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1.2　集合间的基本关系
学习 目标 1. 理解子集、真子集、空集的概念． 2. 能用符号和Venn图表达集合间的关系，掌握列举有限集的所有子集的方法．
新知初探基础落实
问题：我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢？
一、 生成概念
观察：下面集合A与集合B的元素间有何关系？
(1) A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(2) A＝{x|x为立德中学高一年级的学生}，B＝{x|x为立德中学的学生}．
集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素．
请同学阅读课本P7—P8，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 子集及其相关概念
概念 定义 符号表示 图形表示
子 集 对于两个集合A，B，如果集合A中__任意一个元素__都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真 子 集 如果集合A B，但存在元素__x∈B且x A__，则称集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
2. 集合的相等
如果集合A的__任意一个元素__都是集合B的__元素__(即A B)，同时集合B的__任意一个元素__都是集合A的__元素__(即B A)，那么集合A与集合B相等，记作__A＝B__．
3. 空集
我们把__不含任何元素__的集合叫做空集，记作__ __.
规定：空集是任何集合的__子集__，即 A.
补充：任何集合都是它自身的__子集__(填“子集”或“真子集”)．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 和{ }表示的意义相同．(　×　)
(2) {0，1}＝{1，0}＝{(0，1)}．(　×　)
(3) 如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　√　)
(4) 任何集合都有子集和真子集．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　子集、真子集
例1　(课本P8例1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
【解答】集合{a，b}的所有子集为 ，{a}，{b}，{a，b}．真子集为 ，{a}，{b}．
假设非空集合A中含有n个元素，则有：(1) A的子集的个数为2n.(2) A的真子集的个数为2n－1.(3) A的非空真子集的个数为2n－2.
变式1　(1) 写出集合A＝{1，2，3}的所有子集，并求所有子集中的元素之和及子集和真子集的个数．
【解答】集合A＝{1，2，3}的所有子集为 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．注意到A中每个元素均出现了4次，故所有子集中元素的和为(1＋2＋3)×4＝24.由以上分析可知，集合A的子集有8个，真子集有7个．
(2) 已知{1，2} A {1，2，3，4}，求满足条件的集合A.
【解答】因为{1，2} A，所以A中要有元素1和2.将A中元素增加的情况进行分类讨论：①A中仅有元素1和2时，A＝{1，2}．②A中的元素在1，2的基础上增加1个，于是有A＝{1，2，3}或A＝{1，2，4}．③A中的元素在1，2的基础上增加2个，于是有A＝{1，2，3，4}．综上，满足条件的集合A共有4个：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
变式2　若M P，M Q，P＝{0，1，2}，Q＝{0，2，4}，则满足上述条件的集合M的个数是__4__．
【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0，2}，M C，这样的集合M共有22＝4个．
探究2　集合间的基本关系
例2　(课本P8例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
(1) A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；
【解答】因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．
(2) A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
【解答】因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．
判断集合间关系的方法
(1) 用定义判断．
(2) 数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
变式　(1) 已知集合A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，则A与B之间的关系为(　C　)
A. A＝B　 B. A B
C. B A　 D. AB
【解析】A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，因为x＝4n＝2·2n，所以若x∈B，则x∈A，所以B A.
(2) 已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x≤3}，则A与B之间的关系为(　D　)
A. A＝B　 B. BA
C. B A　 D. AB
【解析】如图，将集合A，B在数轴上表示出来，从数轴上可以看出AB.
(变式(2)答)
(3) 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　B　)
A B
C D
探究3　集合间包含关系的应用
例3　(1) 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B A，求实数a的取值范围．
【解答】由题知A＝{0，－4}，B A.①当A＝B时，B＝{0，－4}，所以0，－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解．由根与系数的关系得解得a＝1.②当B＝ 时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.
