资源简介

高二年级调研考试数学试卷
试卷满分 150分，时间：120分钟
一、单项选择题 (本大题共 8小题，第小题 5分，共 40分)
1. 已知直线 l的倾斜角为 60°，且经过点 0,1 ，则直线 l的方程为 ( )
A. y= 3x B. y= 3x- 2 C. y= 3x+ 1 D. y= 3x+ 3
2. 某圆锥的底面半径为 1，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为 ( )
A. π B. 5π C. 8π D. 10π
2i20213. 复数 z= + (其中 i为虚数单位)，则 z在复平面内对应的点位于 ( )1 i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 已知事件A和事件B独立，若P A =P B = 0.3，则P(A+B) = ( )
A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91
5. 已知平面 α和不重合的两条直线m,n，则下列说法正确的是 ( )
A. 若m⊥n,m∥ α，则n⊥ α B. 若m⊥n,m⊥ α，则n∥ α
C. 若m∥n,m∥ α，则n∥ α D. 若m∥n,m⊥ α，则n⊥ α
6. ⊙C ：(x- 1)21 + y2= 4与⊙C2：(x+ 1)2+ (y- 3)2= 9相交弦所在直线为 l，则 l被⊙O：x2+ y2= 4
截得弦长为 ( )
A. 13 B. 4 C. 4 39 D. 8 39
13 13
7. 已知点A -1,1 ,B 3,3 ，线段AB为⊙M的一条直径．设过点C 2,-1 且与⊙M相切的两条直线
的斜率分别为 k1，k2，则 k1+ k2= ( )
A. - 3 B. - 2 C. 2 D. 3
2 3 3 2
8. a b c

已知平面向量 ，， 均为单位向量，若 a与 b的夹角为 60° ，则 c-a c -2b 的最大值为 ( )
A. 2+ 3 B. 4 C. 2+ 7 D. 5
二、多项选择题 (本大题共 3小题，第小题 6分，共 18分)
9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10位社区居民，
让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10位社区居民在讲座前和讲座后问卷
答题的正确率如下图：
·1·
则下列不正确的是 ( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
2 y2
10. x已知椭圆C ：5x21 + y2= 5，C2： + = 1，则 ( )16 12
A. C1，C2的焦点都在 x轴上 B. C1，C2的焦距相等
C. C1，C2没有公共点 D. C2离心率 e2比C1离心率 e1小

11. a 已知向量 = 2,4 ,b= m, 1 ,c = 3,3 ，则下列说法正确的是 ( )m

A. 若m= 1，则 a -c ⊥ b B. a 若 b，则m= 22

C. a 在 c 上的投影向量为 c D. b-c 的最小值为 7
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 把一个圆柱形水杯倾斜到与水平面成 45°角，水面形状是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 ．
13. 记△ABC的内角A,B,C π的对边分别为 a,b,c，若B= ,c= 4,bsinA= 1，则 b= ．
4
14. 已知函数 f x = sinx- 3cosx,f x0 =- 1 ,x0∈ 0,π ，则 sinx0的值为 ．2
四、解答题
15. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 l的方程为 a+1 x- y+ 4a= 0，a∈R.
(1)若 a= 1，求过点 1,0 且与直线 l平行的直线方程；
(2)求证：直线 l经过一个定点，并写出原点O到直线 l距离最大时直线 l的方程．
·2·
x2 y216. 已知椭圆 + = 1(a> b> 0) 1 3的离心率为 ，左、右焦点分别为F1,F2，且椭圆经过点 3,a2 b2 2 2
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆上任意一点，求证：P到F2距离与P到直线 x= 4距离之比为定值；
(3)设P为椭圆上任意一点，当∠F1PF2最大时，求△F1PF2的面积．
17. 记△ABC是内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 b2= ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=
asinC.
(1)证明：BD= b；
(2)若AD= 2DC，求 cos∠ABC.
18. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，M ,N分别为AB和B1C1的中点．
(1)求证：MN 平面ACC1A1；
(2)若AC=BC=CC1，∠ACB= 90°，求二面角N-CM-B的正切值；
(3)若AC= 2 2，AB= 4，∠ACB= 90°，MN⊥A1C，求A1C与平面CMN所成角的正弦值．
·3·
19. 在平面直角坐标系 中，
已知圆C :(x+ 3)21 + (y- 1)2= 4和圆 C2:(x- 4)2+ (y- 5)2= 4.
(1)若直线 l过点 A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为 2 3，
求直线 l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2，
它们分别与圆C1和圆 C2相交，且直线 l1被圆 C1
截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
·4·高二年级调研考试数学试卷
试卷满分 150分，时间：120分钟
一、单项选择题 (本大题共 8小题，第小题 5分，共 40分)
1. 已知直线 l的倾斜角为 60°，且经过点 0,1 ，则直线 l的方程为 ( )
A. y= 3x B. y= 3x- 2 C. y= 3x+ 1 D. y= 3x+ 3
【答案】C
【详解】由题意知：直线 l的斜率为 3，则直线 l的方程为 y= 3x+ 1.
故选：C.
2. 某圆锥的底面半径为 1，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为 ( )
A. π B. 5π C. 8π D. 10π
【答案】B
1
【详解】因为圆锥的底面半径为 1，母线长为 5，所以该圆锥的侧面积为 × 2π× 1× 5= 5π.
2
故选：B.
2i20213. 复数 z= + (其中 i为虚数单位)，则 z在复平面内对应的点位于 ( )1 i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【详解】因 i2021= i4×505+1= i，
2i2021 2i 2i 1- i= = = 故 z + + = 1+ i，1 i 1 i 1+ i 1- i
故 z在复平面内对应的点坐标为 1,1 ，位于第一象限.
故选：A.

