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第2课时　充要条件
学习 目标 1. 理解充要条件的概念． 2. 能够根据命题的条件和结论的关系，判断一些简单的充要条件问题，能对充要条件进行证明．
新知初探基础落实
战国时期墨子所著《墨经》中对充分条件、必要条件的描述：
充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”．
必要条件：“无之则必不然，有之则未必然”．
物理中：
① ②
问题1：在①②两个电路中， A，C的开闭与灯泡B亮起来，会形成什么逻辑条件呢？
略．
问题2：你能列举生活中存在“充分条件或必要条件”的逻辑语句或事例吗？
略．
一、 生成概念
问题3：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3) 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．
不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题．
问题4：你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题．判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分又不必要条件．
请同学阅读课本P20—P22，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 逆命题的概念
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“__若q，则p__”，称这个命题为原命题的__逆__命题．
2. 充要条件
命题真假 “若p，则q”为__真__命题； “若q，则p”为__真__命题
推出关系 __p q__
条件关系 p既是q的__充分__条件，也是q的__必要__条件，我们说p是q的 __充分必要__条件，简称为充要条件
3. 条件关系判定的常用结论：
(1) 关系：p q，且qp.
结论：p是q的充分不必要条件．
(2) 关系：q p，且pq.
结论：p是q的必要不充分条件．
(3) 关系：p q，且q p，即p q.
结论：p是q的充要条件．
(4) 关系：pq，且qp.
结论：p是q的既不充分又不必要条件．
4. 从集合的角度理解充分与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，则
(1) 若A B，则p是q的充分条件；
(2) 若B A，则p是q的必要条件；
(3) 若AB，则p是q的充分不必要条件；
(4) 若BA，则p是q的必要不充分条件；
(5) 若A＝B，则p是q的充要条件；
(6) 若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件．
典例精讲能力初成
探究1　充要条件的判断
例1　(课本P21例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
【解答】因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以qp，所以p不是q的充要条件．
(2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
【解答】因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件．
(3) p：xy>0，q：x>0，y>0；
【解答】因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立，所以pq，所以p不是q的充要条件．
(4) p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0).
【解答】因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件．
(1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2) 集合法．
(3) 传递法：由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
变式　(1) 若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的(　D　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【解析】由题意得A B C D，则A是D的既不充分又不必要条件．
(2) (多选)对于任意实数a，b，c，下列选项正确的是(　CD　)
A. “a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B. “a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件
C. “a<6”是“a<4”的必要不充分条件
D. “a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【解析】对于A，因为当a＝b时，ac＝bc成立；当ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错误．对于B，当a＝－1，b＝
－2时，a>b，但a2b2，但ab”是“a2>b2”的既不充分又不必要条件，故B错误．对于C，因为“a<6”时一定有“a<4”成立；反之，a<6时不一定有a<4，所以“a<6”是“a<4”的必要不充分条件，故C正确．对于D，“a＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故D正确．
探究2　充要条件的证明
例2　(课本P22例4)已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与圆O相切的充要条件．
【解答】设p：d＝r，q：直线l与圆O相切．①充分性(p q)：如图，作OP⊥l于点P，则OP＝d.若d＝r，则点P在圆O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r.所以除点P外直线l上的点都在圆O的外部，即直线l与圆O仅有一个公共点P，所以直线l与圆O相切．②必要性(q p)：若直线l与圆O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此d＝OP＝r.由①②可得，d＝r是直线l与圆O相切的充要条件．
(例2答)
(1) 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则以p为“已知条件”，即p q.
(2) 证明“充要条件”的一般步骤：
―→―→―→
变式　求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0【解答】①充分性：因为00，且两根积为>0，所以方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．②必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，设两根分别为x1，x2，则有解得0探究3　充要条件的应用
例3　设集合A＝{x|－1(1) 若p是q的充要条件，求正实数m的值；
【解答】由A＝{x|－1(2) 若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．
【解答】由p是q的充分不必要条件，得AB，所以或解得m＞2，故实数m的取值范围是{m|m>2}．
变式　已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解答】设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝，因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以－≤－2，即m≥8，所以实数m的取值范围为{m|m≥8}．
随堂内化及时评价
1. 已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的(　C　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2. (2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　C　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【解析】充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．
3. (多选)已知p是q的充要条件，q是r的充分不必要条件，那么(　BC　)
A. r是q的充分不必要条件
B. r是q的必要不充分条件
C. p是r的充分不必要条件
D. p是r的必要不充分条件
【解析】由p是q的充要条件可得p q，由q是r的充分不必要条件可得q r，但rq，所以r是q的必要不充分条件，A错误，B正确；由p q r，但rq，rp，所以p是r的充分不必要条件，C正确，D错误．
4. 已知p：x<8，q：x【解析】因为q是p的充分不必要条件，所以q p，pq，所以a<8.