③当B＝{0}时，即解得a＝－1.④当B＝{－4}时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，原方程即为x2＝0，解得x＝0(舍去).综上可知，所求实数a的取值范围为{a|a≤－1或a＝1}．
(2) 设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1【解答】由题知，A＝{x|－1≤x＋1≤6}＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1(1) 利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．
(2) 涉及“A B”或“AB且B≠ ”的问题，一定要分A＝ 和A≠ 两种情况讨论，不要忽视空集的情况．
随堂内化及时评价
1. 已知M＝∈N}，则集合M的子集的个数是(　B　)
A. 8　 B. 16
C. 32　 D. 64
【解析】因为∈N，所以6－x＝1，2，3，6.又x∈N，所以x＝0，3，4，5，所以集合M＝{0，3，4，5}，所以集合M的子集的个数为24＝16.
2. (多选)已知集合P＝{x|0A. {1，2}　 B. {2，3}
C. {0，2}　 D. {3，1}
【解析】P＝{x|03. (多选)下列各式中，正确的是(　BCD　)
A. {0}∈{0，1，2}　 B. {0，1，2} {2，1，0}
C. {0，1，2}　 D. {0}
【解析】对于A，是集合与集合的关系，应为{0} {0，1，2}，故A错误；对于B，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集，故B正确；对于C，空集是任何集合的子集，故C正确；对于D，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}，故D正确．
4. 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m＋1≤x≤m－1}，若B A，则实数m的取值范围为__{m|m≥－2}__．
【解析】当2m＋1>m－1，即m>－2时，B＝ ，满足B A；若B≠ ，且B A，如图所示，则即所以m＝－2.综上，实数m的取值范围为{m|m≥－2}．
(第4题答)
5. 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1) 若a＝，试判定集合A与B的关系；
【解答】A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}．当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以BA.
(2) 若B A，求实数a的值组成的集合C.
【解答】当a＝0时，B＝ ，满足B A；当a≠0时，B＝.又A＝{3，5}，B A，所以＝3或＝5，则有a＝或a＝.综上，C＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. (2023·北京卷)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝(　A　)
A. {x|－2≤x<1}　 B. {x|－2C. {x|x≥－2}　 D. {x|x<1}
2. 已知集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　C　)
A. 0　 B. 1 C. 2　 D. －1
【解析】由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不适合，故y＝0，x＝1，经验证，符合题意，则2x＋y＝2.
3. 已知集合M满足{1，2} M{1，2，3，4，5}，这样的集合M有(　B　)
A. 6个　 B. 7个
C. 8个　 D. 9个
【解析】由{1，2} M{1，2，3，4，5}，得1，2∈M且3，4，5不全部是M的元素．令N{3，4，5}，则M＝{1，2}∪N，所以集合M的个数等于集合N的个数，即{3，4，5}的真子集个数，为23－1＝7(个).
4. 下列能正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋2x＝0}关系的是(　A　)
A B
C D
【解析】易知N＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，显然M∩N＝{0}，且互不包含．
二、 多项选择题
5. 设集合M＝{x|4－x2＝0}，则下列说法正确的有(　ABD　)
A. {2} M　 B. －2∈M
C. ＝M　 D. M有4个子集
【解析】集合M＝{x|4－x2＝0}＝{2，－2}，故A，B，D正确，C错误．
6. 下列集合是空集的是(　AB　)
A. {t∈R|t2<0}　　　　
B. {x∈R|x2＋3x＋6＝0}
C. {x∈R|x＋2 025＝2 025}　　　　
D. {(x，y)|(x＋1)2＋|y－2|＝0}
【解析】对于A，因为t∈R，t2<0，所以t无解，为空集，故A符合题意；对于B，因为Δ＝9－4×6＝－15<0，x∈R，所以方程无解，为空集，故B符合题意；对于C，由x＋2 025＝2 025，得x＝0，故C不符合题意；由(x＋1)2＋|y－2|＝0得x＝－1，y＝2，即(－1，2)∈{(x，y)|(x＋1)2＋|y－2|＝0}，故D不符合题意．
三、 填空题
7. 若{a2，0，－1}＝{a，b，0}，则(ab)2 026＝__1__．
【解析】因为{a2，0，－1}＝{a，b，0}，则或解得或所以(ab)2 026＝(－1)2 026＝1.
