4|∈Z
【解析】因为是无理数，所以 Q，故A错误；－1 N，B正确；因为π是实数，所以π∈R，故C错误；因为|－4|＝4是整数，所以|－4|∈Z，故D正确．
(2) 如果A＝{x|x>－1}，那么(　D　)
A. －2∈A　 B. {0}∈A　　　　
C. －3∈A　 D. 0∈A
判断元素和集合关系的两种方法：(1) 直接法：集合中的元素是直接给出的．(2) 推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可．
变式　(1) 如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是(　A　)
A. 等腰三角形　 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形　 D. 直角三角形
【解析】根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形．
(2) 已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则a＝(　D　)
A. －1　 B. －3或1
C. 3　 D. －3
【解析】因为－3∈A，所以－3＝a2＋4a或－3＝a－2.若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝－3时，集合A＝，满足题意，故a＝－3成立．若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，a＝－3.
随堂内化及时评价
1. 下列说法正确的是(　B　)
A. 0与{0}表示同一个集合
B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C. 方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}
D. 集合{x|4【解析】对于A，0表示数，{0}表示集合，故A错误；对于B，集合中元素具有无序性，故B正确；对于C，集合中元素具有互异性，应该是{1，2}，故C错误；对于D，是无限集，故D错误．
2. 下列各组中的两个集合M和N，表示同一个集合的是(　D　)
A. M＝{π}，N＝{3.141 59}　　　　
B. M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
C. M＝{x|－1D. M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
【解析】D中两个集合均是1，，π这三个元素．
3. (多选)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　ABD　)
A. {－1，1}　 B.
C. {x|x>1}　 D. {x|x>0}
【解析】根据“影子关系”集合的定义，可知{－1，1}，，{x|x>0}为“影子关系”集合．对于C，当x＝2时， {x|x>1}，故{x|x>1}不是“影子关系”集合．
4. (课本P5练习2)用符号“∈”或“ ”填空：
0__∈__N；－3__ __N；0.5__ __Z；
__ __Z；__∈__Q；π__∈__R.
5. 已知集合M＝{1，m＋1，m2＋4}，如果5∈M且2 M，那么m＝__4或－1__．
【解析】由题5∈M且2 M，则当m＋1＝5，即m＝4时，集合M＝{1，5，20}，满足题意；当m2＋4＝5，即m＝1或－1时，集合M＝{1，2，5}或{1，0，5}，显然当m＝1时不满足题意，m＝－1时满足题意．综上所述，m＝4或－1.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列各组对象中能构成集合的是(　C　)
A. 充分接近的实数的全体
B. 数学成绩比较好的同学
C. 小于20的所有自然数
D. 未来世界的高科技产品
2. 下列选项中两集合表示同一个集合的是(　B　)
A. M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B. M＝{2，3}，N＝{3，2}
C. M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D. M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
3. 下列关系中正确的个数是(　B　)
①∈Z；②∈R；③0∈N*；④ Q.
A. 1　 B. 2
C. 3　 D. 4
4. 集合A＝用列举法可以表示为(　B　)
A. {3，6}　 B. {1，2}
C. {0，1，2}　 D. {－2，－1，0，1，2}
【解析】因为∈N*，所以3－x＝1，2，3，6，解得x＝2，1，0，－3.因为x∈N*，所以集合A＝{1，2}．
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是(　CD　)
A. 很小的实数可以构成集合
B. 集合{x|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合
C. 由1，，，，0.5这些数组成的集合有4个元素
D. 集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R}是指第二或第四象限内的点集
6. 已知集合A＝{2，a2＋1，a2－4a}，B＝{0，a2－a－2}，若5∈A，则实数a的值可以为(　BC　)
A. 2　 B. －2
C. 5　 D. －1
【解析】依题意知5∈A，当a2＋1＝5时，a＝2或a＝－2.若a＝－2，则A＝{2，5，12}，B＝{0，4}，符合题意；若a＝2，则a2－a－2＝0，对于集合B，不满足集合元素的互异性，所以a＝2不符合．当a2－4a＝5时，a＝－1或a＝5.若a＝－1，则a2＋1＝2，对于集合A，不满足集合元素的互异性，所以a＝－1不符合．若a＝5，则A＝{2，26，5}，B＝{0，18}，符合题意．综上所述，a的值为－2或5.
