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2025年武汉二中高二上学期九月月考试卷
考试时间：2025年 9月 26日试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效
一、单选题
1. 已知M 4,3,2 是空间直角坐标系Oxyz中的一点，下列点的坐标与点M关于Oxz平面对称的点是
( ).
A. -4,3,2 B. 4,-3,-2 C. -4,3,-2 D. 4,-3,2
2. 若直线 l1: m-1 x+ y+ 2= 0与直线 l2:2x+my+ 4= 0平行，则m的值为 ( )
A. - 1 B. - 1或 2 C. 2 D. 1
3. 已知空间中点A 1,0,0 ，B 0,2,0 ，C 0,0,3 ，D 1,1,λ ，若A，B，C，D四点共面，则实数 λ 值为
( )
A. - 2 B. - 3 C. 2 D. 3
3 2 3 2
4. 设直线 l的方程为 x+ ysinθ- 1= 0 θ∈R ，则直线 l的倾斜角 α的范围是 ( )
A. 0,π B. π , π ∪ π , 3π 4 2 2 4
C. π , 3π D. π , π 4 4 4 2
5. x
y
若直线的截距式方程 + = 1化为斜截式方程为 y=-2x+ b，化为一般式方程为 bx+ ay- 8=
a b
0 a>0 ，则 a- b= ( )
A. - 2 B. 2 C. 6 D. 8
6. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD= 1,AC1= 4,AA1= 3，∠A1AB=∠A1AD=
π
，则∠BAD= ( )
3
·1·
A. π B. 2π C. π D. π
3 3 4 2
7. 实数 a,b满足 a+ b+ 1= 0，则 a2- 2a+ b2的最小值为 ( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. - 1
8. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA= 2,AB= 1，则直线PC与
平面PBD所成角的正弦值为 ( )
A. 6 B. 1 C. 2 2 D. 5 3
9 3 3 9
二、多选题
9. 下列命题正确的有 ( )
A. 若直线 a的方向向量与平面 α的法向量垂直，则 a∥ α
B. a

若 ,b,c
为空间的一个基底，则 a
+b,a -2b,c 可构成空间的另一个基底

C. 已知向量 a= 2,3,x ,b= 2x,-3,1 9 ，若 x< ，则< a ,b>为钝角
5
D. 已知直线 l的一个方向向量为 3,-2 且过点 2,1 ，则 l的方程为 2x+ 3y- 7= 0
10. 已知m∈R，若过定点A的动直线 l1:x-my+m- 2= 0和过定点B的动直线 l2:mx+ y- 4+ 2m
= 0交于点P(P与A，B不重合)，则以下说法正确的是 ( )
A. AB = 5 B. |PA|2+ |PB|2为定值
C. S 25△PAB的最大值为 D. 2 PA + PB 的最大值为 5 52
11. 在棱长为 1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F在底面ABCD内运动 (含边界)，点E是棱CC1的
中点，则 ( )
A. 若F 5在棱AD上时，存在点F使 cos∠D1B1F= 6
B. 若F是棱AD的中点，则EF 平面AB1C
C. 若EF⊥平面B1D1E，则F是AC上靠近C的四等分点
D. 2若F在棱AB上运动，则点F到直线B1E的距离最小值为 55
三、填空题
·2·
12. 已知直线 l1：x+my- 2= 0与直线 l2：mx+ y+ 2= 0平行，其中m∈R，则直线 l1与 l2之间的距离
等于 ．
13. 已知点A -2,0 ，B 2,0 ，点 P为直线 l:2x+ y- 6= 0上动点，当∠APB最大时，点 P的坐标为
．

14. 在正四棱锥P-ABCD 2中，若PE= PB PF = 1， PC，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥P
3 3
-AEFG与四棱锥P-ABCD的体积比为 ．
四、解答题
15. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，点D，E，F分别为AB,BC,BB1的中点.
(1)证明：A1C1 平面B1DE；
(2)若AC= 2AB= 2AA1= 2，求直线DE与平面A1FC1的距离.
16. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A -4,2 ，AB边上的中线CF所在的直线方程为 x+ 2y
- 5= 0.
(1)若AC边上的高BE所在的直线方程为 x- 3y+ 10= 0，求边BC所在的直线方程；
(2)若∠B 平分线BD所在的直线方程为 y= 2x，求边BC所在的直线方程.
·3·
17. 某班级有 50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有 x
名，订阅数学资料的学生有 y名，订阅英语资料的学生有 z名，且 x+ y+ z< 50.从 50名学生中随机
抽取一名学生，记 A =“订阅了语文资料”，B =“订阅了数学资料”，C =“订阅了英语资料”，
P ABC
1
= .
50
(1)若 x= 12，y= 15，z= 18，求这三个数据的平均数和方差；

