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江苏省连云港市赣榆初级中学、华杰双语学校2025—2026学年上学期九年级第一次月考数学试题
一、单选题
1．下列关于的方程中，是一元二次方程的为（　　）
A． B． C． D．
2．已知在平面直角坐标系中，P点坐标为，若以原点O为圆心，半径为画圆，则点P与的位置关系是（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
3．下列说法正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C．相等的弧所对弦相等
D．长度相等弧是等弧
4．唐代李香发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，轮子的吃水深度为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
5．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，内接于⊙O，过点O作交⊙O于点D，连接，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．已知一元二次方程的两根分别为，3，则方程的两根分别为（ ）
A．2， B．，4 C．3， D．，5
8．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．方程x2=4x的解 ．
10．已知方程，用配方法化为．则 ．
11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
12．等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长是 ．
13．如图，是的外接圆，，则的半径是 ．
14．如图，已知 是的外接圆，是的直径，若，则的度数是 °．
15．如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °．
16．已知α，β是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，则α2﹣2αβ﹣4α的值为 ．
17．等腰的外接圆半径为5，圆心到底边的距离为3，则 ．
18．已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足，连接AE、BF， 交点为P点，则PD的最小值为 ．
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根．
21．已知关于x的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围．
22．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径= （结果保留根号）；
23．如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
24．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．
25．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
26．阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值．
问题解决：
（1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空）
阅读材料II：已知，且．求的值．
解：由可知
．
又，且，
即，
是方程的两根．
问题解决：
（2）若，且，则___________；
（3）已知，，且．求的值．
27．（1）如图①，点、、均在上，，则锐角的大小为___________度；
（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．你能否写出完整的证明过程？
（3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆，，，连接、，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________．
参考答案
1．D
解：A、a=0时，是一元一次方程，故A错误；
B、是分式方程，故B错误；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确．
故选D．
2．B
解：∵点P的坐标是，
∴，
而的半径为5，
∴等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
3．C
解：A.错误．需要添加此弦非直径的条件；
B.错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；
C.正确．
D.错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；
故选C．
4．C
解：∵，，
∴，
设该桨轮船的轮子半径为，
在中，
即，
解得：，
故选：C．
5．C
解：如图，设中点为O，连接，
一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，
点、、、都在以为直径的圆上，
点对应，即，
，
．
故选：C．
6．C
解：如图，连接，
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．

7．B
解：设，则方程变形为，
∵一元二次方程的两根分别为，3，
∴方程的两根分别为，3，
∴或3，
∴，
∴．
故选：B
8．C
【详解】∵，
∴，，
∴
=
=
=
=
=，
∵，且，
∴，
∴原式=，
故选：C．
9．x=0或x=4
解：原方程变为
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x1=0，x2=4，
故答案为：x=0或x=4．
10．3
解：方程，
配方，得，
即，
则，
解得.
故答案为：3.
11．且
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且.
故答案为：且.
12．17
解：，
，
或，
，，
等腰三角形的底和腰是方程的两根，
等腰三角形的底和腰为3和7，
当腰为3底为7时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
当腰为7底为3时，，满足三角形三边关系，此时周长为，
综上所述，这个三角形的周长是17，
故答案为：17．
13．4
解：作直径，如图，连接，
∵为直径，
，
∴，
，
即⊙O的半径是4．
故答案为4．
14．
解：如下图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．50
解：∵是的直径，
∴，
又，
∴，
∵四边形内接于，，
∴，
∴，
故答案为：50．
16．15
解：由α，β是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，可得：
，，
∴；
故答案为15．
17．或
解：分两种情况考虑：当为锐角三角形时，如图1所示，
过作，由题意得到过圆心，连接，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，，
；
当为钝角三角形时，如图2所示，
过作，由题意得到延长线过圆心，连接，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，，
；
故答案为：或．
18．
解：如图所示：
在正方形ABCD中，，，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
根据圆周角定理，作一个以AB为直径的圆O，角所对的弦是直径，
∴点P在以AB为直径的圆O上，如图所示：
∵P圆上的动点，
∴当点P、点D和点O不在一条直线时，根据三角形的性质可得，
当点P、点D和点O三点在一条直线上时，，
∴当点P、点D和点O三点在一条直线上时，此时即为PD的最小值，
在中，，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：，
整理，得，
开方，得，
∴；
（2）解：，
移项，得，
因式分解，得，
则或，
∴；
（3）解：，
整理，得，
可知，
∴，
∴，
∴；
（4）解：，
整理，得，
即，
因式分解，得，
∴或，
解得.
20．，另一根为
解：方程的一个根为2，
，
解得，
设另一根为，
，
，
，另一根为．
21．(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：
，
∵，即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：，得，
∵方程有一个根大于4且小于8，
∴，
∴．
22．(1) 见解析；(2) ①C (6, 2), D (2,0)；②.
解：（1）如图所示；
（2）①由图知C（6,2）、D（2,0）
②由勾股定理得：⊙D的半径.
23．(1)见详解
(2)
（1）证明：∵平分，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接与交于，
，
，
，
，
，
，
，
∴的半径是．
24．(1)见解析(2)
(1)证明：如图，连结OD．
∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．
∴∠0DE=∠CED．
又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，∴∠BOD=∠BAC=60°，
∠C=∠0DB．
又∵OB=OD，∴△BOD是等边三角形．
∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5．
∵DE⊥AC，∴DE=CD·sin∠C =5×sin60°=．
25．(1)月平均增长率为
(2)售价应降低20元
（1）解：设月平均增长率为，
由题意得，，
解得：（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为；
（2）解：设售价应降低元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，
尽量减少库存，
，
答：售价应降低20元．
26．（1）11；（2）；（3）．
解：（1）∵为方程的两根，
∴，，
故答案为：11；
（2），
由可知；
∴，
∴
又，且，即；
∴a、是方程的两根，
∴，即；
故答案为：；
（3）由可知；
∴，
∴，
又，且，即；
∴m、是方程的两根，
∴；
∴．
27．（1）
（2）证明见解析
（3）
解：（1）∵，且是所对的圆心角，是所对的圆周角，
∴.
故答案为：；
（2），延长至点E，使，连接，
∵是等边三角形，
∴.
∵是的外角，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（3），.
延长至点E，使，连接，
∵是的外角，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形.
根据勾股定理，得，
即，
∴.
故答案为：.

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