三、 填空题
7. 集合A＝{y|y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z}可用列举法表示为__{－1，0，3}__；集合B＝{(x，y)|y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z}可用列举法表示为__{(－2，3)，(－1，0)，(0，－1)，(1，0)，(2，3)}__．
【解析】由y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z，知x可取的值为0，±1，±2，当x＝0时，y＝－1，当x＝±1时，y＝0，当x＝±2时，y＝3，所以集合A＝{－1，0，3}．由题知集合B表示点集，所以B＝{(－2，3)，(－1，0)，(0，－1)，(1，0)，(2，3)}．
8. 已知集合A仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__0或－1__．
【解析】因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.
四、 解答题
9. (课本P6习题4)用适当的方法表示下列集合：
(1) 二次函数y＝x2－4的函数值组成的集合；
【解答】二次函数y＝x2－4的函数值为y，所以二次函数y＝x2－4的函数值y组成的集合为{y|y＝x2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}．
(2) 反比例函数y＝的自变量的取值组成的集合；
【解答】反比例函数y＝的自变量为x，所以反比例函数y＝的自变量的取值组成的集合为{x|x≠0}．
(3) 不等式3x≥4－2x的解集．
【解答】由3x≥4－2x，得x≥，所以不等式3x≥4－2x的解集为x≥}.
10. 已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1) 若1∈A，求实数a的值；
【解答】因为1∈A，所以a×12－3×1＋1＝0，所以a＝2.
(2) 若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
【解答】当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，解得a＝.综上，a＝0或a＝.
(3) 若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
【解答】集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解，所以a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<且a≠0，所以实数a的取值范围为a<且a≠0|.
若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝
{－1，1，2}__不是(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集__(答案不唯一)__．
【解析】由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
12. 定义A B＝，若A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，则A B中元素个数为(　D　)
A. 1　 B. 2
C. 4　 D. 5
【解析】因为A B＝，且A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}．当m＝1时，n可能为2，4，8，此时x的取值分别为，，；当m＝2时，n可能为2，4，8，此时x的取值分别为1，，；当m＝4时，n可能为2，4，8，此时x的取值分别为2，1，.综上可知，A B＝，所以集合A B中元素个数为5.
13. 设非空集合A中的元素都是实数，且满足：若m∈A(m≠0，m≠1)，则∈A.
(1) 若－1∈A，求出A中的另外两个元素；
【解答】因为－1∈A，＝∈A，＝2∈A，所以集合A中的另外两个元素为，2.
(2) 给出命题“A中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断；
【解答】该命题正确，证明如下：设x∈A，则∈A，则＝∈A，又x＝，x＝，＝均无解，所以“A中至少有三个元素”正确．
(3) 若A中的元素个数不超过7个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于A中某个元素的平方，求集合A.
【解答】由(2)知，若x∈A，那么∈A，∈A，x··＝－1，所以A中的元素为6个，其中1个元素为－1，不妨设A＝，所以－1＋2＋＋m＋＋＝，解得m＝4或m＝－或m＝，所以A＝.第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
学习 目标 1. 使学生理解集合的含义，知道常用集合及其记法． 2. 使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义． 3. 使学生初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P2—P4，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 元素与集合的含义
(1) 定义
①元素：一般地，我们把研究 统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
②集合：把一些元素组成的 叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(2) 集合相等：指构成两个集合的元素是 的．
(3) 集合中元素的特性： 、 和 ．
2. 元素与集合的关系
(1) 如果a是集合A中的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作 .
(2) 常用数集及其记法
名称 非负 整数集 (或自然 数集) 正整数 集 整数 集 有理数 集 实数 集
符号
3. 集合的表示方法
(1) 列举法：把集合的所有元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2) 描述法：
①一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
②具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及取值(或变化)范围，再画 ，在 后写出这个集合中元素所具有的 .