5. 已知命题p：2≤x≤10，命题q：x2a＋1，其中a>0.若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为__a>10或0【解析】方法一：令A＝{x|2≤x≤10}，B＝{x|x2a＋1(a>0)}，因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以a>10或2a＋1<2(a>0)，解得a>10或0方法二：由AB，可得如下两种情况：
　
(第5题答)
结合数轴得a>10或解得a>10或010或0配套新练案
一、 单项选择题
1. “－1A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2. (2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　B　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
【解析】由a2＝b2，知a＝±b.当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，知(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．
3. 已知实数a，b满足ab>0，则“<”是“a>b”的(　C　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
【解析】－＝，因为ab＞0，所以若<成立，则b－a<0，即a＞b成立；反之若a＞b，因为ab＞0，所以－＝<0，即<成立，所以“<”是“a＞b”的充要条件．
4. (2025·汕尾期末)老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的(　B　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【解析】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，但“做难题”一定可以推出“做容易题”，故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件．
二、 多项选择题
5. 设全集为U，下列选项中是B A的充要条件的为(　BCD　)
A. A∪B＝B　 B. ( UA)∩B＝
C. ( UA) ( UB)　 D. A∪( UB)＝U
【解析】如图，根据Venn图可知，B，C，D都是充要条件．
(第5题答)
6. 在如图所示的电路图中，下列说法正确的是(　ABC　)
① ②
③ ④
(第6题)
A. 如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件
B. 如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件
C. 如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件
D. 如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件
【解析】对于A，开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合．所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故A正确．对于B，开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合．所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故B正确．对于C，开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合．所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故C正确．对于D，开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合．所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分又不必要条件，故D错误．
三、 填空题
7. 关于x的方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是__a≤1__，它的一个充分不必要条件可以是__a＝1(答案不唯一)__．
【解析】因为方程x2－2x＋a＝0有实根，所以Δ＝(－2)2－4a≥0，解得a≤1.反之，当a≤1时，Δ≥0，则方程x2－2x＋a＝0有实根，所以“a≤1”是“方程x2－2x＋a＝0有实根”的充要条件．当a＝1时，方程x2－2x＋1＝0有实根x＝1，而当方程x2－2x＋a＝0有实根时不一定是a＝1，所以“a＝1”是“方程x2－2x＋a＝0有实根”的一个充分不必要条件．
8. 若“－1【解析】由1<－2x＋m<5得1－m<－2x<5－m，故(m－5)四、 解答题
9. 已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
【解答】方法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.必要性：由<，得－<0，即<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以<的充要条件是xy>0.
方法二：< －<0 <0.由条件x>y y－x<0，故由<0 xy>0.所以< xy>0，即<的充要条件是xy>0.
10. 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2－m)x＋2m＋4＝0(m∈R).
(1) 求“有一个根大于1，有一个根小于1”的充要条件；
【解答】设方程两个根分别为x1，x2，不妨设x1<1，x2＞1，则x1＋x2＝，x1x2＝，则问题等价于 －9(2) 求“有两个小于3的根”的充要条件．
(提示：一元二次不等式可转化为一元一次不等式组解决)
【解答】不妨设x1<3，x2<3，则问题等价于解得－1m<－5.”