(2)若 y= 10，z= 15，求P ABC 的最大值；
(3)求P AB +P AC +P BC 的最小值.(参考公式：对于随机事件A，B，C有P A∪B∪C =
P A +P B +P C -P AB -P BC -P AC +P ABC
18. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，PO= 3，
AB= 2，平面PAB∩平面PCD= l.
(1)求证：l AB；
(2)如图，M∈ l且PM= 3，求点M到平面PBC的距离；
(3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC
3 105
所成的角的正弦值为 ？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
35
·4·
19. 在平面直角坐标系中，两点 P x1,y1 、Q x2,y2 的“曼哈顿距离”定义为 x1-x2 + y1-y2 ，记为
PQ ．如，点P -1,-2 、Q 2,4 的“曼哈顿距离”为 9，记为 PQ = -1 -2 + -2 -4 = 9．
(1)动点P在直线 y= 1- x上，点O 0,0 ，若 PO ≤ 1，求点P的横坐标 x的取值范围；
(2)动点P在直线 y= 2x- 2上，动点Q在函数 y= x2图象上，求 PQ 的最小值；
(3)动点Q在函数 y= x2 x∈ -2,2 的图象上，点P a,b ， PQ 的最大值记为M a,b ．如，当点
P的坐标为 0,0 时，M 0,0 = 6．求M a,b 的最小值，并求此时点P的坐标．
·5·2025年武汉二中高二上学期九月月考试卷
考试时间：2025年 9月 26日试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效
一、单选题
1. 已知M 4,3,2 是空间直角坐标系Oxyz中的一点，下列点的坐标与点M关于Oxz平面对称的点是
( ).
A. -4,3,2 B. 4,-3,-2 C. -4,3,-2 D. 4,-3,2
【答案】D
【详解】与点M 4,3,2 关于Oxz平面对称的点是 (4, -3,2)；
故选：D
2. 若直线 l1: m-1 x+ y+ 2= 0与直线 l2:2x+my+ 4= 0平行，则m的值为 ( )
A. - 1 B. - 1或 2 C. 2 D. 1
【答案】A
【详解】因 直线 l1: m-1 x+ y+ 2= 0与直线 l2:2x+my+ 4= 0平行，
m m-1 =2则 - ≠ ，解得m=-1.4 m 1 4
故选：A.
3. 已知空间中点A 1,0,0 ，B 0,2,0 ，C 0,0,3 ，D 1,1,λ ，若A，B，C，D四点共面，则实数 λ 值为
( )
A. - 2 B. - 3 C. 2 D. 3
3 2 3 2
【答案】B
【详解】因为A 1,0,0 ，B 0,2,0 ，C 0,0,3 ，D 1,1,λ ，

所以AB= -1,2,0 ，AC = -1,0,3 ，AD= 0,1,λ ，

因为A,B,C,D四点共面，所以AB与AC,AD共面，即存在唯一实数对 x,y ，使得AB= xAC +

yAD，
所以 -1,2,0 = -x,0,3x + 0,y,λy = -x,y,3x+λy ，
-1=-x所以 2=y
3
，解得 x= 1,y= 2,λ=- ．
= + 20 3x λy
故选：B
·1·
4. 设直线 l的方程为 x+ ysinθ- 1= 0 θ∈R ，则直线 l的倾斜角 α的范围是 ( )
A. 0,π B. π , π ∪ π , 3π 4 2 2 4
C. π , 3π D. π , π 4 4 4 2
【答案】C
【详解】当 sinθ= 0 π时，直线 l的斜率不存在，则直线 l的倾斜角 α= ，
2
当 sinθ≠ 0时，直线 l的斜率 k=- 1 ∈ (-∞,-1]∪ [1, +∞)，
sinθ
当 k≤-1，即 tanα≤-1 π 3π时，则 < α≤ ；当 k≥ 1，即 tanα≥ 1 π时， ≤ α< π ，
2 4 4 2
所以直线 l π 3π的倾斜角的范围为 , 4 4 .
故选：C
x y5. 若直线的截距式方程 + = 1化为斜截式方程为 y=-2x+ b，化为一般式方程为 bx+ ay- 8=
a b
0 a>0 ，则 a- b= ( )
A. - 2 B. 2 C. 6 D. 8
【答案】A
【详解】易知 ab≠ 0，由 y=-2x+ b，得到 2x+ y- b= 0，
由已知一般式方程为 bx+ ay- 8= 0 b a a>0 ，所以有 = = -8
2 1 - ，b
则 b2= 16，解得 b=±4，
又 a> 0 1，a= b，
2
所以 a= 2,b= 4，则 a- b=-2，
故选：A.
6. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD= 1,AC1= 4,AA1= 3，∠A1AB=∠A1AD=
π
，则∠BAD= ( )
3
A. π B. 2π C. π D. π
3 3 4 2
【答案】B
【详解】设∠BAD= θ，因为六面体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，
所以AC1=AB+AD+AA1，因为AB=AD= 1,AC1= 4,AA1= 3，
代入计算可得：
·2·
2 2 2 2
AC1 = AB+AD+AA1 =AB2+AD +AA1 + 2AB AD+ 2AD AA1+ 2AA1 AB，