4. 已知事件A和事件B独立，若P A =P B = 0.3，则P(A+B) = ( )
A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91
【答案】C

【详解】由题意可得，P AB =P A P B =P A 1-P B = 0.3× 1-0.3 = 0.21，

则P(A+B) =P A +P B -P AB = 0.3+ 0.7- 0.21= 0.79.
故选：C
5. 已知平面 α和不重合的两条直线m,n，则下列说法正确的是 ( )
A. 若m⊥n,m∥ α，则n⊥ α B. 若m⊥n,m⊥ α，则n∥ α
C. 若m∥n,m∥ α，则n∥ α D. 若m∥n,m⊥ α，则n⊥ α
【答案】D
【详解】对A：若m⊥n,m∥ α，则n⊥ α或n∥ α，或n α或n与 α相交，错误；
对B：若m⊥n,m⊥ α，则n∥ α或n α，错误；
·1·
对C：若m∥n,m∥ α，则n∥ α或n α，错误；
对D：若m∥n,m⊥ α，则n⊥ α，正确.
故选：D
6. ⊙C ：(x- 1)2+ y21 = 4与⊙C2：(x+ 1)2+ (y- 3)2= 9相交弦所在直线为 l，则 l被⊙O：x2+ y2= 4
截得弦长为 ( )
A. 13 B. 4 C. 4 39 D. 8 39
13 13
【答案】D
【详解】解：由⊙C1与⊙C2的方程相减得 l：2x- 3y+ 2= 0.
圆心O(0，0)到 l 2 13的距离 d= ，⊙O的半径R= 2，
13
∴ 8 39截得弦长为 2 R2-d2= 2 4- 4 = .
13 13
故选：D
【点睛】此题考查两圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
7. 已知点A -1,1 ,B 3,3 ，线段AB为⊙M的一条直径．设过点C 2,-1 且与⊙M相切的两条直线
的斜率分别为 k1，k2，则 k1+ k2= ( )
A. - 3 B. - 2 C. 2 D. 3
2 3 3 2
【答案】D
【详解】由于点A -1,1 ,B 3,3 ，线段AB为⊙M -1+3 1+3的一条直径，故圆心M ,2 2 ,即
M 1 1,2 ，圆的半径为 r= AB = 1 -1-3 2 + 1-3 2 = 5 ,
2 2
由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为 y= k x-2 - 1，
-k-1-2
由相切可得 = r= 5，化简可得 2k2- 3k- 2= 0，
1+k2
故 k1,k 2 32是方程 2k - 3k- 2= 0 两个根，故 k1+ k2= 2
故选：D

8. a 已知平面向量 ，b，c a 均为单位向量，若 与 b 的夹角为 60°，则 c-a c -2b 的最大值为 ( )
A. 2+ 3 B. 4 C. 2+ 7 D. 5
【答案】C

【详解】由题意： a = b = c = 1 a ， b= 1× 1× cos60° = 1 .2
c -a

因为 c -2b = c 2+ 2a b- c a +2b = 2- c a +2b .
c a

+2b = c a +2b cos c ,a +2b = a +2b cos c ,a +2b ≥- a

又 +2b ，

当 cos c
,a +2b = π时取“=”.
2 2
又 a+2b = a +2b = a 2+ 4a b+ 4b2= 1+ 4× 1 + 4= 7，所以 a +2b = 7 .2
c -a c