8. 设A＝{x|2【解析】由题知A B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.　
(第8题答)
四、 解答题
9. (课本P9练习3)判断下列两个集合之间的关系：
(1) A＝{x|x<0}，B＝{x|x<1}；
【解答】根据数轴可知，A＝{x|x<0}表示x＝0左边的数的集合，B＝{x|x<1}表示x＝1左边的数的集合，故AB.
(2) A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；
【解答】A＝{x|x＝3k，k∈N}表示3的非负整数倍，0，3，6，…，B＝{x|x＝6z，z∈N}表示6的非负整数倍，0，6，12，…，故BA.
(3) A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}．
【解答】A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，即 20的正整数倍，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}也表示20的正整数倍，故A＝B.
10. 设集合A＝{x|x2－2mx＋m2－m＋2＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A B，求实数m的取值范围．
【解答】因为B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，且A B，所以集合A可分三种情况．若A＝ ，此时Δ＝4m2－4(m2－m＋2)＝4m－8<0，则m<2.若AB，且A≠ ，则A＝{1}或{2}，此时Δ＝4m－8＝0，解得m＝2，代入方程得A＝{2}，符合题意，所以m＝2.若A＝B，则A＝{1，2}，即1，2是关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋2＝0的两个根．由根与系数的关系，得2m＝3，且m2－m＋2＝2，此时无解．综上所述，实数m的取值范围是{m|m≤2}．
11. 同时满足：①M {1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M的个数为(　C　)
A. 16　 B. 15
C. 7　 D. 6
【解析】当a＝1时，6－a＝5；当a＝2时，6－a＝4；当a＝3时，6－a＝3；当a＝4时，6－a＝2；当a＝5时，6－a＝1，所以满足条件的非空集合M可能是{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
12. 定义集合运算A B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0，1，2}，B＝{3，4，5}，则集合A B的真子集的个数为(　B　)
A. 63　 B. 31
C. 15　 D. 16
【解析】当a＝0时，b＝3或4或5，则c＝3或4或5；当a＝1时，b＝3或4或5，则c＝4或5或6；当a＝2时，b＝3或4或5，则c＝5或6或7，所以A B＝{3，4，5，6，7}，则集合A B的真子集的个数为25－1＝31.
13. 设集合B是集合An＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S(规定：当B为空集时，S＝0)，若S为3的整数倍，则称B为An的“和谐子集”．则集合A1的“和谐子集”有__4__个．
【解析】集合A1＝{1，2，3}的子集有： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．其中所有元素的和为3的整数倍的集合有： ，{3}，{1，2}，{1，2，3}．所以A1的“和谐子集”的个数为4.
14. 已知集合A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B A，求实数p的取值范围．
【解答】①当B＝ 时，B A，由Δ＝(－1)2－4p<0，解得p>.②当B≠ 时，由B A，知关于x的方程x2－x＋p＝0有两个正根．设关于x的方程x2－x＋p＝0的两根分别为x1，x2，则解得00}．1.2　集合间的基本关系
学习 目标 1. 理解子集、真子集、空集的概念． 2. 能用符号和Venn图表达集合间的关系，掌握列举有限集的所有子集的方法．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P7—P8，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 子集及其相关概念
概念 定义 符号表示 图形表示
子 集 对于两个集合A，B，如果集合A中 都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真 子 集 如果集合A B，但存在元素 ，则称集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
2. 集合的相等
如果集合A的 都是集合B的 (即A B)，同时集合B的 都是集合A的 (即B A)，那么集合A与集合B相等，记作 ．
3. 空集
我们把 的集合叫做空集，记作 .