11. 如果对于任意实数x，表示不超过x的最大整数．例如＝3，＝0，那么“<1”是“[x]＝[y]”的(　B　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
【解析】如果|x－y|<1，比如x＝3.9，y＝4.1，则有|x－y|＝0.2<1，根据定义，[x]＝3，[y]＝4，[x]≠[y]，即“|x－y|<1”不是“[x]＝[y]”的充分条件．如果[x]＝[y]＝n，n∈Z，则有x＝n＋d1，y＝n＋d2，d1，d2∈[0，1)，所以|x－y|＝|d1－d2|<1，所以“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的必要条件，故“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的必要不充分条件．
12. (多选)已知p：x≥1，y≥2，q：x＋y≥t.若p是q的充分不必要条件，则t的值可以是(　AB　)
A. 2　 B. 3
C. 4　 D. 5
【解析】由x≥1，y≥2，可得x＋y≥3，所以t≤3.但反过来，由x＋y≥3和x＋y≥2均不能推出x≥1且y≥2，故选项A，B满足题意．若t＝4，则p不是q的充分条件，如x＝1，y＝2，满足条件p，但x＋y＝3<4不满足q，同理D也不符合题意．
13. (多选)已知集合A＝{x|a＋1A. a<7　 B. a<6
C. a<5　 D. a<4
【解析】当A＝ 时，a＋1≥2a－3，解得a≤4，此时A∩B＝ .当A≠ 时，a＋1<2a－3，解得a>4，若A∩B＝ ，则解得－3≤a≤5，则414. (多选)已知A＝{x∈R|x2－ax＋a2－3＝0}，B＝{x|x<0}，则“A∩B＝ ”是真命题的一个充分不必要条件是(　BCD　)
A. {a|a<－2或a≥}　　　　
B. {a|a<－2}
C. {a|a>}　　　　
D. {a|a<－2或a>2}
【解析】因为A＝，B＝，若“A∩B＝ ”是真命题，当A＝ 时，则Δ＝a2－4(a2－3)<0，即12－3a2<0，解得a<－2或a>2；当A≠ 时，则由题意可得方程x2－ax＋a2－3＝0有两个非负实数根，所以解得≤a≤2.综上，实数a的取值范围是{a|a<－2或a≥}，即A∩B＝ 是真命题的充要条件为{a|a<－2或a≥}，故其充分不必要条件为它的真子集，故B，C，D均符合题意．第2课时　充要条件
学习 目标 1. 理解充要条件的概念． 2. 能够根据命题的条件和结论的关系，判断一些简单的充要条件问题，能对充要条件进行证明．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P20—P22，完成下列填空．
1. 逆命题的概念
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“ ”，称这个命题为原命题的 命题．
2. 充要条件
命题真假 “若p，则q”为 命题； “若q，则p”为 命题
推出关系
条件关系 p既是q的 条件，也是q的 条件，我们说p是q的 条件，简称为充要条件
3. 条件关系判定的常用结论：
(1) 关系：p q，且qp.
结论：p是q的充分不必要条件．
(2) 关系：q p，且pq.
结论：p是q的必要不充分条件．
(3) 关系：p q，且q p，即p q.
结论：p是q的充要条件．
(4) 关系：pq，且qp.
结论：p是q的既不充分又不必要条件．
4. 从集合的角度理解充分与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，则
(1) 若A B，则p是q的充分条件；
(2) 若B A，则p是q的必要条件；
(3) 若AB，则p是q的充分不必要条件；
(4) 若BA，则p是q的必要不充分条件；
(5) 若A＝B，则p是q的充要条件；
(6) 若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件．
典例精讲能力初成
探究1　充要条件的判断
例1　(课本P21例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
(2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
(3) p：xy>0，q：x>0，y>0；
(4) p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0).
(1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2) 集合法．
(3) 传递法：由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
变式　(1) 若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
(2) (多选)对于任意实数a，b，c，下列选项正确的是(　 　)
A. “a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B. “a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件
C. “a<6”是“a<4”的必要不充分条件
D. “a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
探究2　充要条件的证明
例2　(课本P22例4)已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与圆O相切的充要条件．
(1) 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则以p为“已知条件”，即p q.
(2) 证明“充要条件”的一般步骤：
―→―→―→
变式　求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0探究3　充要条件的应用
例3　设集合A＝{x|－1(1) 若p是q的充要条件，求正实数m的值；
(2) 若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．
变式　已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
随堂内化及时评价
1. 已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2. (2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)已知p是q的充要条件，q是r的充分不必要条件，那么(　 　)
A. r是q的充分不必要条件
B. r是q的必要不充分条件
C. p是r的充分不必要条件
D. p是r的必要不充分条件
4. 已知p：x<8，q：x5. 已知命题p：2≤x≤10，命题q：x2a＋1，其中a>0.若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. “－1A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2. (2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　 　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
3. 已知实数a，b满足ab>0，则“<”是“a>b”的(　 　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
4. (2025·汕尾期末)老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
二、 多项选择题
5. 设全集为U，下列选项中是B A的充要条件的为(　 　)
A. A∪B＝B　 B. ( UA)∩B＝
C. ( UA) ( UB)　 D. A∪( UB)＝U
6. 在如图所示的电路图中，下列说法正确的是(　 　)
① ②
③ ④
(第6题)
A. 如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件
B. 如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件
C. 如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件
D. 如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件
三、 填空题
7. 关于x的方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是 ，它的一个充分不必要条件可以是 ．
8. 若“－1四、 解答题
9. 已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
10. 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2－m)x＋2m＋4＝0(m∈R).