所以 -2b ≥ 2+ 7 .
·2·
故选：C
二、多项选择题 (本大题共 3小题，第小题 6分，共 18分)
9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10位社区居民，
让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10位社区居民在讲座前和讲座后问卷
答题的正确率如下图：
则下列不正确的是 ( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】ACD
70%+75%
【详解】对于选项A，讲座前问卷答题的正确率的中位数为 = 72.5%> 70%，故A不正确；
2
对于选项B，在讲座后问卷答题的正确率中，1个 80%，4个 85%，剩下的 5个大于等于 90%，
所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%，故B正确；
对于选项C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座
后正确率的标准差，故C不正确；
对于选项D，讲座后问卷答题的正确率的极差为 100%-80%= 20%，
而讲座前问卷答题的正确率的极差为 95%-60%= 35%> 20%，故D不正确．
故选：ACD．
2 y2
10. 已知椭圆C 2 2 x1：5x + y = 5，C2： + = 1，则 ( )16 12
A. C1，C2的焦点都在 x轴上 B. C1，C2的焦距相等
C. C1，C2没有公共点 D. C2离心率 e2比C1离心率 e1小
【答案】BCD
y2
【详解】因为椭圆C 的标准方程为 x21 + = 1，所以C1的焦点在 y上，所以A不正确；5
·3·
因为椭圆C1的焦距为 2 5-1= 4，椭圆C2的焦距为 2 16-12= 4，所以B正确；
5x2+y2=5
联立椭圆C1，C 2 22的方程 x2 y2 ，消除 y ，得-17x = 28，所以 x无解，故椭圆C+ =1 1，C2没有公共16 12
点，所以C正确；
C e = 5-1 = 2 5 C e = 16-12 1因为椭圆 1的离心率为 1 ， 2的离心率为 2 = ，所以 e1> e5 2 2，所以5 16
D正确．
故选：BCD.

11. a = 2,4 ,b= m, 1 ,c 已知向量 = 3,3 ，则下列说法正确的是 ( )m
A.

若m= 1，则 a-c ⊥ b B. 若 a b，则m= 22
C. a c

在 上的投影向量为 c D. b-c 的最小值为 7
【答案】ACD

【详解】若m= 1，a- c = -1,1 ，b= 1,1 ，所以 a-c b=-1× 1+ 1× 1= 0，

所以 a-c ⊥ b，故A正确；
a

b 2 - 4m= 0 m=± 2若 ，则 ，解得 ，故B错误；
m 2
a a
c
c c = 2×3+4×3 c = 18 c 在 上的投影向量为 = c

，故C正确；
2
c 32+32 18
2 2
因为 b- c= m-3, 1 -3 ，所以m b-c = m-3
2 + 1 -3m = m+
1
m -6 m+
1 +16，m
令 t=m+ 1 ，当m> 0 1时，则由均值不等式，t=m+ ≥ 2 m 1 = 2，当且仅当m= 1时取等
m m m
号，
1
当m< 0时，t=m+ =- -m+ 1 ≤-2 -m 1- - =-2，当且仅当m=-1时取等号，m m m

