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2025-2026学年度第一次阶段性检测卷
九年级数学（BS）
测试范围：1.1-2.6
考试时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列性质中，菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角相等
3．已知关于的方程．的一个根为2，则的值是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D.2
4．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点对应的刻度（单位：）分别为1和5，则BD的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5cm
5．规定：对于任意实数满足，等式右边是常规乘法与减法运算，如．若关于的方程的解的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
6．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）
A． B. C． D．
7．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．关于的方程．的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ）
A.14 B.10
C.14或10 D.10或12
9．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为+6，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程24，其中：构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
10．如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形FG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②；③G平分；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．如图，在菱形ABCD中，，则___________，
12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________
13．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点在轴上，且坐标为，点在轴上，则点的坐标为___________．
14．已知是关于的方程．的两个实数根，且，则___________．
15．如图，在矩形中，是AB边上一点，是直线上一动点，将沿直线折叠，点的对应点为，当点，C三点在一条直线上时，DF的长度为___________．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．如图，在四边形ABCD中，点在上，，，若平分．求证：四边形是菱形．
17．用合适的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
18．如图，矩形的对角线相交于点，垂足为，，求的度数．
19．如果方程的两个根是，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若，求方程的两根；
（2）已知实数满足，求的值．
20．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，连接EF，AB//EF，AB=BE．
（1）试判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
（2）若，求矩形的周长．
21．新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；篮球场及安全区域的总面积为，
（1）求安全区域的宽度；
（2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
22．在正方形ABCD中，点是边上一动点（不含端点）．
（1）如图1，AE，连接．
①求证：；
②求证：．
（2）如图2，为CF的中点，连接、，求证：；
（3）如图3，若，直接写出的最小值．
23．我们知道：关于的一元二次方程（均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若：（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例：方程，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根．，都为整数，此时的值是一个完全平方数．
我们定义：两根都为整数的一元二次方程(，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数）的“幸运数”为，若，则称与，r）互为“开心数”．
（1）关于的一元二次方程．是一个“幸运方程”．
①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________；
②若该幸运方程的“幸运数”是-1，则m的值为___________
（2）若关于的一元二次方程．（m为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”；
（3）若关于的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值．
2025-2026学年度第一次阶段性检测卷
九年级数学（BS）参考答案
1．A2．C3．B4．C5．B6．A7．D8．A9．C10．A
11.40°
12.且
13.
14.2
15.或
16．【详解】证明：，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．
17．（1）解：，
，
原方程无实数根，即原方程无解．
（2）解：原方程化为，即，
或，
．
（3）解：，
，
，
，
．
18．【详解】解：四边形是矩形，
，
．
是等腰三角形，
又，
，
，
，
．
19．【详解】解：（1）当，
则方程为，
或
．
（2）满足，
是的两个实数根，
当时，，
当时，原式．
综上，的值为-47或2．
20．【详解】（1）四边形是正方形，理由如下：
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
（2）四边形是正方形，，
，
，
，
矩形的周长为．
21．【详解】（1）解：设安全区域的宽度为米，由题意得：
整理得，
解得（不符合题意，舍去）．
答：安全区域的宽度为1米．
（2）解：设每次降价的百分率为，由题意得：
解得（舍去），，
答：每次降价的百分率为10%．
22．【详解】（1）①证明：在正方形中，，
，
，
，
．
②如图，在上取点，使，连接，
，
，
，
，
，
又，
，
．
（2）如图，延长到，使．连接．
为的中点，
，
，
，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
．
（3）
作，交的延长线于点，过作于，则，
，
当三点共线时，的值最小，
点在上，
当时，的值最小，此时的值最小，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
23．【详解】（1）解：当时，代入得，，，即，
故答案为；
依题意，，
整理得，，
解得，
故答案为-1或3；
（2）解：方程，
，
，
，
是“幸运方程”，
是完全平方数，
即是完全平方数，
或49或64，
解得或9或，
为整数，
，
当时，方程化为，
，
综上，的值为9，方程的“幸运数”为；
（3）解：是“幸运方程”，
的两个根为整数，
设方程的两个根分别为，
，
，
，
，
为整数，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
综上所述，的值为5或-1．
方程的“幸运数”为，
当时，，
当时，，
，
方程的“幸运数”为，
与互为“开心数”，
，即，
当时，，
解得：或（舍去，不是整数），
当时，，
解得：，
综上所述，或．

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