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第2课时　补集及其应用
学习 目标 1. 了解全集的含义及其符号表示． 2. 理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，会用Venn图、数轴进行集合的运算．
新知初探基础落实
相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，验证了“事物都是对立和统一的关系”．这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集．
一、 生成概念
问题1：方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题，你能得到什么启示？
在有理数范围内，解集为{2}；在实数范围内，解集为{2，，－}．在数学中，很多问题都是在某一范围内进行研究．如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的．
问题2：若U＝{2，，－}，A＝{2}，B＝{，－}，则集合U与集合A，B之间有什么关系？
集合U是我们研究对象的全体，A U，B U，A∩B＝ ，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系．
请同学阅读课本P12—P13，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 全集
(1) 定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的__所有元素__，那么就称这个集合为全集．
(2) 记法：全集通常记作__U__．
思考：全集一定是实数集R吗？
答：不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2. 补集
自然语言：对于一个集合A，由全集U中__不属于集合A__的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA.
符号语言： UA＝{x|x∈U，且x A}．
图形语言：
3. 补集的性质
U( UA)＝__A__， UU＝__ __， U ＝__U__，A∩( UA)＝__ __，A∪( UA)＝__U__．
拓展知识：德摩根律
(1) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)；
(2) U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
典例精讲能力初成
探究1　补集的概念
视角1　求集合的补集
例1-1　(1) (课本P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 UA， UB.
【解答】根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}．
(2) (课本P13例6)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B， U(A∪B).
【解答】根据三角形的分类可知A∩B＝ ，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}， U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
求集合补集的基本方法及处理技巧：(1) 基本方法：定义法．(2) 两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
变式　(1) 已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝__{2，3，5，7}__．
【解析】A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又 UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}．
(2) 已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝__{x|x＜－3或x＝5}__．
【解析】将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得 UA＝{x|x＜－3或x＝5}．
(变式(2)答)
视角2　根据集合的补集求参数
例1-2　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，集合B＝{x|x>a＋2}，集合C＝{x|x<0或x≥4}，若 U(A∪B) C，求实数a的取值范围．
【解答】因为A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，所以A∪B＝{x|x≤－a－1或x>a＋2}．因为 U(A∪B) C，①当 U(A∪B)＝ 时，A∪B＝R，因此a＋2≤－a－1，解得a≤
－；②当 U(A∪B)≠ 时，a＋2>－a－1，即a>－， U(A∪B)＝{x|－a－1变式　设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋2}， UA＝{a}，则实数a的值为(　A　)
A. 0　 B. －1
C. 2　 D. 0或2
【解析】由集合A＝{4，a＋2}知，a＋2≠4，即a≠2，而 UA＝{a}，全集U＝{2，4，a2}，因此解得a＝0.经验证a＝0满足条件，所以实数a的值为0.
探究2　Venn图及其应用
视角1　根据Venn图求集合(补集)
例2-1　已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7，9}， UA＝{2，4，6，8}， UB＝{1，4，6，8，9}，求集合B.
【解答】借助Venn图，如图所示，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．因为 UB＝{1，4，6，8，9}，所以B＝{2，3，5，7}．
(例2-1答)
变式　已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|－2(变式)
A. {－2，－1}　 B. {－2，2}
C. {0，1}　 D. {－1，0，1}
【解析】集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|－21}，所以( RB)∩A＝{－2，2}．
视角2　利用Venn图处理元素个数问题
例2-2　我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数．例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的有________人(　C　)
A. 2　 B. 3
C. 4　 D. 5
【解析】设集合A＝{参加足球队的学生}，集合B＝{参加排球队的学生}，集合C＝{参加游泳队的学生}，则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.设三项都参加的有x人，即card(A∩B∩C)＝x，又card(A∪B∪C)＝46，所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，即46＝25＋22＋24－12－8－9＋x，解得x＝4，所以三项都参加的有4人．
视角3　利用Venn图处理抽象集合问题
例2-3　(2025·南通期末)(多选)下列集合表示图中阴影部分的为(　ABD　)
(例2-3)
A. B(A∩B)　 B. (A∪B)A
C. A∪( UB)　 D. B∩( UA)
【解析】易知图中的阴影部分表示在集合B中去除两集合的交集部分，即可表示为 B(A∩B)，即A正确；也表示集合A与集合B的并集去除集合A的部分，即 (A∪B)A，即B正确；还可表示为集合A的补集与集合B的交集，即B∩( UA)，即D正确．
随堂内化及时评价
1. (2025·新高考Ⅰ卷)设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　C　)
A. 0　 B. 3
C. 5　 D. 8
【解析】因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，所以 UA＝{2，4，6，7，8}， UA中的元素个数为5.