则 b-c = t2-6t+16= t-3 2 +7 (t≥ 2或 t≤-2)，

所以当 t= 3时， b-c 有最小值 7，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 把一个圆柱形水杯倾斜到与水平面成 45°角，水面形状是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 ．
2 ## 1【答案】 2
2 2
【详解】如图可知，结合题意，θ= 45°，
设圆柱底面半径是 r，
2a= 2r则椭圆的长轴 = 2 2r，短轴 2b= 2r，
cos45°
故 a= 2r,b= r，则 c= a2-b2= r，
离心率 e= c = 2 .
a 2
·4·
2
故答案为：
2
13. 记△ABC的内角A,B,C π的对边分别为 a,b,c，若B= ,c= 4,bsinA= 1，则 b= ．
4
【答案】 10
a b bsinA 1
【详解】由正弦定理 = 可得 a= = = 2，
sinA sinB sinB 2
2
b2= a2+ c2- 2accosB= 2+ 16- 8 2 × 2则 = 10，即 b= 10 .
2
故答案为： 10 .
14. 已知函数 f x = sinx- 3cosx,f x =- 10 ,x2 0∈ 0,π ，则 sinx0的值为 ．
-1+3 5
【答案】
8
【详解】f(x) = sinx- 3cosx= 2sin x- π ，3
π 1 π 1
由题知，2sin x0- =- ，即 sin3 2 x0- =- ，3 4
x π π 2π由 0∈ 0,π 可得，x0- ∈3 - , ，3 3
注意到 sin x0- π < 0 π π，进而 x3 0- ∈3 - ,03 ，
cos x - π
2
于是 0 = 1- - 1 = 15 ，3 4 4
sinx0= sin x π π0- + = sin x π3 3 0- 3 cos
π + cos
3 x -
π sin π = -1+3 50 3 3 8
-1+3 5
故答案为：
8
四、解答题
15. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 l的方程为 a+1 x- y+ 4a= 0，a∈R.
(1)若 a= 1，求过点 1,0 且与直线 l平行的直线方程；
(2)求证：直线 l经过一个定点，并写出原点O到直线 l距离最大时直线 l的方程．
【答案】(1)2x- y- 2= 0； (2)证明见解析，x+ y+ 8= 0.
小问 1详解】
当 a= 1时，直线 l 方程为 2x- y+ 4= 0，斜率为 k= 2，
则过点 1,0 且与直线 l平行的直线方程为 y= 2 x-1 ，
·5·
即 2x- y- 2= 0；
【小问 2详解】
由 a+1 x- y+ 4a= 0，
可得：a x+4 + x- y= 0，
x+4=0由 - = ，可得 x=-4,y=-4，x y 0
即直线 l经过一个定点M -4,-4 ；
由题意可得，当 l⊥OM时，原点O到直线 l的距离最大，
因为 kOM= 1，所以 kl=-1，
所以直线 l的方程为 y+ 4=- x+4 ,
即 x+ y+ 8= 0.
x2 y216. 1 3已知椭圆 + = 1(a> b> 0)的离心率为 ，左、右焦点分别为F1,F2，且椭圆经过点 3,a2 b2 2 2
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆上任意一点，求证：P到F2距离与P到直线 x= 4距离之比为定值；
(3)设P为椭圆上任意一点，当∠F1PF2最大时，求△F1PF2的面积．
x2 y2
【答案】(1) + = 1 (2)证明见解析； (3) 3 .
4 3
【小问 1详解】
x2 y2 2 2
由椭圆 + = 1(a> b> 0) 1 e= a -b 1的离心率为 ，得 = ，则 b2= 3 a2，
a2 b2 2 a 2 4
由椭圆经过点 3, 3 3，得 + 3 = 1，于是 a2= 4,b2= 3，2 a2 4b2
x2 y2
所以所求椭圆的方程为 + = 1.
4 3
【小问 2详解】
由 (1)得F2(1,0)，设P(x ,y )，则 y20 0 0= 3- 3 x20, -2≤ x0≤ 2，4
| 2PF | (x -1)2+y2 x0-2x0+1+3-
3 x20
令P到直线 x= 4 0距离为 d，则 2 = 0 4
d 4- =x0 4-x0
1
4 x
2 1 2
0-2x0+4
= = 2
(x0-4) 1
- - = ，4 x0 4 x0 2
所以P到F2距离与P到直线 x= 4距离之比为定值.
【小问 3详解】
由 (1)知，|PF1| +|PF2| = 4,|F1F2| = 2，
2 2 2
在△ |PF | +|PF | -|FF |F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F 1 2 1 21PF2= =
2|PF1||PF2|
·6·
(|PF1|+|PF2|)2-|FF |21 2 -2|PF1||PF2|
2|PF1||PF2|
= 6 - 1≥ 6 - 1= 1 ，当且仅当 |PF1| = |PF2| = 2时取等号，
PF PF PF + PF 21 2 1 2 22
由余弦函数 y= cosx在 (0,π) π上单调递减，得当 |PF1| = |PF2| = 2时，∠F1PF2取最大值 ，3
1 π 1 3
此时S△FPF = |PF1||PF2|sin = × 22× = 3，1 2 2 3 2 2
所以当∠F1PF2最大时，△F1PF2的面积为 3 .
17. 记△ABC是内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 b2= ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=
asinC.
(1)证明：BD= b；
(2)若AD= 2DC，求 cos∠ABC.
7
【答案】(1)证明见解析；(2)cos∠ABC= .
12
【详解】(1)设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 sin∠ABC= b ,sinC= c ，
2R 2R
BDsin∠ABC= asinC BD b c因为 ，所以 = a ，即BD b= ac．
2R 2R
又因为 b2= ac，所以BD= b．
(2) [方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
2 2 2
因为AD= 2DC，如图，在△ABC cosC= a +b -c中， ，①
2ab
2 b 2a + -b2
在△BCD中，cosC= 3 ．②
2a b3
2
由①②得 a2+ b2- c2= 3 2 b a + -b2 11 ，整理得 2a2- b2+ c2= 0．3 3
又因为 b2= ac，所以 6a2- 11ac+ 3c2= 0，解得 a= c 或 a= 3c ，
3 2
2
当 a= c ,b2= ac= c c 3c时，a+ b= + < c(舍去)．
3 3 3 3
3c 2 2 3c2
a= 3c ,b2= ac= 3c
2 2 +c -当 时，cos∠ABC= 2 = 7 ．
2 2 2 3c c 122
所以 cos∠ABC= 7 ．
12
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知AD= 2DC，则S△ABD=
2 S
3 △ABC
，
·7·
1 × 2即 b2sin∠ADB= 2 × 1 ac× sin∠ABC，
2 3 3 2
而 b2= ac，即 sin∠ADB= sin∠ABC，
故有∠ADB=∠ABC，从而∠ABD=∠C．
b c CA BA
由 b2= ac，即 = ，即 = ，即△ACB∽△ABD，
a b CB BD
2b
AD = AB 3 = c故 ，即 ，
AB AC c b
又 b2= ac 2，所以 c= a，
3
cos∠ABC= c
2+a2-b2 7
则 = ．
2ac 12
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由 (1)知BD= b=AC 2 1，再由AD= 2DC得AD= b,CD= b．
3 3
AD BD
在△ADB中，由正弦定理得 = ．
sin∠ABD sinA
2 b
又∠ABD=∠C 3 = b sinC= 2，所以 ，化简得 sinA．
sinC sinA 3
2
在△ABC中，由正弦定理知 c= a，又由 b2= ac，所以 b2= 2 a2．
3 3
2 4 2 2 2
△ABC cos∠ABC= a
2+c2-b2 a + 9 a -在 中，由余弦定理，得 = 3
a
= 7 ．
2ac 2× 23 a
2 12
7
故 cos∠ABC= ．
12
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作DE∥AB，交BC于点E，则△DEC∽△ABC．
由AD= 2DC DE= c ,EC= a ,BE= 2a，得 ．
3 3 3
2a 2 c 2 + -b2
在△BED中，cos∠BED= 3 3 ．
2 2a c3 3
·8·
a2+c2-b2
在△ABC中 cos∠ABC= ．
2ac
因为 cos∠ABC=-cos∠BED，
2a 2 2
a2+c2-b2 3 +
c
3 -b2所以 =- ，
2ac 2 2a c3 3
整理得 6a2- 11b2+ 3c2= 0．
又因为 b2= ac，所以 6a2- 11ac+ 3c2= 0，
c 3
即 a= 或 a= c．
3 2
下同解法 1．
[方法五]：平面向量基本定理