故有：16= 1+ 1+ 9+ 2|AB| |AD|cos∠BAD+ 2|AD| AA1 cos∠A1AD+ 2 AA1 |AB|cos∠A1AB，
所以 16= 11+ 2cosθ+ 6cos π + 6cos π ，
3 3
所以 cosθ=- 1 ，因为 θ∈ (0,π)，所以 θ= 2π .
2 3
故选：B
7. 实数 a,b满足 a+ b+ 1= 0，则 a2- 2a+ b2的最小值为 ( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. - 1
【答案】B
【详解】a2- 2a+ b2= a-1 2 + b2- 1，
其中 a-1 2 + b2为两点 1,0 与 a,b 距离的平方，
2
所以其最小值即为 1,0 到直线 a+ b+ 1= 0 2距离的平方，即 2 = 2，
所以 a-1 2 + b2- 1的最小值为 1，
故选：B
8. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA= 2,AB= 1，则直线PC与
平面PBD所成角的正弦值为 ( )
A. 6 B. 1 C. 2 2 D. 5 3
9 3 3 9
【答案】A
【详解】在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，
以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为 x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则B 1,0,0 、C 1,1,0 、D 0,1,0 、P 0,0,2 ，

BP= -1,0,2 ，BD= -1,1,0 ，CP= -1,-1,2 ，

设平面PBD 的法向量为m= x,y,
m BP=-x+2z=0
z ，则 ，m BD=-x+y=0

取 x= 2 ，则m= 2, ,
CP m
2 1 -2 6 ，所以，cos CP,m = = =- ，
CP m 6×3 9
因此，直线PC与平面PBD 6所成角的正弦值为 .
9
故选：A.
二、多选题
·3·
9. 下列命题正确的有 ( )
A. 若直线 a的方向向量与平面 α的法向量垂直，则 a∥ α

B. a ,b,c a

若 为空间的一个基底，则 +b,a-2b,c

可构成空间的另一个基底
C. a

已知向量 = 2,3,x ,b= 9 2x,-3,1 ，若 x< ，则< a,b>为钝角
5
D. 已知直线 l的一个方向向量为 3,-2 且过点 2,1 ，则 l的方程为 2x+ 3y- 7= 0
【答案】BD
【详解】选项A：直线 a的方向向量与平面 α的法向量垂直，直线 a可能在平面 α内，故A错误；