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 某班的所有高个子同学可以组成一个集合．(　 　)
(2) 分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．(　 　)
(3) 由－1，1，1组成的集合中有3个元素．(　 　)
(4) 集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．(　 　)
(5) 集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　集合的概念及元素的三个特性
例1　(1) ①某单位的大胖子；②某公司身高超过1.80 m的高个子；③北京冬奥会中的比赛项目；④接近0的数的全体．其中不能组成集合的是 ．(填序号)
(2) 若x∈R，则集合{3，x，x2}中元素x应满足的条件是 ．
判断一组对象是否为集合的三个依据：(1) 确定性：判断这组元素是否构成集合．(2) 互异性：判断构成集合的元素是否重复．(3) 无序性：若一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
变式　下列说法正确的是(　 　)
A. 某服装店里出售的好看的衣服组成一个集合
B. 高一(6)班个子高的男生组成一个集合
C. 1，，，，这些数组成的集合有5个元素
D. 由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合
探究2　集合的表示方法
例2-1　(课本P3例1改编)用列举法表示下列集合：
(1) 满足不等式0<2x<19的质数组成的集合；
(2) 一次函数y＝2x与y＝x＋1的图象的交点组成的集合．
用列举法表示集合时应注意：弄清集合中的元素是什么，是数、点，还是其他元素．若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
例2-2　(课本P4例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1) 方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；
(2) 由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
(1) 用描述法表示集合时，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素．
(2) 用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围．
变式　用描述法表示下列集合：
(1) 所有能被3整除的整数组成的集合；
(2) 抛物线y＝－x2＋3x－6上所有点组成的集合．
探究3　元素与集合的关系
例3　(1) (多选)下列关系正确的有(　 　)
A. ∈Q　 B. －1 N　　　　
C. π R　 D. |－4|∈Z
(2) 如果A＝{x|x>－1}，那么(　 　)
A. －2∈A　 B. {0}∈A　　　　
C. －3∈A　 D. 0∈A
判断元素和集合关系的两种方法：(1) 直接法：集合中的元素是直接给出的．(2) 推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可．
变式　(1) 如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是(　 　)
A. 等腰三角形　 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形　 D. 直角三角形
(2) 已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则a＝(　 　)
A. －1　 B. －3或1
C. 3　 D. －3
随堂内化及时评价
1. 下列说法正确的是(　 　)
A. 0与{0}表示同一个集合
B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C. 方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}
D. 集合{x|42. 下列各组中的两个集合M和N，表示同一个集合的是(　 　)
A. M＝{π}，N＝{3.141 59}　　　　
B. M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
C. M＝{x|－1D. M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
3. (多选)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　 　)
A. {－1，1}　 B.
C. {x|x>1}　 D. {x|x>0}
4. (课本P5练习2)用符号“∈”或“ ”填空：
0 N；－3 N；0.5 Z；
Z； Q；π R.
5. 已知集合M＝{1，m＋1，m2＋4}，如果5∈M且2 M，那么m＝ ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列各组对象中能构成集合的是(　 　)
A. 充分接近的实数的全体
B. 数学成绩比较好的同学
C. 小于20的所有自然数
D. 未来世界的高科技产品
2. 下列选项中两集合表示同一个集合的是(　 　)
A. M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B. M＝{2，3}，N＝{3，2}
C. M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D. M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
3. 下列关系中正确的个数是(　 　)
①∈Z；②∈R；③0∈N*；④ Q.
A. 1　 B. 2
C. 3　 D. 4
4. 集合A＝用列举法可以表示为(　 　)
A. {3，6}　 B. {1，2}
C. {0，1，2}　 D. {－2，－1，0，1，2}
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是(　 　)
A. 很小的实数可以构成集合
B. 集合{x|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合
C. 由1，，，，0.5这些数组成的集合有4个元素
D. 集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R}是指第二或第四象限内的点集
6. 已知集合A＝{2，a2＋1，a2－4a}，B＝{0，a2－a－2}，若5∈A，则实数a的值可以为(　 　)
A. 2　 B. －2
C. 5　 D. －1
三、 填空题
7. 集合A＝{y|y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z}可用列举法表示为 ；集合B＝{(x，y)|y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z}可用列举法表示为 ．
8. 已知集合A仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为 ．
四、 解答题
9. (课本P6习题4)用适当的方法表示下列集合：
(1) 二次函数y＝x2－4的函数值组成的集合；
(2) 反比例函数y＝的自变量的取值组成的集合；
(3) 不等式3x≥4－2x的解集．
10. 已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1) 若1∈A，求实数a的值；
(2) 若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
(3) 若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
11. 若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2} (填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集_ ．
12. 定义A B＝，若A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，则A B中元素个数为(　 　)
A. 1　 B. 2
C. 4　 D. 5
13. 设非空集合A中的元素都是实数，且满足：若m∈A(m≠0，m≠1)，则∈A.