因为AD= 2DC，所以AD= 2DC．
2 BA,BC BD= BC + 1

以向量 为基底，有 BA．
3 3
2 4 2 4 1
所以BD = BC + BA BC + 2BA ，
9 9 9
即 b2= 4 a2+ 4 accos∠ABC+ 1 c2，
9 9 9
又因为 b2= ac，所以 9ac= 4a2+ 4ac cos∠ABC+ c2．③
由余弦定理得 b2= a2+ c2- 2accos∠ABC，
所以 ac= a2+ c2- 2accos∠ABC④
联立③④，得 6a2- 11ac+ 3c2= 0．
所以 a= 3 c或 a= 1 c．
2 3
下同解法 1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，AC所在直线为 x轴，过点D垂直于AC的直线为 y轴，
DC长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则D 0,0 ,A -2,0 ,C 1,0 ．
由 (1)知，BD= b=AC= 3，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设B x,y -3由 b2= ac知， BA BC = AC 2，
即 (x+2)2+y2 (x-1)2+y2= 9．⑥
7 7 95
联立⑤⑥解得 x=- 或 x= ≥ 3(舍去)，y2= ，
4 2 16
a= |BC| = 3 6代入⑥式得 ,c= |BA| = 6 ,b= 3，
2
·9·
2 2 2
由余弦定理得 cos∠ABC= a +c -b = 7 ．
2ac 12
18. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，M ,N分别为AB和B1C1的中点．
(1)求证：MN 平面ACC1A1；
(2)若AC=BC=CC1，∠ACB= 90°，求二面角N-CM-B的正切值；
(3)若AC= 2 2，AB= 4，∠ACB= 90°，MN⊥A1C，求A1C与平面CMN所成角的正弦值．
15
【答案】(1)证明见解析； (2)2 2； (3) .
5
【小问 1详解】
如图，取AC的中点P，连接PM、PC1，
1
因为M、P分别为AB、AC的中点，所以PM BC且PM= BC，
2
1
又因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，N为B1C1的中点，所以BC C1N且 BC=C1N，2
所以PM C1N且PM=C1N，故四边形PMNC1是平行四边形，从而MN PC1，
因为PC1 平面ACC1A1， 平面ACC1A1，所以MN 平面ACC1A1.
【小问 2详解】
以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为 x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AC=BC=CC1= 2，则C(0,0,0),M (1,1,0),N (0,1,2),B(0,2,0)，