选项B：若 a,b,c
为空间的一个基底，则 a,b,c不共面，
a+ b,a

假设 - 2b,c 共面，则 c= x(a+ b) + y(a- 2b) = (x+ y)a+ (x- 2y)b，

此时 a ,b,c 共面，与已知条件矛盾，故假设不成立，
a

+ b,a - 2b,c

即 不共面，则 a
+b,a -2b,c 可构成空间的另一个基底，故B正确；

选项C ：当 x=-1时，a= 2,3,-1 ,b= -2,-3,1 ，

此时 a=-b ，即 a b，夹角为 π，不符合题意，故C错误；
选项D：因为直线 l的一个方向向量为 3,-2 ，
-2
所以斜率 k= ，又过点 2,1 ，
3
所以 l的方程为 y- 1=- 2 (x- 2)，整理得 2x+ 3y- 7= 0，故D正确；
3
故选：BD
10. 已知m∈R，若过定点A的动直线 l1:x-my+m- 2= 0和过定点B的动直线 l2:mx+ y- 4+ 2m
= 0交于点P(P与A，B不重合)，则以下说法正确的是 ( )
A. AB = 5 B. |PA|2+ |PB|2为定值
C. S 25△PAB的最大值为 D. 2 PA + PB 的最大值为 5 52
【答案】ABD
【详解】列表解析 直观解疑惑
选项 正误 原因
因为 l1:x-my+m- 2= 0可化为m 1-y + x- 2= 0，所以直线 l1恒过定点
A √ A 2,1 ．又因为 l2:mx+ y- 4+ 2m= 0可化为 y- 4=-m x+2 ，所以直线 l2
恒过定点B -2,4 ．故 AB = (2+2)2+(1-4)2= 5．
对于直线 l1,l2，因为 1×m+ -m × 1= 0，所以 l1⊥ l2，可得PA⊥PB，因此
B √
|PA|2+ |PB|2= |AB|2= 25，为定值．
2 2
S = 1 1
PA + PB 1 25 25
△PAB PA × PB ≤ × = × = ，当且仅当2 2 2 2 2 4
C × PA = PB = 5 2 时等号成立 (点拨 注意等号成立的条件是否满足)，所以
2
S 25△PAB的最大值为 ．4
·4·
设∠PAB= θ，因为PA⊥PB，所以θ为锐角， PA = 5cosθ, PB = 5sinθ，所以
D √ 2 PA + PB = 5 2cosθ+sinθ = 5 5sin θ+φ ，其中 tanφ= 2，所以当
sin θ+φ = 1时，2 PA + PB 取得最大值 5 5．
故选：ABD.
11. 在棱长为 1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F在底面ABCD内运动 (含边界)，点E是棱CC1的
中点，则 ( )
A. 若F在棱AD 5上时，存在点F使 cos∠D1B1F= 6
B. 若F是棱AD的中点，则EF 平面AB1C
C. 若EF⊥平面B1D1E，则F是AC上靠近C的四等分点
D. 若F在棱AB 2上运动，则点F到直线B1E的距离最小值为 55
【答案】BCD
【详解】A.如图建立空间直角坐标系，D
1
0,0,1 ，B1 1,1,1 ，F x,0,0 ，0≤ x≤ 1
B1D1= -1,-1,0 ，B1F = x-1,-1,-1 ，

cos B1D1,B1F =
B 1 D 1 B 1F = 2-x = 5 ，
B1D1 B1F 2× x-1 2 +2 6
整理为 7x2+ 22x+ 3= 0 1，解得：x=-3或 x=- ，都舍去，
7
所以不存在点F使 cos∠D B F= 51 1 ，故A错误；6
B.
如图，取DC的中点M，连结ME,MF，因为点M ,F是DC,DA的中点，
所以MF AC，MF 平面AB1C，AC 平面AB1C，
所以MF 平面AB1C，
同理ME DC1，且DC1 AB1，所以ME AB1，ME 平面AB1C，AB1 平面AB1C，所以ME 平
·5·
面AB1C，
且ME∩MF=M，ME,MF 平面MEF，
所以平面MEF 平面AB1C，EF 平面MEF，
所以EF 平面MEF
C. 1若F是AC上靠近C的四等分点，则F , 3 ,0 E 0,1, 1， ，B1 1,1,1 ，D1 0,0,1 ，4 4 2
1 1 EF = ,- ,- 1 B D = -1,-1,0 B E= -1,0,- 1所以 ， 1 1 ， 1 ，
4 4 2 2
EF B1D1= 0，EF B1E= 0,
所以EF⊥B1D1，EF⊥B1E，且B1D1∩B1E=B1，B1D1,B1E 平面B1D1E，
所以EF⊥平面B1D1E，且过点E只有 1条直线和平面B1D1E垂直，
则点F是唯一的，点F是AC上靠近C的四等分点，故C正确；
D.若点F在棱AB上运动，设F 1,y,0 ，0≤ y≤ 1，

