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临潭县第一中学2025—2026学年上学期阶段性测试卷
高三 数学 2025.10.10
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
4.已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为(　　)
A.或 B.或
C. D.
5.下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
7.在中，角的对边分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)
A.9 B.10 C.11 D.18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下面是关于复数(为虚数单位)命题，其中真命题为( )
A. B. C.的共轭复数为 D.的虚部为
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递减
C．在上有且仅有个最小值点 D．的值域为
11.已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（ ）
A．0 B．4 C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
13.已知数列的通项公式为，则________．
14.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在△ABC中，点D在边BC上，AB＝3，AC＝2．
(1)若AD是∠BAC的角平分线，求BD：DC；
(2)若AD是边BC上的中线，且，求BC．
16.（15分）已知正项数列的首项，其前项和为，且与的等比中项是.
（1）证明是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）数列满足，其前项和为，求使得的的取值范围.
17.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.
（1）证明：平面ABCD.
（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
18.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程.
19.（17分）已知函数
（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
（2）当时，证明：临潭县第一中学2025——2026学年上学期阶段性测试卷
高三 数学 2025.10.10
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】或，，即，，即.
故选：B
2.“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
当时，，则为纯虚数
可知“”是“复数为纯虚数”的充分条件；
当复数为纯虚数时，，解得：
可知“”是“复数为纯虚数”的必要条件；
综上所述，“”是“复数为纯虚数”的充要条件
故选：C
3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为奇函数，在上为减函数，在上为减函数，
故选B．
4.已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为(　　)
A.或 B.或
C. D.
【答案】　A
【解析】　由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，
解得k＝6，
∴b＝(6，－3)，
∴e＝±＝±.
5.下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
6.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即．故选B．
7.在中，角的对边分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合余弦定理得
即
即，即
因为三角形中，两边之和大于第三边，所以
即，是等腰三角形，结合，得到．
故选：D．
8.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)
A.9 B.10 C.11 D.18
【答案】　B
【解析】
　由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，
故原函数有10个零点.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下面是关于复数(为虚数单位)命题，其中真命题为( )
A. B. C.的共轭复数为 D.的虚部为
【答案】 BD
【解析】 ，
，A错误；
，B正确；
的共轭复数为，C错误；
的虚部为，D正确.
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．在区间上单调递减
C．在上有且仅有个最小值点
D．的值域为
【答案】BC
【解析】对于A选项，因为，，所以，
所以的图象不关于点中心对称，故A错误；
对于B选项，当时，，
，所以，函数在区间上单调递减，B选项正确；
对于C选项，，所以为函数的周期.
当时，，，
所以在区间上单调递增，，；
由B选项可知，函数在区间上单调递减，
当时，，.
所以，函数在上有且只有个最小值点，C选项正确；
对于D选项，由C选项可知，函数的值域为，D选项错误.
故选：BC.
11.已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】AB
【解析】，
令，解得或.
①当时，可知在上单调递增，
所以在区间的最小值为，最大值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.故A正确.
②当时，可知在上单调递减，
所以在区间的最大值为，最小值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.故B正确.
③当时，可知在的最小值为，
最大值为b或或，，
则，与矛盾.
若，，
则或或，与矛盾.故C D错误.
故选：AB
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
【答案】a∈[1，2)
【解析】令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴x＝a，要使函数在上(－∞，1]递减，则有，即，解得1≤a＜2，即a∈[1，2)．
13.已知数列的通项公式为，则________．
【答案】
【解析】由题意，数列的通项公式为，且函数的周期为，
所以
，又因为，
所以.
14.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】当时，得，令，则，
，令，，
则，显然在上，，
单调递减，所以，因此；
同理，当时，得．由以上两种情况得．
显然当时也成立，故实数的取值范围为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在△ABC中，点D在边BC上，AB＝3，AC＝2．
(1)若AD是∠BAC的角平分线，求BD：DC；
(2)若AD是边BC上的中线，且，求BC．
【解析】
(1)如图，结合题意绘出图像：
因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠DAB＝∠DAC，
在△ABD中，由正弦定理易知，即，
在△ACD中，由正弦定理易知，即，
因为sin∠DAB＝sin∠DAC，sin∠DAB＝sin(180°－∠ADC)＝sin∠ADC，
所以，BD：DC＝3：2．
(2)因为AD是边BC上的中线，所以可设BD＝DC＝x，
在△ABD中，由余弦定理易知cos∠ADB＝，
在△ACD中，由余弦定理易知cos∠ADC＝，
因为cos∠ADB＝－cos∠ADC，
所以＝－，即，，BC长为.
16.（15分）已知正项数列的首项，其前项和为，且与的等比中项是.
（1）证明是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）数列满足，其前项和为，求使得的的取值范围.
【解析】（1）与的等比中项是，①②
由②-①可得是等差数列.取由1得解得
.
（2）
，由得，不难发现满足(
当时，设则
，单调递增，当时，使得的的取值范围为
17.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.
（1）证明：平面ABCD.
（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
【解析】
（1）证明：平面PCD，平面，，
，为的中点，则且.
四边形BCDE为平行四边形，，.
又，且E为AD的中点，四边形ABCE为正方形，，又平面，
平面，则.
平面平面，，
又，为等腰直角三角形，
O为斜边AC上的中点，且平面ABCD.
（2）解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
不妨设，则,
则.
设平面PBD的法向量为，
则即即
令，得.
设BC与平面所成角为，
则.
18.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程.
【解析】　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1).
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝.
同理，|CD|＝＝.
所以|AB|＋|CD|＝＋
＝＝，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
19.（17分）已知函数
（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
（2）当时，证明：
【解析】（1）函数的定义域，
因为，是的极值点，
所以（1），所以，
所以，
因为和在上单调递增，所以在上单调递增，
所以当时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
设，则，
因为和在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，
所以存在使得，
所以当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增，所以，
因为，即，所以，
所以，
因为，所以，所以.

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