平面CMB的法向量为n1= (0,0,1)，

设平面CMN的法向量为n2= (x,y,z)，CM = (1,1,0)，CN = (0,1,2)，

n2 C M =x+y=0 则 ，令 z= 1，得 y=-2,x= 2，故n2= (2, -2,1)，n2 CN=y+2z=0
|n n |
设二面角N-CM-B的平面角为 θ，则 cosθ= 1 2 = 1 ，则 sinθ= 2 2 ，
|n1||n2| 3 3
tanθ= sinθ所以 = 2 2；
cosθ
·10·
【小问 3详解】
由AC= 2 2，AB= 4，∠ACB= 90°，得BC= AB2-AC2= 2 2，
设CC1= h，则C(0,0,0),A(2 2 ,0,0),B(0,2 2 ,0),A1(2 2 ,0,h),M ( 2 , 2 ,0),N (0, 2 ,h)，
MN = (- 2 ,0,h)，A1C = (-2 2 ,0, -h)，
由MN⊥A1C得MN A1C = 4- h2= 0，解得 h= 2 h>0 ，

CM = ( 2 , 2 ,0)，CN = (0, 2 ,2) ，设平面CMN的法向量为n= a,b,c ，

n C M = 2a+ 2b=0则 ，令 b= 2，得 a=- 2 ,c=-1，故n
= (- 2 , 2 , -1)，
n CN= 2b+2c=0

A1C = (-2 2 ,0, -2)，

|A C n | |4+2|
设A1C
6 15
与平面CMN所成角为 α，则 sinα= 1 = = =
|A C||n | 8+4 2+2+1 2 3 5 51
19. 在平面直角坐标系 中，
已知圆C1:(x+ 3)2+ (y- 1)2= 4和圆 C :(x- 4)2+ (y- 5)22 = 4.
(1)若直线 l过点 A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为 2 3，
求直线 l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2，
·11·
它们分别与圆C1和圆 C2相交，且直线 l1被圆 C1
截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)y= 0或 y=- 7 (x- 4) 3 13，(2)点P坐标为 - , 或24 2 2
5 ,- 1 ．
2 2
【详解】(1)设直线 l的方程为 y= k(x- 4)，即 kx- y- 4k= 0.由垂径定理，得圆心C1到直线 l的距
2 -3k-1-4k
离 d= 22- 2 3 = 1，结合点到直线距离公式，得 = 1，化简得 24k2+ 7k= 0，解得2 k2+1
k= 0或 k=- 7 .
24
所求直线 l的方程为 y= 0 y=- 7或 (x- 4)，即 y= 0或 7x+ 24y- 28= 0.
24
(2)设点P坐标为 (m，n)，直线 l1、l2的方程分别为 y-n= k(x-m)，y-n=- 1 (x-m)，即 kx- yk
+n- km= 0，- 1 x- y+n+ 1 m= 0.
k k
因为直线 l1被圆C1截得的弦长与直线 l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆
-3k-1+n-km - 4k -5+n+
1
km 心C1到直线 l1与圆心C2到直线 l2的距离相等．故有 = ，
k2+1 k2+1
化简得 (2-m-n)k=m-n- 3或 (m-n+ 8)k=m+n- 5.
2-m-n=0， m-n+8=0，
因为关于 k的方程有无穷多解，所以有 { 或 {
m-n-3=0 m+n-5=0，
P - 3 , 13 5 1解得点 坐标为 或 ,- .2 2 2 2
·12·

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