规定：空集是任何集合的 ，即 A.
补充：任何集合都是它自身的 (填“子集”或“真子集”)．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 和{ }表示的意义相同．(　 　)
(2) {0，1}＝{1，0}＝{(0，1)}．(　 　)
(3) 如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　 　)
(4) 任何集合都有子集和真子集．(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　子集、真子集
例1　(课本P8例1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
假设非空集合A中含有n个元素，则有：(1) A的子集的个数为2n.(2) A的真子集的个数为2n－1.(3) A的非空真子集的个数为2n－2.
变式1　(1) 写出集合A＝{1，2，3}的所有子集，并求所有子集中的元素之和及子集和真子集的个数．
(2) 已知{1，2} A {1，2，3，4}，求满足条件的集合A.
变式2　若M P，M Q，P＝{0，1，2}，Q＝{0，2，4}，则满足上述条件的集合M的个数是 ．
探究2　集合间的基本关系
例2　(课本P8例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
(1) A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；
(2) A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
判断集合间关系的方法
(1) 用定义判断．
(2) 数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
变式　(1) 已知集合A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，则A与B之间的关系为(　 　)
A. A＝B　 B. A B
C. B A　 D. AB
(2) 已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x≤3}，则A与B之间的关系为(　 　)
A. A＝B　 B. BA
C. B A　 D. AB
(3) 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　 　)
A B
C D
探究3　集合间包含关系的应用
例3　(1) 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B A，求实数a的取值范围．
(2) 设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1) 利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．
(2) 涉及“A B”或“AB且B≠ ”的问题，一定要分A＝ 和A≠ 两种情况讨论，不要忽视空集的情况．
随堂内化及时评价
1. 已知M＝∈N}，则集合M的子集的个数是(　 　)
A. 8　 B. 16
C. 32　 D. 64
2. (多选)已知集合P＝{x|0A. {1，2}　 B. {2，3}
C. {0，2}　 D. {3，1}
3. (多选)下列各式中，正确的是(　 　)
A. {0}∈{0，1，2}　 B. {0，1，2} {2，1，0}
C. {0，1，2}　 D. {0}
4. 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m＋1≤x≤m－1}，若B A，则实数m的取值范围为 ．
5. 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1) 若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2) 若B A，求实数a的值组成的集合C.
配套新练案
一、 单项选择题
1. (2023·北京卷)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝(　 　)
A. {x|－2≤x<1}　 B. {x|－2C. {x|x≥－2}　 D. {x|x<1}
2. 已知集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　 　)
A. 0　 B. 1
C. 2　 D. －1
3. 已知集合M满足{1，2} M{1，2，3，4，5}，这样的集合M有(　 　)
A. 6个　 B. 7个
C. 8个　 D. 9个
4. 下列能正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋2x＝0}关系的是(　 　)
A B
C D
二、 多项选择题
5. 设集合M＝{x|4－x2＝0}，则下列说法正确的有(　 　)
A. {2} M　 B. －2∈M
C. ＝M　 D. M有4个子集
6. 下列集合是空集的是(　 　)
A. {t∈R|t2<0}　　　　
B. {x∈R|x2＋3x＋6＝0}
C. {x∈R|x＋2 025＝2 025}　　　　
D. {(x，y)|(x＋1)2＋|y－2|＝0}
三、 填空题
7. 若{a2，0，－1}＝{a，b，0}，则(ab)2 026＝ ．
8. 设A＝{x|2四、 解答题
9. (课本P9练习3)判断下列两个集合之间的关系：
(1) A＝{x|x<0}，B＝{x|x<1}；
(2) A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；
(3) A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}．
10. 设集合A＝{x|x2－2mx＋m2－m＋2＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A B，求实数m的取值范围．
11. 同时满足：①M {1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M的个数为(　 　)
A. 16　 B. 15
C. 7　 D. 6
12. 定义集合运算A B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0，1，2}，B＝{3，4，5}，则集合A B的真子集的个数为(　 　)
A. 63　 B. 31
C. 15　 D. 16