2. (2023·全国乙卷理)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A. U(M∪N)　 B. N∪( UM)
C. U(M∩N)　 D. M∪( UN)
【解析】由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则 U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确； UM＝{x|x≥1}，则N∪( UM)＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－13. (2024·全国甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　D　)
A. {1，4，9}　 B. {3，4，9}
C. {1，2，3}　 D. {2，3，5}
【解析】因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}， A(A∩B)＝{2，3，5}．
4. 移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”．某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用过共享单车的学生人数为(　C　)
A. 50　 B. 60
C. 70　 D. 80
【解析】根据题意，使用过移动支付、共享单车的人数用Venn图表示如图所示，使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，则可得只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90－80＝10(人)，既使用过共享单车又使用过移动支付的学生共有60位，所以使用过共享单车的学生人数为10＋60＝70.
(第4题答)
配套新练案
一、 单项选择题
1. (2023·全国甲卷文)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪( UM)＝(　A　)
A. {2，3，5}　 B. {1，3，4}
C. {1，2，4，5}　 D. {2，3，4，5}
2. 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为(　B　)
(第2题)
A. {2，4}　 B. {1，3}
C. {1，3，4}　 D. {2，3，4}
3. 已知M＝{x|x＋m≥0}，N＝{x|－2A. {m|m<2}　　　　
B. {m|m≤2}
C. {m|m≥2}　　　　
D. {m|m≥2或m≤－4}
【解析】因为M＝{x|x＋m≥0}，U＝R，所以 UM＝{x|x<－m}．因为N＝{x|－24. 为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为(　A　)
A. 27　 B. 23　　
C. 25　 D. 29
【解析】作出Venn图如图所示，可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为5＋2＋1＋10＋4＋3＋2＝27.
(第4题答)
二、 多项选择题
5. 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，m}，其中m∈U，则 UM可以是(　AC　)
A. {3，4}　 B. {1，2，3}
C. {4，5}　 D. {2，5}
【解析】已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，m}，其中m∈U.当m＝3时，M＝{1，2，3}， UM＝{4，5}；当m＝4时，M＝{1，2，4}， UM＝{3，5}；当m＝5时，M＝{1，2，5}， UM＝{3，4}．
6. 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则使A UB成立的实数m的取值范围可以是(　ABC　)
A. {m|6B. {m|－2C.
D. {m|5【解析】当B＝ 时，m＋1>2m－1，即m<2，此时 UB＝R，符合题意．当B≠ 时，m＋1≤2m－1，即m≥2，由B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}可得 UB＝{x|x2m－1}．因为A UB，所以m＋1>7或2m－1<－2，解得m>6或m<－，因为m≥2，所以m>6.综上，实数m的取值范围为{m|m<2或m>6}，故A，B，C正确，D不正确．
三、 填空题
7. 设集合U＝，A＝{x|(2x－1)(x－2)＝0}，B＝，若 UA＝B，则b＝__－18__．
【解析】A＝{x|(2x－1)(x－2)＝0}＝，因为 UA＝B，所以 UA＝B＝{－2，3}，所以解得a＝9，b＝－18.
8. 已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{1，3，5，7，9}，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为__3__．
(第8题)
【解析】由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为 A(A∩B).又A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，所以A∩B＝{1，3，5}，所以 A(A∩B)＝{0，2，4}，即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3.
四、 解答题
9. 已知集合U＝{x∈Z|－2【解答】因为集合U＝{x∈Z|－210. (1) 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求 UA.
【解答】设x1，x2为方程x2－5x＋q＝0的两根，则x1＋x2＝5，所以x1≠x2.又x1，x2∈U，1＋4＝2＋3＝5，所以q＝4或q＝6，所以 UA＝{2，3，5}或 UA＝{1，4，5}．
(2) 设U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{b，2}， UA＝{5}，求实数a和b的值．
【解答】由题意，作出Venn图，如图所示，可得 由a2＋2a－8＝0，解得a＝－4或a＝2.所以或
(第10题(2)答)
11. (多选)已知全集U和集合A，B，C，若A B UC，则下列关系一定成立的有(　ACD　)
A. A∩B＝A　　　　
B. B∪C＝B
C. C UA　　　　
D. ( UA)∪( UC)＝U
【解析】因为A B UC，所以作出Venn图如图所示，由图可知，A∩B＝A，C UA，( UA)∪( UC)＝U.