(1) 若－1∈A，求出A中的另外两个元素；
(2) 给出命题“A中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断；
(3) 若A中的元素个数不超过7个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于A中某个元素的平方，求集合A.(共48张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
学习 目标 1. 使学生理解集合的含义，知道常用集合及其记法．
2. 使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义．
3. 使学生初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合．
问题1：在小学或初中，我们有没有接触过集合？
有．代数方面：自然数集合、有理数集合、实数集合、方程解的集合、不等式解的集合；几何方面：点的集合等．
问题2：在初中学习中，我们用集合描述过什么吗？
有．例如，圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．
一、 生成概念
观察下列问题：
(1) 1～10以内的所有偶数；
(2) 立德中学今年入学的全体高一学生；
(3) 所有正方形；
(4) 到直线l的距离等于定长d的所有的点；
(5) 方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；
(6) 地球上的四大洋．
问题(1)中，我们把1～10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，问题(2)中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合．
思考： 上面的问题(3)到问题(6)也都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？
请同学阅读课本P2—P4，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 元素与集合的含义
(1) 定义
①元素：一般地，我们把研究_______统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
②集合：把一些元素组成的_______叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(2) 集合相等：指构成两个集合的元素是_______的．
(3) 集合中元素的特性：_________、_________和_________．
对象
总体
一样
确定性
互异性
无序性
2. 元素与集合的关系
(1) 如果a是集合A中的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作_______；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作_______.
(2) 常用数集及其记法
名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ____ ___________ ____ ____ ____
a∈A
a A
N
N*或N＋
Z
Q
R
3. 集合的表示方法
(1) 列举法：把集合的所有元素___________出来，并用_________括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2) 描述法：
①一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有___________ P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
②具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的___________及取值(或变化)范围，再画___________，在_______后写出这个集合中元素所具有的___________.
一一列举
{　}
共同特征
一般符号
一条竖线
竖线
共同特征
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 某班的所有高个子同学可以组成一个集合． (　　)
(2) 分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的． (　　)
(3) 由－1，1，1组成的集合中有3个元素． (　　)
(4) 集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合． (　　)
(5) 集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}． (　　)
×
√
×
×
×
典例精讲 能力初成
探究
　　　(1) ①某单位的大胖子；②某公司身高超过1.80 m的高个子；③北京冬奥会中的比赛项目；④接近0的数的全体．其中不能组成集合的是_______．(填序号)
1
集合的概念及元素的三个特性
1
①④
【解析】因为未规定大胖子的标准，所以①不能组成集合．因为④中的元素不确定，所以④不能组成集合．由于②③中的对象具备确定性，因此只有②③才能组成集合．
(2) 若x∈R，则集合{3，x，x2}中元素x应满足的条件是___________________．
判断一组对象是否为集合的三个依据：(1) 确定性：判断这组元素是否构成集合．(2) 互异性：判断构成集合的元素是否重复．(3) 无序性：若一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
变式　
D
探究
　　　　　(课本P3例1改编)用列举法表示下列集合：
(1) 满足不等式0<2x<19的质数组成的集合；
2
集合的表示方法
2－1
(课本P3例1改编)用列举法表示下列集合：
(2) 一次函数y＝2x与y＝x＋1的图象的交点组成的集合．
用列举法表示集合时应注意：弄清集合中的元素是什么，是数、点，还是其他元素．若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
　　　　　(课本P4例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1) 方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；
【解答】设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0.因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
2－2
【解答】设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．
(课本P4例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(2) 由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
(1) 用描述法表示集合时，应先弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素．
(2) 用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围．
【解答】集合的元素是实数x，能被3整除的整数可以表示为3k，k∈Z，故用描述法表示为{x|x＝3k，k∈Z}．
变式　
　　　　用描述法表示下列集合：
(1) 所有能被3整除的整数组成的集合；
(2) 抛物线y＝－x2＋3x－6上所有点组成的集合．
【解答】集合的元素为点(x，y)，其坐标要满足函数y＝－x2＋3x－6的解析式，故用描述法表示为{(x，y)|y＝－x2＋3x－6}．
探究
　　　(1) (多选)下列关系正确的有 (　　)
3
元素与集合的关系
3
BD
(2) 如果A＝{x|x>－1}，那么 (　　)
A. －2∈A　 B. {0}∈A　　　　C. －3∈A　 D. 0∈A
D
判断元素和集合关系的两种方法：(1) 直接法：集合中的元素是直接给出的．(2) 推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可．
【解析】根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形．
变式　
　　　　(1) 如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是
(　　)
A. 等腰三角形　 B. 锐角三角形　
C. 钝角三角形　 D. 直角三角形
(2) 已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则a＝ (　　)
A. －1　 B. －3或1 C. 3　 D. －3
【解析】因为－3∈A，所以－3＝a2＋4a或－3＝a－2.若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝－3时，集合A＝{12，－3，－5}，满足题意，故a＝－3成立．若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，a＝－3.