FB1= 0,1-y,1 ，B1E= -1,0,- 12 ,
22 FB B E
则点F到BE的距离 d= FB - 1 11 = 1-y 2 +1- 1 = y-1 25 +
4 ，
B1E 5
当 y= 1时，d 2 5的最小值为 ，故D正确.
5
故选：BCD
三、填空题
12. 已知直线 l1：x+my- 2= 0与直线 l2：mx+ y+ 2= 0平行，其中m∈R，则直线 l1与 l2之间的距离
等于 ．
【答案】2 2
【详解】由题意，直线 l 21 l2，则m = 1且-2m≠ 2，所以m= 1.
2- -2
所以 l1：x+ y- 2= 0与直线 l2：x+ y+ 2= 0之间的距离 d= = 2 2 .
1+1
故答案为：2 2 .
13. 已知点A -2,0 ，B 2,0 ，点 P为直线 l:2x+ y- 6= 0上动点，当∠APB最大时，点 P的坐标为
．
【答案】 2,2
【详解】以AB为直径的圆方程为 x2+ y2= 4，
-6 6
因为原点O到直线 l的距离 d= = > 2，所以圆O与直线 l相离，
22+12 5
π
所以∠APB∈ 0, ，2
设P x0,y0 ，因为点P为直线 l:2x+ y- 6= 0上，所以 y0=-2x0+ 6，
)
AB
1 当 x 20=-2时，y0=-2x0+ 6= 10，此时 tan∠APB= = ；
PA 5
AB
) 2 当 x0= 2时，y0=-2x0+ 6= 2，此时 tan∠APB= = 2；
PB
3)当 x0≠-2且 x0≠ 2时，
·6·
因为∠APB= ∠PBx-∠PAx ，所以 tan∠APB= tan ∠PBx-∠PAx ，
记直线PA,PB的斜率分别为 k1,k2，
= 6-2x0 , 6-2x则 k k 01 x +2 2= ，0 x0-2
k -k
所以 tan∠APB= tan ∠PBx-∠PAx = 2 11+k k 2 1
6-2x0 - 6-2x0
= x0-2 x0+2 = 8x0-24 ，21+ 6-2x0 6-2x0 5x0-24x0+32 x0-2 x0+2
当 x0= 3时，∠APB= 0；
当 x0≠ 3 8时，tan∠APB=
5 x0-3 + 5x0-3 +6
若 x0< 3，则 5 x -3 + 5 0 - ≤-2 25=-10，tan∠APB≤ 2，x0 3
当且仅当 x0= 2时等号成立，故 tan∠APB< 2
若 x0> 3，则 5 x 50-3 + - ≥ 2 25= 10 tan∠APB≤
1
， ，当且仅当 x = 4时等号成立.
x0 3 2
0
综上，tan∠APB的最大值为 2，
因为 y= tanx,x∈ π 0, 单调递增，所以，此时∠APB取得最大值，点P坐标为 2,2 .2
故答案为： 2,2

14. 在正四棱锥P-ABCD中，若PE= 2 PB PF = 1， PC，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥P
3 3
-AEFG与四棱锥P-ABCD的体积比为 ．
8
【答案】
45
【详解】

由已知可得，PC =PA+AC =AB+AD-AP.

设PG= λPD，

由A,E,F,G四点共面可设AF = xAE+ yAG，
·7·

则AP+PF = x AP+PE + y AP+PG ，
1
所以AP+ AB+AD-AP = xAP+ 2 xPB+ yAP+ yλPD3 3
2 = xAP+ x AB-AP + yAP+ y λAD-λAP ，3
2 x 1 2 1
整理可得， - -y+λy AP+ - x AB+ -λy AD= 0.
3 3 3 3 3

又AP,AB,AD不共面，
2 - x 3 3 -y+λy=0 1 2 2 2 所以有 3 - 3 x=0 ，解得 λ= ，即PG= PD.
5 5 13 -λy=0
h PF
设 h1,h2分别是点F到平面PAE和点C到平面PAB的距离，则 1 = ，h2 PC
1
V S h
所以， P-AEF
V
= F-PAE
△PAE 1
= 3
VP-ABC VC-PAB 1
3 S△PAB h2
S△PAE PF= = PA PE PF =
PE PF = 2 .
S△PAB PC PA PB PC PB PC 9
又V = 1P-ABC V2 P-ABCD，
V
所以 P-AEF = 1 .
VP-ABCD 9
V
同理可得， P-AGF
V
= F-PAG
VP-ADC VC-PAD
= PA PG PF PG PF 2
PA PD = = .PC PD PC 15
V 1又 P-ADC= V2 P-ABCD，
V
所以 P-AGF = 1 .
VP-ABCD 15
V
所以， P-AEFG
V
= P-AGF
V
+ P-AEF = 1 + 1 = 8 .
VP-ABCD VP-ABCD VP-ABCD 9 15 45
8
故答案为： .
45
四、解答题
15. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，点D，E，F分别为AB,BC,BB1的中点.
(1)证明：A1C1 平面B1DE；
·8·
(2)若AC= 2AB= 2AA1= 2，求直线DE与平面A1FC1的距离.
【答案】(1)证明见解析 (2) 3 5
10
小问 1详解】
因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以A1C1 AC，
又D，E分别为AB，BC的中点，所以DE AC，
所以DE A1C1，
又A1C1 平面B1DE,DE 平面B1DE，
所以A1C1 平面B1DE；
【小问 2详解】
因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，且AB⊥AC，
以A为坐标原点，分别以AB,AC,AA1所在直线为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
1
因AC= 2AB= 2AA1= 2，则B1(1,0,1),D ,0,0 ,A1(0,0,1),F 1,0, 1 ，2 2
1
则B1D= - ,0,-1 ,A1F = 1,0,- 1 ，2 2
因为AC= 2，则C1(0,2,1)，即A1C1= 0,2,0 ，