(第11题答)
12. 已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，且满足( RA)∩B＝{2}，A∩( RB)＝{4}，则实数a＋b＝__－__．
【解析】由条件( RA)∩B＝{2}和A∩( RB)＝{4}，知2∈B，2 A；4∈A，4 B.将x＝2和x＝4分别代入B，A两集合中的方程得即解得故a＋b＝－.
13. 已知A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A且x B}，若M＝{x|x≤1}，N＝{y|0≤y≤1}，则M－N＝__{x|x<0}__， R(M－N)＝__{x|x≥0}__．
【解析】画出数轴如图．
(第13题答)
由图知M－N＝{x|x∈M且x N}＝{x|x<0}， R(M－N)＝{x|x≥0}．
14. 已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}．
(1) 求图中阴影部分表示的集合C；
(第14题)
【解答】因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}，所以B＝{x|2≤x≤4}，根据题意，由图可得C＝A∩( UB).因为B＝{x|2≤x≤4}，所以 UB＝{x|x>4或x<2}，而A＝{x|1≤x≤3}，则C＝A∩( UB)＝{x|1≤x<2}．
(2) 若非空集合D＝{x|4－a【解答】因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}．若非空集合D＝{x|4－a学习 目标 1. 了解全集的含义及其符号表示． 2. 理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，会用Venn图、数轴进行集合的运算．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P12—P13，完成下列填空．
1. 全集
(1) 定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集．
(2) 记法：全集通常记作 ．
思考：全集一定是实数集R吗？
答：不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2. 补集
自然语言：对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA.
符号语言： UA＝{x|x∈U，且x A}．
图形语言：
3. 补集的性质
U( UA)＝ ， UU＝ ， U ＝ ，
A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝ ．
拓展知识：德摩根律
(1) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)；
(2) U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
典例精讲能力初成
探究1　补集的概念
视角1　求集合的补集
例1-1　(1) (课本P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 UA， UB.
(2) (课本P13例6)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B， U(A∪B).
求集合补集的基本方法及处理技巧：(1) 基本方法：定义法．(2) 两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
变式　(1) 已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝ ．
(2) 已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝ ．
视角2　根据集合的补集求参数
例1-2　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，集合B＝{x|x>a＋2}，集合C＝{x|x<0或x≥4}，若 U(A∪B) C，求实数a的取值范围．
变式　设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋2}， UA＝{a}，则实数a的值为(　 　)
A. 0　 B. －1
C. 2　 D. 0或2
探究2　Venn图及其应用
视角1　根据Venn图求集合(补集)
例2-1　已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7，9}， UA＝{2，4，6，8}， UB＝{1，4，6，8，9}，求集合B.
变式　已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|－2(变式)
A. {－2，－1}　 B. {－2，2}
C. {0，1}　 D. {－1，0，1}
视角2　利用Venn图处理元素个数问题
例2-2　我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数．例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的有________人(　 　)
A. 2　 B. 3
C. 4　 D. 5
视角3　利用Venn图处理抽象集合问题
例2-3　(2025·南通期末)(多选)下列集合表示图中阴影部分的为(　 　)
(例2-3)
A. B(A∩B)　 B. (A∪B)A
C. A∪( UB)　 D. B∩( UA)
随堂内化及时评价
1. (2025·新高考Ⅰ卷)设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　 　)
A. 0　 B. 3
C. 5　 D. 8
2. (2023·全国乙卷理)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A. U(M∪N)　 B. N∪( UM)
C. U(M∩N)　 D. M∪( UN)
3. (2024·全国甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　 　)
A. {1，4，9}　 B. {3，4，9}
C. {1，2，3}　 D. {2，3，5}
4. 移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”．某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用过共享单车的学生人数为(　 　)
A. 50　 B. 60
C. 70　 D. 80
配套新练案
一、 单项选择题
1. (2023·全国甲卷文)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪( UM)＝(　 　)
A. {2，3，5}　 B. {1，3，4}
C. {1，2，4，5}　 D. {2，3，4，5}
2. 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为(　 　)
(第2题)
A. {2，4}　 B. {1，3}
C. {1，3，4}　 D. {2，3，4}
3. 已知M＝{x|x＋m≥0}，N＝{x|－2A. {m|m<2}　　　　
B. {m|m≤2}
C. {m|m≥2}　　　　
D. {m|m≥2或m≤－4}
4. 为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为(　 　)
A. 27　 B. 23　　
C. 25　 D. 29
二、 多项选择题
5. 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，m}，其中m∈U，则 UM可以是(　 　)
A. {3，4}　 B. {1，2，3}
C. {4，5}　 D. {2，5}
6. 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则使A UB成立的实数m的取值范围可以是(　 　)
A. {m|6B. {m|－2C.
D. {m|5三、 填空题
7. 设集合U＝，A＝{x|(2x－1)(x－2)＝0}，B＝，若 UA＝B，则b＝ ．
8. 已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{1，3，5，7，9}，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为 ．
(第8题)
四、 解答题
9. 已知集合U＝{x∈Z|－210. (1) 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求 UA.