D
A
随堂内化 及时评价
1. 下列说法正确的是 (　　)
A. 0与{0}表示同一个集合
B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C. 方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}
D. 集合{x|4B
【解析】对于A，0表示数，{0}表示集合，故A错误；对于B，集合中元素具有无序性，故B正确；对于C，集合中元素具有互异性，应该是{1，2}，故C错误；对于D，是无限集，故D错误．
2. 下列各组中的两个集合M和N，表示同一个集合的是 (　　)
A. M＝{π}，N＝{3.141 59}　　　　
B. M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
C. M＝{x|－1D
ABD
∈



∈
∈
5. 已知集合M＝{1，m＋1，m2＋4}，如果5∈M且2 M，那么m＝_________．
4或－1
【解析】由题5∈M且2 M，则当m＋1＝5，即m＝4时，集合M＝{1，5，20}，满足题意；当m2＋4＝5，即m＝1或－1时，集合M＝{1，2，5}或{1，0，5}，显然当m＝1时不满足题意，m＝－1时满足题意．综上所述，m＝4或－1.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列各组对象中能构成集合的是 (　　)
C
B. 数学成绩比较好的同学
C. 小于20的所有自然数
D. 未来世界的高科技产品
2. 下列选项中两集合表示同一个集合的是 (　　)
A. M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B. M＝{2，3}，N＝{3，2}
C. M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D. M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
B
B
B
二、 多项选择题
5. 下列说法正确的是 (　　)
A. 很小的实数可以构成集合
B. 集合{x|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合
CD
D. 集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R}是指第二或第四象限内的点集
6. 已知集合A＝{2，a2＋1，a2－4a}，B＝{0，a2－a－2}，若5∈A，则实数a的值可以为 (　　)
A. 2　 B. －2
C. 5　 D. －1
BC
【解析】依题意知5∈A，当a2＋1＝5时，a＝2或a＝－2.若a＝－2，则A＝{2，5，12}，B＝{0，4}，符合题意；若a＝2，则a2－a－2＝0，对于集合B，不满足集合元素的互异性，所以a＝2不符合．当a2－4a＝5时，a＝－1或a＝5.若a＝－1，则a2＋1＝2，对于集合A，不满足集合元素的互异性，所以a＝－1不符合．若a＝5，则A＝{2，26，5}，B＝{0，18}，符合题意．综上所述，a的值为－2或5.
三、 填空题
7. 集合A＝{y|y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z}可用列举法表示为________________；集合B＝{(x，y)|y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z}可用列举法表示为__________________________ _________________________．
{－1，0，3}
【解析】由y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z，知x可取的值为0，±1，±2，当x＝0时，y＝－1，当x＝±1时，y＝0，当x＝±2时，y＝3，所以集合A＝{－1，0，3}．由题知集合B表示点集，所以B＝{(－2，3)，(－1，0)，(0，－1)，(1，0)，(2，3)}．
{(－2，3)，(－1，0)，(0，－1)，(1，0)，(2，3)}
8. 已知集合A仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为_________．
0或－1
【解析】因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.
四、 解答题
9. (课本P6习题4)用适当的方法表示下列集合：
(1) 二次函数y＝x2－4的函数值组成的集合；
【解答】二次函数y＝x2－4的函数值为y，所以二次函数y＝x2－4的函数值y组成的集合为{y|y＝x2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}．
9. (课本P6习题4)用适当的方法表示下列集合：
(3) 不等式3x≥4－2x的解集．
10. 已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1) 若1∈A，求实数a的值；
【解答】因为1∈A，所以a×12－3×1＋1＝0，所以a＝2.
(2) 若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
10. 已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(3) 若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
11. 若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}_______(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的
可倒数集_____________________．
不是
D

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