(1) 求“有一个根大于1，有一个根小于1”的充要条件；
(2) 求“有两个小于3的根”的充要条件．
(提示：一元二次不等式可转化为一元一次不等式组解决)
11. 如果对于任意实数x，表示不超过x的最大整数．例如＝3，＝0，那么“<1”是“[x]＝[y]”的(　 　)
A. 充分不必要条件　　　　
B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　
D. 既不充分又不必要条件
12. (多选)已知p：x≥1，y≥2，q：x＋y≥t.若p是q的充分不必要条件，则t的值可以是(　 　)
A. 2　 B. 3
C. 4　 D. 5
13. (多选)已知集合A＝{x|a＋1A. a<7　 B. a<6
C. a<5　 D. a<4
14. (多选)已知A＝{x∈R|x2－ax＋a2－3＝0}，B＝{x|x<0}，则“A∩B＝ ”是真命题的一个充分不必要条件是(　 　)
A. {a|a<－2或a≥}　　　　
B. {a|a<－2}
C. {a|a>}　　　　
D. {a|a<－2或a>2}(共45张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4　充分条件与必要条件 第2课时　充要条件
学习 目标 1. 理解充要条件的概念．
2. 能够根据命题的条件和结论的关系，判断一些简单的充要条件问题，能对充要条件进行证明．
新知初探 基础落实
战国时期墨子所著《墨经》中对充分条件、必要条件的描述：
充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”．
必要条件：“无之则必不然，有之则未必然”．
物理中：
问题1：在①②两个电路中， A，C的开闭与灯泡B亮起来，会形成什么逻辑条件呢？
问题2：你能列举生活中存在“充分条件或必要条件”的逻辑语句或事例吗？
一、 生成概念
问题3：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3) 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．
不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题．
问题4：你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题．判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分又不必要条件．
请同学阅读课本P20—P22，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 逆命题的概念
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“________”，称这个命题为原命题的_____命题．
2. 充要条件
若q，则p
逆
命题真假 “若p，则q”为_____命题；“若q，则p”为_____命题
推出关系 _______
条件关系 p既是q的_______条件，也是q的_______条件，我们说p是q的___________条件，简称为充要条件
真
真
p q
充分
必要
充分必要
4. 从集合的角度理解充分与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，则
(1) 若A B，则p是q的充分条件；
(2) 若B A，则p是q的必要条件；
典例精讲 能力初成
探究
　　　　(课本P21例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
1
充要条件的判断
1
(2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
【解答】因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件．
(课本P21例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(3) p：xy>0，q：x>0，y>0；
(4) p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0).
【解答】因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件．
(1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2) 集合法．
(3) 传递法：由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
【解析】由题意得A B C D，则A是D的既不充分又不必要条件．
变式　
　　　　(1) 若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的 (　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
D
【解析】对于A，因为当a＝b时，ac＝bc成立；当ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错误．对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2b2，但ab”是“a2>b2”的既不充分又不必要条件，故B错误．对于C，因为“a<6”时一定有“a<4”成立；反之，a<6时不一定有a<4，所以“a<6”是“a<4”的必要不充分条件，故C正确．对于D，“a＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故D正确．
(2) (多选)对于任意实数a，b，c，下列选项正确的是 (　　)
A. “a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B. “a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件
C. “a<6”是“a<4”的必要不充分条件
D. “a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
CD
探究
　　　　(课本P22例4)已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与圆O相切的充要条件．
2
充要条件的证明
2
【解答】设p：d＝r，q：直线l与圆O相切．①充分性(p q)：如图，作OP⊥l于点P，则OP＝d.若d＝r，则点P在圆O上．在直线l上任取一点Q(异
于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r.所以除点P外直线
l上的点都在圆O的外部，即直线l与圆O仅有一个公共点P，所
以直线l与圆O相切．②必要性(q p)：若直线l与圆O相切，不
妨设切点为P，则OP⊥l.因此d＝OP＝r.由①②可得，d＝r是直线l与圆O相切的充要条件．
(1) 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则以p为“已知条件”，即p q.