设平面A1FC1的法向量为n= (x,y,z)，
n

A F=x- 11 z=0则 2 ，取 x= 1，则 z= 2，y= 0，n A1C1=2y=0

所以平面A1FC1的一个法向量为n= (1,0,2)，
1
又E ,1,0 ，即A1E= 1 ,1,-12 2 ，

A E n 11 -2
所以点E A FC d= 2 3 5到平面 1 1的距离
n
= = ，
5 10
因为D，E分别为AB，BC的中点，故有直线DE 平面A1FC1，
所以直线DE与平面A1FC1的距离即为点E到平面A1FC1的距离，
DE A FC 3 5故直线 与平面 1 1的距离为 .10
16. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A -4,2 ，AB边上的中线CF所在的直线方程为 x+ 2y
- 5= 0.
(1)若AC边上的高BE所在的直线方程为 x- 3y+ 10= 0，求边BC所在的直线方程；
(2)若∠B 平分线BD所在的直线方程为 y= 2x，求边BC所在的直线方程.
·9·
【答案】(1)x+ 7y- 30= 0； (2)3x+ y- 10= 0.
【小问 1详解】
设B xB,yB ,C xC,yC ，
xB-4则 + y +22× B - 5= 0,即 xB+ 2yB- 10= 0①，xC+ 2yC- 5= 0②，2 2
y -2
又直线AC与直线 x- 3y+ 10= 0 1垂直，所以 C × =-1，即 3x + y + 10= 0③，
xC- - 3
C C
4
联立②③解得 xC=-5,yC= 5，
又 xB- 3yB+ 10= 0④，联立①④解得 xB= 2,yB= 4，
y-5 x- -5
所以直线BC的方程为 - = ，即 x+ 7y- 30= 0.4 5 2- -5
【小问 2详解】
因为∠B的平分线所在的直线方程为 y= 2x，所以 yB= 2xB⑤，
联立①⑤求解可得 xB= 2,yB= 4，
y-2 x- -4
则直线AB方程为 - = ，即 x- 3y+ 10= 0，4 2 2- -4
设直线BC的方程为 ax+ by+ c= 0，则 2a+ 4b+ c= 0
在直线 y= 2x上取点O 0,0 ，由角平分线定理可知，O到直线AB,BC的距离相等，
10 = c则 ，即 10a2+ 10b2- c2= 0，
10 a2+b2
2
又 c=-2a- 4b，所以 10a2+ 10b2- -2a-4b 2 a a = 0，整理得 3 - 8 - 3= 0，b b
a
解得 =- 1 a 1或 = 3，所以直线BC的斜率 k= 或 k=-3，
b 3 b 3
当 k= 1 1时，直线BC的方程为 y- 4= x-2 ，
3 3
即 x- 3y+ 10= 0，与直线AB重合，舍去；
当 k=-3时，直线BC的方程为 y- 4=-3 x-2 ，即 3x+ y- 10= 0，满足题意.
所以直线BC的方程为 3x+ y- 10= 0.
17. 某班级有 50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有 x
名，订阅数学资料的学生有 y名，订阅英语资料的学生有 z名，且 x+ y+ z< 50.从 50名学生中随机
抽取一名学生，记 A =“订阅了语文资料”，B =“订阅了数学资料”，C =“订阅了英语资料”，
P 1 ABC = .
50
(1)若 x= 12，y= 15，z= 18，求这三个数据的平均数和方差；