13. 设集合B是集合An＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S(规定：当B为空集时，S＝0)，若S为3的整数倍，则称B为An的“和谐子集”．则集合A1的“和谐子集”有 个．
14. 已知集合A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B A，求实数p的取值范围．(共43张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.2　集合间的基本关系
学习 目标 1. 理解子集、真子集、空集的概念．
2. 能用符号和Venn图表达集合间的关系，掌握列举有限集的所有子集的方法．
新知初探 基础落实
问题：我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢？
一、 生成概念
观察：下面集合A与集合B的元素间有何关系？
(1) A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(2) A＝{x|x为立德中学高一年级的学生}，B＝{x|x为立德中学的学生}．
集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素．
请同学阅读课本P7—P8，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 子集及其相关概念
任意一个元素
x∈B且x A
2. 集合的相等
如果集合A的____________都是集合B的_____(即A B)，同时集合B的_____________都是集合A的_______(即B A)，那么集合A与集合B相等，记作_______．
3. 空集
我们把_______________的集合叫做空集，记作_____.
规定：空集是任何集合的_______，即 A.
补充：任何集合都是它自身的_______(填“子集”或“真子集”)．
任意一个元素
元素
任意一个元素
元素
A＝B
不含任何元素

子集
子集
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 和{ }表示的意义相同． (　　)
(2) {0，1}＝{1，0}＝{(0，1)}． (　　)
(3) 如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B. (　　)
(4) 任何集合都有子集和真子集． (　　)
×
×
√
×
典例精讲 能力初成
探究
　　　　(课本P8例1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
1
子集、真子集
1
【解答】集合{a，b}的所有子集为 ，{a}，{b}，{a，b}．真子集为 ，{a}，{b}.
假设非空集合A中含有n个元素，则有：(1) A的子集的个数为2n.(2) A的真子集的个数为2n－1.(3) A的非空真子集的个数为2n－2.
变式1
【解答】集合A＝{1，2，3}的所有子集为 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．注意到A中每个元素均出现了4次，故所有子集中元素的和为(1＋2＋3)×4＝24.由以上分析可知，集合A的子集有8个，真子集有7个．
(1) 写出集合A＝{1，2，3}的所有子集，并求所有子集中的元素之和及子集和真子集的个数．
【解答】因为{1，2} A，所以A中要有元素1和2.将A中元素增加的情况进行分类讨论：①A中仅有元素1和2时，A＝{1，2}．②A中的元素在1，2的基础上增加1个，于是有A＝{1，2，3}或A＝{1，2，4}．③A中的元素在1，2的基础上增加2个，于是有A＝{1，2，3，4}．综上，满足条件的集合A共有4个：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
(2) 已知{1，2} A {1，2，3，4}，求满足条件的集合A.
【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0，2}，M C，这样的集合M共有22＝4个．
　　　　　若M P，M Q，P＝{0，1，2}，Q＝{0，2，4}，则满足上述条件的集合M的个数是____．
变式2
4
探究
　　　　(课本P8例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
(1) A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；
2
集合间的基本关系
2
【解答】因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．
(2) A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
【解答】因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．
判断集合间关系的方法
(1) 用定义判断．
(2) 数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
【解析】A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，因为x＝4n＝2·2n，所以若x∈B，则x∈A，所以B A.
变式　
C
D
B
(3) 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是
(　　)
探究
　　　　(1) 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B A，求实数a的取值范围．
3
集合间包含关系的应用
3
(2) 设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1) 利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．
随堂内化 及时评价
B
2. (多选)已知集合P＝{x|0A. {1，2}　 B. {2，3} C. {0，2}　 D. {3，1}
ABD
【解析】P＝{x|0BCD
4. 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m＋1≤x≤m－1}，若B A，则实数m的取值范围为____________．
{m|m≥－2}
5. 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(2) 若B A，求实数a的值组成的集合C.