(2) 证明“充要条件”的一般步骤：
变式　
探究
　　　　设集合A＝{x|－1(1) 若p是q的充要条件，求正实数m的值；
3
充要条件的应用
3
设集合A＝{x|－1(2) 若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．
变式　
　　　　已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
随堂内化 及时评价
1. 已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的
(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
C
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
C
3. (多选)已知p是q的充要条件，q是r的充分不必要条件，那么 (　　)
A. r是q的充分不必要条件 B. r是q的必要不充分条件
C. p是r的充分不必要条件 D. p是r的必要不充分条件
BC
4. 已知p：x<8，q：x{a|a<8}
5. 已知命题p：2≤x≤10，命题q：x2a＋1，其中a>0.若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为______________________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. “－1A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
C
2. (2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的 (　　)
A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　 D. 既不充分又不必要条件
B
【解析】由a2＝b2，知a＝±b.当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，知(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．
C
4. (2025·汕尾期末)老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的 (　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
B
【解析】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，但“做难题”一定可以推出“做容易题”，故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件．
二、 多项选择题
5. 设全集为U，下列选项中是B A的充要条件的为 (　　　)
A. A∪B＝B　 B. ( UA)∩B＝
C. ( UA) ( UB)　 D. A∪( UB)＝U
BCD
【解析】如图，根据Venn图可知，B，C，D都是充要条件．
6. 在如图所示的电路图中，下列说法正确的是 (　　)
A. 如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件
B. 如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件
C. 如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件
D. 如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件
【解析】对于A，开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合．所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故A正确．对于B，开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合．所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故B正确．对于C，开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合．所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故C正确．对于D，开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合．所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分又不必要条件，故D错误．
【答案】ABC
三、 填空题
7. 关于x的方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是_______，它的一个充分不必要条件可以是___________________．
a≤1
【解析】因为方程x2－2x＋a＝0有实根，所以Δ＝(－2)2－4a≥0，解得a≤1.反之，当a≤1时，Δ≥0，则方程x2－2x＋a＝0有实根，所以“a≤1”是“方程x2－2x＋a＝0有实根”的充要条件．当a＝1时，方程x2－2x＋1＝0有实根x＝1，而当方程x2－2x＋a＝0有实根时不一定是a＝1，所以“a＝1”是“方程x2－2x＋a＝0有实根”的一个充分不必要条件．
a＝1(答案不唯一)
8. 若“－13
10. 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2－m)x＋2m＋4＝0(m∈R).
(1) 求“有一个根大于1，有一个根小于1”的充要条件；
10. 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2－m)x＋2m＋4＝0(m∈R).
(2) 求“有两个小于3的根”的充要条件．
(提示：一元二次不等式可转化为一元一次不等式组解决)
【解析】如果|x－y|<1，比如x＝3.9，y＝4.1，则有|x－y|＝0.2<1，根据定义，[x]＝3，[y]＝4，[x]≠[y]，即“|x－y|<1”不是“[x]＝[y]”的充分条件．如果[x]＝[y]＝n，n∈Z，则有x＝n＋d1，y＝n＋d2，d1，d2∈[0，1)，所以|x－y|＝|d1－d2|<1，所以“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的必要条件，故“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的必要不充分条件．
B
12. (多选)已知p：x≥1，y≥2，q：x＋y≥t.若p是q的充分不必要条件，则t的值可以是 (　　)
A. 2　 B. 3
C. 4　 D. 5
AB
【解析】由x≥1，y≥2，可得x＋y≥3，所以t≤3.但反过来，由x＋y≥3和x＋y≥2均不能推出x≥1且y≥2，故选项A，B满足题意．若t＝4，则p不是q的充分条件，如x＝1，y＝2，满足条件p，但x＋y＝3<4不满足q，同理D也不符合题意．
13. (多选)已知集合A＝{x|a＋1A. a<7　 B. a<6 C. a<5　 D. a<4
AB
【答案】BCD

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