(2) 设U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{b，2}， UA＝{5}，求实数a和b的值．
11. (多选)已知全集U和集合A，B，C，若A B UC，则下列关系一定成立的有(　 　)
A. A∩B＝A　　　　
B. B∪C＝B
C. C UA　　　　
D. ( UA)∪( UC)＝U
12. 已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，且满足( RA)∩B＝{2}，A∩( RB)＝{4}，则实数a＋b＝ ．
13. 已知A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A且x B}，若M＝{x|x≤1}，N＝{y|0≤y≤1}，则M－N＝ ， R(M－N)＝ ．
14. 已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}．
(1) 求图中阴影部分表示的集合C；
(第14题)
(2) 若非空集合D＝{x|4－a第一章
集合与常用逻辑用语
1.3　集合的基本运算 第2课时　补集及其应用
学习 目标 1. 了解全集的含义及其符号表示．
2. 理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，会用Venn图、数轴进行集合的运算．
新知初探 基础落实
相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，验证了“事物都是对立和统一的关系”．这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集．
一、 生成概念
问题1：方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题，你能得到什么启示？
集合U是我们研究对象的全体，A U，B U，A∩B＝ ，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系．
请同学阅读课本P12—P13，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 全集
(1) 定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的___________，那么就称这个集合为全集．
(2) 记法：全集通常记作____．
思考：全集一定是实数集R吗？
答：不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
所有元素
U
2. 补集
自然语言：对于一个集合A，由全集U中______________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA.
符号语言： UA＝{x|x∈U，且x A}．
图形语言：
不属于集合A
3. 补集的性质
U( UA)＝_ ___， UU＝_____， U ＝____，
A∩( UA)＝_____，A∪( UA)＝____．
拓展知识：德摩根律
(1) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)；
(2) U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
A

U

U
典例精讲 能力初成
探究
视角1　求集合的补集
　　　　　(1) (课本P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 UA， UB.
1
补集的概念
【解答】根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}．
1－1
(2) (课本P13例6)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B， U(A∪B).
【解答】根据三角形的分类可知A∩B＝ ，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}， U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
求集合补集的基本方法及处理技巧：(1) 基本方法：定义法．(2) 两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
【解析】A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又 UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}．
变式　
　　　　(1) 已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝_________________．
{2，3，5，7}
(2) 已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝__________________．
{x|x＜－3或x＝5}
【解析】将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得 UA＝{x|x＜－3或x＝5}．
视角2　根据集合的补集求参数
　　　　　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，集合B＝{x|x>a＋2}，集合C＝{x|x<0或x≥4}，若 U(A∪B) C，求实数a的取值范围．
1－2
变式　
A
　　　　设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋2}， UA＝{a}，则实数a的值为 (　　)
A. 0　 B. －1
C. 2　 D. 0或2
探究
视角1　根据Venn图求集合(补集)
　　　　　已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7，9}， UA＝{2，4，6，8}， UB＝{1，4，6，8，9}，求集合B.
2
Venn图及其应用
【解答】借助Venn图，如图所示，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．因为 UB＝{1，4，6，8，9}，所以B＝{2，3，5，7}．
2－1
【解析】集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|－21}，所以( RB)∩A＝{－2，2}．
变式　
　　　　已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|－2A. {－2，－1}　
B. {－2，2}
C. {0，1}　
D. {－1，0，1}
B
视角2　利用Venn图处理元素个数问题
　　　　　我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数．例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的有________人 (　　)
A. 2　 B. 3 C. 4　 D. 5
C
【解析】设集合A＝{参加足球队的学生}，集合B＝{参加排球队的学生}，集合C＝{参加游泳队的学生}，则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.设三项都参加的有x人，即card(A∩B∩C)＝x，又card(A∪B∪C)＝46，所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，即46＝25＋22＋24－12－8－9＋x，解得x＝4，所以三项都参加的有4人．
2－2
视角3　利用Venn图处理抽象集合问题
　　　　(2025·南通期末)(多选)下列集合表示图中阴影部分的为 (　　　)
A. B(A∩B)　
B. (A∪B)A
C. A∪( UB)　
D. B∩( UA)
ABD
【解析】易知图中的阴影部分表示在集合B中去除两集合的交集部分，即可表示为 B(A∩B)，即A正确；也表示集合A与集合B的并集去除集合A的部分，即 (A∪B)A，即B正确；还可表示为集合A的补集与集合B的交集，即B∩( UA)，即D正确．
2－3
随堂内化 及时评价
1. (2025·新高考Ⅰ卷)设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为 (　　)
A. 0　 B. 3
C. 5　 D. 8
C
【解析】因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，所以 UA＝{2，4，6，7，8}， UA中的元素个数为5.