配套新练案
一、 单项选择题
1. (2023·北京卷)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝ (　　)
A. {x|－2≤x<1}　 B. {x|－2C. {x|x≥－2}　 D. {x|x<1}
A
2. 已知集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于 (　　)
A. 0　 B. 1 C. 2　 D. －1
C
【解析】由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不适合，故y＝0，x＝1，经验证，符合题意，则2x＋y＝2.
B
4. 下列能正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋2x＝0}关系的是 (　　)
A
【解析】易知N＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，显然M∩N＝{0}，且互不包含．
二、 多项选择题
5. 设集合M＝{x|4－x2＝0}，则下列说法正确的有 (　　　)
A. {2} M　 B. －2∈M
C. ＝M　 D. M有4个子集
ABD
【解析】集合M＝{x|4－x2＝0}＝{2，－2}，故A，B，D正确，C错误．
6. 下列集合是空集的是 (　　)
A. {t∈R|t2<0}　　　　 B. {x∈R|x2＋3x＋6＝0}
C. {x∈R|x＋2 025＝2 025}　　　　 D. {(x，y)|(x＋1)2＋|y－2|＝0}
AB
【解析】对于A，因为t∈R，t2<0，所以t无解，为空集，故A符合题意；对于B，因为Δ＝9－4×6＝－15<0，x∈R，所以方程无解，为空集，故B符合题意；对于C，由x＋2 025＝2 025，得x＝0，故C不符合题意；由(x＋1)2＋|y－2|＝0得x＝－1，y＝2，即(－1，2)∈{(x，y)|(x＋1)2＋|y－2|＝0}，故D不符合题意．
三、 填空题
7. 若{a2，0，－1}＝{a，b，0}，则(ab)2 026＝____．
1
8. 设A＝{x|2{m|m≥3}
【解析】由题知A B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.　
四、 解答题
9. (课本P9练习3)判断下列两个集合之间的关系：
(1) A＝{x|x<0}，B＝{x|x<1}；
9. (课本P9练习3)判断下列两个集合之间的关系：
(2) A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；
(3) A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}．
【解答】A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，即 20的正整数倍，B＝{x|x＝20m，m∈
N＋}也表示20的正整数倍，故A＝B.
10. 设集合A＝{x|x2－2mx＋m2－m＋2＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A B，求实数m的取值范围．
11. 同时满足：①M {1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M的个数为
(　　)
A. 16　 B. 15
C. 7　 D. 6
C
【解析】当a＝1时，6－a＝5；当a＝2时，6－a＝4；当a＝3时，6－a＝3；当a＝4时，6－a＝2；当a＝5时，6－a＝1，所以满足条件的非空集合M可能是{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
12. 定义集合运算A B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0，1，2}，B＝{3，4，5}，则集合A B的真子集的个数为 (　　)
A. 63　 B. 31
C. 15　 D. 16
B
【解析】当a＝0时，b＝3或4或5，则c＝3或4或5；当a＝1时，b＝3或4或5，则c＝4或5或6；当a＝2时，b＝3或4或5，则c＝5或6或7，所以A B＝{3，4，5，6，7}，则集合A B的真子集的个数为25－1＝31.
13. 设集合B是集合An＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S(规定：当B为空集时，S＝0)，若S为3的整数倍，则称B为An的“和谐子集”．则集合A1的“和谐子集”有____个．
【解析】集合A1＝{1，2，3}的子集有： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，
{2，3}，{1，2，3}．其中所有元素的和为3的整数倍的集合有： ，{3}，{1，2}，{1，2，3}．所以A1的“和谐子集”的个数为4.
4
14. 已知集合A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B A，求实数p的取值范围．

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