(2)若 y= 10，z= 15，求P ABC 的最大值；
(3)求P AB +P AC +P BC 的最小值.(参考公式：对于随机事件A，B，C有P A∪B∪C =
P A +P B +P C -P AB -P BC -P AC +P ABC
【答案】(1) 15 6 (2) 9 (3) 3平均数 ，方差 .
50 50
【小问 1详解】
12+15+18
易得这三个数据的平均数 x= = 15，
3
·10·
2= (12-15)
2+(15-15)2+(18-15)2
方差 s = 6.
3
【小问 2详解】
依题意，同时订阅了三种资料的有 50×P ABC = 1人.

设订阅了数学和英语的有m人，减去其中订阅了语文的人数，所以满足ABC的人数有m- 1人.
9
显然m- 1不能为负数，所以m≥ 1，且m≤ 10.所以 0≤P ABC ≤ .50

故P ABC 9的最大值为 .50
【小问 3详解】
依题意有
P A∪B∪C =P(A) +P(B) +P(C) -P(AB) -P(BC) -P(AC) +P(ABC)，
所以P(AB) +P(BC) +P(AC) =P(A) +P(B) +P(C) +P(ABC) -P A∪B∪C ，
( ) + ( )+ ( )= x+y+z+1即P AB P BC P AC -P A∪B∪C ，
50
因为总共买了三种资料的有一人，
n A∪N∪C = x+ y+ z-n AB -n AC -n BC + 1,
由于n AB ≥ 1，n AC ≥ 1，n BC ≥ 1，
故n A∪N∪C ≤ x+ y+ z- 1- 1- 1+ 1= x+ y+ z- 2，
所以所有买了资料的同学至多有 x+ y+ z- 2人，
从而P A∪B∪ ≤
x+y+z-2
C ，所以P(AB) +P(BC) +P(AC)≥ 3 .
50 50
3
当仅有一人买了三种资料，其余所有人均只买一种资料或不买资料时取得最小值 .
50
18. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，PO= 3，
AB= 2，平面PAB∩平面PCD= l.
(1)求证：l AB；
(2)如图，M∈ l且PM= 3，求点M到平面PBC的距离；
(3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC
3 105
所成的角的正弦值为 ？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
35
【答案】(1)证明见解析
(2) 3 21
7

(3) PE= 2

存在， PB或PE= 23 PB
3 30
【小问 1详解】
∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，
·11·
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，∴AB∥平面PCD，
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD= l，
∴ l∥AB；
【小问 2详解】
取BC中点N，连接ON，则ON⊥OA，
∵PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，ON 平面ABCD，
∴PO⊥OA，PO⊥ON，
∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P 0,0, 3 ，B 1,2,0 ，C -1,2,0 ，M 0,3, 3 ，A 1,0,0 ，

于是，PB= 1,2,- 3 ，BC = -2,0,0 ，MP= 0,-3,0 ，

设平面PBC的一个法向量为n= x1,y1,z1 ，

P B n
=0 x1+2y1- 3z =0 则 1 ，得BC n=0 - = ，故可取n= 0, 3,2 ，2 x1 0

MP n -3 3∴ 点M到平面PBC 3 21的距离为 = = ．
n 7 7
【小问 3详解】
3 105
存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为 ，
35
∵QA=QB=QC=QD，且平面ABCD为正方形，
∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心，
可设Q 0,1,h ，则PQ=AQ，
∴ 1+ h- 3 2 = 1+ 1+ h2 3，解得 h= ．
3

Q 0,1, 3 PQ= 0,1,- 2 3即 ，3 ， 3
设PE= λPB，λ∈ 0,1 ，

∴E λ,2λ, 3- 3λ ，AE= λ-1,2λ, 3- 3λ ，AC = -2,2,0 ，

设平面AEC的一个法向量为n2= x2,y2,z ， 2
A E n2=0 λ-1 x2+2λy2+ 3- 3λ z2=0则 ，得AC n2=0 -2x2+ ，2y2=0

取n2= 3 λ-1 , 3 λ-1 ,3λ-1 ，
设直线PQ与平面AEC所成的角为 θ，

2 3 PQ n2 3 λ-1 - 3λ-1
∴ sinθ= cos PQ n = 3 3 1052 = = ，
PQ n2 21+ 2 3 6 λ-1 23 + 3λ-1
2 35
·12·
化简得 90λ2- 129λ+ 46= 0，∴ λ= 2 23或 ，
3 30