2. (2023·全国乙卷理)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A. U(M∪N)　 B. N∪( UM)
C. U(M∩N)　 D. M∪( UN)
A
【解析】由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则 U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确； UM＝{x|x≥1}，则N∪( UM)＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1D
4. 移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”．某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用过共享单车的学生人数为(　　)
A. 50　 B. 60 C. 70　 D. 80
C
【解析】根据题意，使用过移动支付、共享单车的人数用Venn图表示如图所示，使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，则可得只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90－80＝
10(人)，既使用过共享单车又使用过移动支付的学生共有60
位，所以使用过共享单车的学生人数为10＋60＝70.
配套新练案
一、 单项选择题
1. (2023·全国甲卷文)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪( UM)＝ (　　)
A. {2，3，5}　 B. {1，3，4}
C. {1，2，4，5}　 D. {2，3，4，5}
A
2. 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为 (　　)
A. {2，4}　
B. {1，3}
C. {1，3，4}　
D. {2，3，4}
B
3. 已知M＝{x|x＋m≥0}，N＝{x|－2A. {m|m<2}　　　　 B. {m|m≤2}
C. {m|m≥2}　　　　 D. {m|m≥2或m≤－4}
C
【解析】因为M＝{x|x＋m≥0}，U＝R，所以 UM＝{x|x<－m}．因为N＝
{x|－24. 为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项．经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为 (　　)
A. 27　 B. 23　　 C. 25　 D. 29
A
【解析】作出Venn图如图所示，可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢
跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有
10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳
舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女
生人数为5＋2＋1＋10＋4＋3＋2＝27.
二、 多项选择题
5. 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，m}，其中m∈U，则 UM可以是
(　　)
A. {3，4}　 B. {1，2，3}
C. {4，5}　 D. {2，5}
AC
【解析】已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，m}，其中m∈U.当m＝3时，M＝{1，2，3}， UM＝{4，5}；当m＝4时，M＝{1，2，4}， UM＝{3，5}；当m＝5时，M＝{1，2，5}， UM＝{3，4}．
6. 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则使A UB成立的实数m的取值范围可以是 (　　　)
ABC
－18
8. 已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{1，3，5，7，9}，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为____．
【解析】由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为 A(A∩B).又A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，所以A∩B＝{1，3，5}，所以 A(A∩B)＝{0，2，4}，即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3.
3
四、 解答题
9. 已知集合U＝{x∈Z|－2【解答】因为集合U＝{x∈Z|－210. (1) 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求 UA.
(2) 设U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{b，2}， UA＝{5}，求实数a和b的值．
11. (多选)已知全集U和集合A，B，C，若A B UC，则下列关系一定成立的有
(　　　)
A. A∩B＝A　　　　 B. B∪C＝B
C. C UA　　　　 D. ( UA)∪( UC)＝U
ACD
【解析】因为A B UC，所以作出Venn图如图所示，由图可知，A∩B＝A，C UA，( UA)∪( UC)＝U.
12. 已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，且满足( RA)∩B＝{2}，A∩( RB)＝{4}，则实数a＋b＝_______．
13. 已知A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A且x B}，若M＝{x|x≤1}，N＝{y|0≤y≤1}，则M－N＝__________， R(M－N)＝_________．
【解析】画出数轴如图．
由图知M－N＝{x|x∈M且x N}＝{x|x<0}， R(M－N)＝{x|x≥0}．
{x|x<0}
{x|x≥0}
14. 已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}．
(1) 求图中阴影部分表示的集合C；
【解答】因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}，所以B＝{x|2≤x≤4}，根据题意，由图可得C＝A∩( UB).因为B＝{x|2≤x≤4}，所以 UB＝{x|x>4或x<2}，而A＝{x|1≤x≤3}，则C＝A∩( UB)＝{x|1≤x<2}．
14. 已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}．
(2) 若非空集合D＝{x|4－a

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