∴当PE= 2 PB或PE= 23 PB时，直线PQ与平面AEC 3 105所成角的正弦值为 ．
3 30 35
19. 在平面直角坐标系中，两点 P x1,y1 、Q x2,y2 的“曼哈顿距离”定义为 x1-x2 + y1-y2 ，记为
PQ ．如，点P -1,-2 、Q 2,4 的“曼哈顿距离”为 9，记为 PQ = -1 -2 + -2 -4 = 9．
(1)动点P在直线 y= 1- x上，点O 0,0 ，若 PO ≤ 1，求点P的横坐标 x的取值范围；
(2)动点P在直线 y= 2x- 2上，动点Q在函数 y= x2图象上，求 PQ 的最小值；
(3)动点Q在函数 y= x2 x∈ -2,2 的图象上，点P a,b ， PQ 的最大值记为M a,b ．如，当点
P的坐标为 0,0 时，M 0,0 = 6．求M a,b 的最小值，并求此时点P的坐标．
【答案】(1) 0,1
(2) 1
2
(3)M 25 23 a,b 最小值为 ，点P 0,8 8
【小问 1详解】
由已知P x,1-x ，则根据“曼哈顿距离”定义得 PO = x + 1-x
∵ PO ≤ 1，∴ x + 1-x ≤ 1，
当 x≤ 0时，-x+ 1- x≤ 1成立，解得 x= 0；
当 0< x< 1时，x+ 1- x≤ 1，解得 0< x< 1；
当 x≥ 1时，x+ x- 1≤ 1，解得 x= 1
综上所述点P的横坐标 x的取值范围是 0,1 ；
【小问 2详解】
设出动点P x1,2x1-2 ,Q x 22,x2 ，则 PO = x1-x2 + 2x 21-2-x2 ，
2 2
又 x - x1+ 22 =- 1 1 x x2-1 2 - < 0，所以 x2< 1+ 2 ，2 2 2 2
x2
当 x 21≥ 1+ 时， PO = x1- x2+ 2x1- 2- x2 22= 3x1- x2- x2- 2，2
= + x
2
此时 PO 3 1 2 - x2- x - 2= 1 x2min 2 2 2 2 2- x2+ 1，
x2
当 x2< x1< 1+ 2 时， PO = x1- x2- 2x1-2-x22 =-x1+ x22- x2+ 2，2
>- + x
2 2
此时 PO 1 2 + x22- x2+ x2= 2 - x2 2 2+ 1
当 x1≤ x2时， PO =- x1-x2 - 2x1-2-x22 =-3x1+ x22+ x2+ 2，
此时 PO min=-3x2+ x22+ x2+ 2= x22- 2x2+ 2
2 2
又 x22- 2x2+ 2- x2 - xx2+1 = 2 - x2+ 1= 1 x 22-1 + 1 > 02 2 2 2
x2
所以 x2- 2x + 2> 22 2 - x2+ 12
≥ x
2 2
综合得 PO 2 - x + 1≥ 12 ，当 x2= 1, = +
x
x 1 2 31 = 时取等号.2 2 2 2
即 PQ 1 的最小值为
2
·13·
【小问 3详解】
设点Q x,x2 ，则 PQ = a-x + b-x2 ，
若存在实数 a,b使得M a,b = t，则 PQ = a-x + b-x2 ≤ t对任意 x∈ -2,2 成立，
取 x=- 1 1 1，有 a+ + b- ≤ t，取 x= 2,有 a-2 + b-4 ≤ t，2 2 4
得 2t≥ a-2 + b-4 + a+ 1 + b- 1 = a-2 + a+ 1 + b-4 1 5 15 25 + b- ≥ + = ，2 4 2 4 2 4 4
所以 t≥ 25
8
a= 0,b= 23取 ， PQ = x + 23 -x2 是 -2,2 上是偶函数，8 8
2
当 x∈ 23 0,2 时，若 x2≤ ， PQ = x+ 23 - x2=- x- 1 + 25 ≤ 25 ，8 8 2 8 8
23 < x2≤ 4 PQ = x- 23 -x2 = x+ 1
2
若 ， - 25 ≤ 25 ，当且仅当 x= 2时取等．8 8 2 8 8
所以存在实数 a,b且 a= 0,b= 23 25 23，使得M a,b 最小值为 ，点P
8 8 0, 8
·14·

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